高考数学第一轮基础知识点复习教案-第十二编概率与统计

第十二编概率与统计

§12.1随机事件的概率

----—自主学习一--------

Q基础自测

①某事件发生的频率为P(A

②不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1

③小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然发生的事件

④某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的

答案①③④

2.给出下列三个命题，其中正确命题有个.

①有一大批产品，已知次品率为10%,从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结

果3次出现正面，因此正面出现的概率是/；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.

答案0

3.已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05,则这台纺纱机在

1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为，.

答案

4.甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是工，乙获胜的概率是2，则乙不输的概率是

23--------

答案I

6

5.抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P(A)=-,P(B)

2

=-,则出现奇数点或2点的概率之和为_________.

6

答案-

3

一♦—典例剖析—一♦

例1盒中仅有4只白球5只黑球，从中任意取出一只球.

(1)“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？

(2)“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？

(3)”取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？

解(1)“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生，因此它是不可能事件，其概率为0.

(2)“取出的球是白球”是随机事件，它的概率是

9

(3)“取出的球是白球或黑球”在题设条件下必然要发生，因此它是必然事件，它的概率是1.

例2某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：

射击次数n102050100200500

击中10环次数m8194493178453

击中10环频率%

n

(1)计算表中击中10环的各个频率；

(2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？

解(1)击中10环的频率依次为0.8,0.95,0.88,0.93,0.89,0.906.

(2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约是0.9.

例3(14分)国家射击队的某队员射击一次，命中7〜10环的概率如下表所示：

命中环数10环9环8环7环

概率

求该射击队员射击一次

(1)射中9环或10环的概率；

(2)至少命中8环的概率；

(3)命中不足8环的概率.

解记事件“射击一次，命中k环”为A-(kdN,kWIO),则事件4彼此互斥.2分

(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A,那么当A,,A1。之一发生时，事件A发生，由互斥事

件的加法公式得

P(A)=P(A9)+P(A］。)=0.32+0.28=0.60.5分

(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B,那么当A”A”A„,之一发生时，事件B

P(B)=P(As)+P(A9)+P(Alo)

=0.18+0.28+0.32=0.78.10

(3)由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件：即豆表

示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得

P(B)=1P(B)=10.78=0.22.14

----—知能迁移一

1.在12件瓷器中，有10件一级品，2件二级品，从中任取3件.

(1)“3件都是二级品"是什么事件？

(2)“3件都是一级品”是什么事件？

(3)“至少有一件是一级品”是什么事件？

解(1)因为12件瓷器中，只有2件二级品，取出3件都是二级品是不可能发生的，故是不可能事件.

(2)“3件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的，故是随机事件.

(3)“至少有一件是一级品”是必然事件，因为12件瓷器中只有2件二级品，取三件必有一级品.

2.某企业生产的乒乓球被08年北京奥委会指定为乒乓球比赛专用球.日前有关部门对某批产品进行了抽样

检测，检查结果如下表所示:

抽取球数n5010020050010002000

优等品数m45921944709541902

优等品频率%

n

(1)计算表中乒乓球优等品的频率；

(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)

解(1)依据公式p=㈣，可以计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,

n

0.954,0.951.

(2)由(1)知，抽取的球数n不同，计算得到的频率值虽然不同，但随着抽取球数的增多，却都在常

数0.950的附近摆动，所以抽取一个乒乓球检测时，质量检查为优等品的概率为0.950.

3.玻璃球盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，从中取1球，求：(1)红或黑的概率；

(2)红或黑或白的概率.

解方法一记事件AK从12只球中任取1球得红球；

A2：从12只球中任取1球得黑球；

A3：从12只球中任取1球得白球；

A4：从12只球中任取1球得绿球，则

5421

(Al,P(A2)二3，P(A3),P(A4)=—

121212

根据题意，A］、A2>A3、A4彼此互斥,

由互斥事件概率加法公式得

(1)取出红球或黑球的概率为

543

P(A,+A)=P(A】)+P(A)

2212124

(2)取出红或黑或白球的概率为

P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)

12121212,

方法二(1)取出红球或黑球的对立事件为取出白球或绿球，即A]+A2的对立事件为A3+A4,

・•・取出红球或黑球的概率为

P(AI+A2)=1P(A3+A4)=1P(A3)P(A4)

二1]—2—1=9—=3一

1212124,

(2)Ai+Az+As的对立事件为A*

P(A1+A2+A3)=1P(A<)=1—=—.

1212

活页作业一

一、填空题

L在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同.现从中

随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是.

答案I

2.某入伍新兵的打靶练习中，连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的互斥事件是(写

出一个即可).

答案2次都不中靶

3.甲：A］、A?是互斥事件；乙：A、4是对立事件，那么甲是乙的条件.

答案必要不充分

4.将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数1,2,3,4,5,6的正方体玩具)先后抛掷3次,

至少出现一次6点向上的概率是.

5.一个口袋内装有一些大小和形状都相同的白球、黑球和红球，从中摸出一个球，摸出红球的概率是0.3,

摸出白球的概率是0.5,则摸出黑球的概率是.

答案

6.在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客需在5分

钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车、6路车在5分钟之内

到此车站的概率分别为0.20和0.60,则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为.

答案

7.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为T，乙夺得冠军的

概率为工，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为

4

答案—

28

8.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%,甲不输的概率是90%,则甲、乙二人下成和棋的概率为.

答案50%

二、解答题

9.某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28,计算

这个射手在一次射击中：

(1)射中10环或9环的概率；

(2)不够7环的概率.

解(1)设“射中10环”为事件A,“射中9环”为事件B,由于A,B互斥，贝I」

P(A+B)=P(A)+P(B)=0.21+0.23=0.44.

(2)设“少于7环”为事件C,则

P(C)=1P(C)

=1(0.21+0.23+0.25+0.28)=0.03.

10.某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：

医生人数012345人及以上

概率

求：(1)派出医生至多2人的概率；

(2)派出医生至少2人的概率.

解记事件A：“不派出医生”，

事件B：“派出1名医生”，

事件C：“派出2名医生”，

事件D：“派出3名医生”,

事件E：“派出4名医生”，

事件F：“派出不少于5名医生”.

・・•事件A,B,C,D,E,F彼此互斥，

且P(A)=0.1,P(B)=0.16,P(C)=0.3,

P(D)=0.2,P(E)=0.2,P(F)=0.04.

(1)“派出医生至多2人”的概率为

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)

=0.1+0.16+0.3=0.56.

(2)“派出医生至少2人”的概率为

P(C+D+E+F)=P(C)+P(D)+P(E)+P(F)

=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74.

或IP(A+B)=10.10.16=0.74.

n.抛掷一个均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1、2、3、4、5、6),事件A表示“朝上一面的数是奇

数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3"，求P(A+B).

解方法一因为A+B的意义是事件A发生或事件B发生，所以一次试验中只要出现1、2、3、5四个可

4?

能结果之一时，A+B就发生，而一次试验的所有可能结果为6个，所以P(A+B)=y=~.

63

方法二记事件C为“朝上一面的数为2”，

则A+B=A+C,且A与C互斥.

又因为P(C)=-,P(A)=-,

62

所以P(A+B)=P(A+C)=P(A)+P(C)

-_1+,_1__2

263.

方法三记事件D为“朝上一面的数为4或6”,则事件D发生时，事件A和事件B都不发生,即事件A+BA+B

发生即事件A发生或事件B发生时，事件D不发生，所以事件A+B与事件D为对立事件.

71

因为P(D)二一二一,

63

19

所以P(A+B)=IP(D)=1-=-.

33

12.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为工，得到黑球

4

或黄球的概率是工，得到黄球或绿球的概率是工，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？

122

解分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A、B、C、D.由于A、B、C、D为互斥事件，根据已知得

到

1八、1

一+尸(3)+尸(。)+尸(。)=1P(B)=:

44

P(3)+P(C)=(解得•p(c)=：

o

P(C)+P(D)=<P(0=:

23

...得到黑球、黄球、绿球的概率各是工，

463

§12.2古典概型

自主学习

Q基础自测

L从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为.

答案-

3

2.掷一枚骰子，观察掷出的点数，则掷出奇数点的概率为.

答案-

2

3.袋中有2个白球，2个黑球，从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是.

答案

I6

4.一袋中装有大小相同，编号为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2

次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率为.

答案—

64

5.掷一枚均匀的硬币两次，事件M：“一次正面朝上，一次反面朝上”；事件N：“至少一次正面朝上”.

贝IJP(M)=,P(N)=.

答案工

2a4

--典例剖析—

例1有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4,下面做投掷这两颗正四面体玩

具的试验：用(x,y)表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体

玩具出现的点数.试写出：

(1)试验的基本事件；

(2)事件“出现点数之和大于3”；

(3)事件“出现点数相等”.

解(1)这个试验的基本事件为:

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),

1),(3,2),(3,3),(34),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).

(2)事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：

(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),

(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).

(3)事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件:

(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).

例2甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙

两人依次各抽一题.

(1)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？

(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？

解甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可

能的抽法是10X9=90种，即基本事件总数是90.

(1)记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A,下面求事件A包含的基本事件数：

甲抽选择题有6种抽法，乙抽判断题有4种抽法，所以事件A的基本事件数为6X4=24.

4

・QA)十福15

(2)先考虑问题的对立面：“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽

到选择题”，即都抽到判断题.

记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B,“至少一人抽到选择题”为事件C,则B含基本事件数为4X

3=12.

17?

...由古典概型概率公式，得P(B),

9015

由对立事件的性质可得

2

P(C)=1P(B)=1二=匕13.

1515

例3(14分)同时抛掷两枚骰子.

(1)求“点数之和为6”的概率；

(2)求“至少有一个5点或6点”的概率.

解同时抛掷两枚骰子，可能的结果如下表:

123456

1(14)(1,2)(1,3)(1,6)

2(2,1)(2,2)(23^-(2,6)

3(3,1)(3^(3,5)(3,6)

4^(43)(4,4)(4,5)(4,6)

^2)

5(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)

6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

共有36个不同的结果.7分

(1)点数之和为6的共有5个结果，所以点数之和为6的概率P二工.10分

36

(2)方法一从表中可以得其中至少有一个5点或6点的结果有20个，所以至少有一个5点或6点的

概率

205-八

Pn二一二一.14分

369

方法二至少有一个5点或6点的对立事件是既没有5点又没有6点，如上表既没有5点又没有6点的

结果共有16个，则既没有5点又没有6点的概率P="=百，

369

所以至少有一个5点或6点的概率为1±=9.14分

99

-----—知能迁移一

L某口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球.

(1)共有多少个基本事件？

(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？

解(1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，从中摸出2只球，有如下基本事件(摸到1,2号

球用(1,2)表示)：

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),

(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),

(3,5),(4,5).

因此，共有10个基本事件.

(2)如下图所示，上述10个基本事件的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到2只白球(记为事件

A),

3

即(1,2),(1,3),(2,3),故P(A).

10

/(1,2)(1,3加4)(1,50

A—卜§^^2,4)(2,5)

,\(3,4)(3,5)(4,5),

故共有10个基本事件，摸出2只球都是白球的概率为2.

2.(2008•山东文，18)现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2>A3通晓日语，B］、B2.B3通晓俄语，

孰、C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组.

(1)求A1被选中的概率；

(2)求&和C］不全被选中的概率.

解(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间

。={(Ai,Bi,Ci),(Ai,Bi,C2),(Ai,B2,Ci),(Ai,B2,C2),(Ai,B3,Ci),(Ai,B3,C2),(A2,Bi,Ci),(A2,Bi,C2)>(A2,

B2,Ci),(A2,B2,C2),(A2,B3,Ci),(A2,B3,C2),(A3,Bi,Ci),(A3,Bi,C2),(A3,B2,Ci),(A3,B2,C2),(A3,B3,Ci),

(A3,B3,C。}由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是

等

可能的.

用M表示“A1恰被选中”这一事件，贝IJ

M={(A1,B.,CD,(A1}B］,C2),(AbB2,C.),(AbB2,C2),(AbB3,Cj,凡B3,C2)}

事件M由6个基本事件组成，因而P(M)=£=L.

183

(2)用N表示“B】、Ci不全被选中”这一事件，则其对立事件可表示“Bi、Ci全被选中”这一事件，由

于曾={(AbBbCt),(A2,B“GI),(AsBC)},事件齐有3个基本事件组成，

所以P(方)=」=_L,由对立事件的概率公式得

186

一15

P(N)=1P(N)=1-=-.

66

3.袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：

(1)A:取出的两球都是白球；

(2)B：取出的两球1个是白球，另1个是红球.

解设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.

从袋中的6个小球中任取两个的方法为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),

(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15个.

(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的总数，即是从4个白球中任取两个的方法总数,

共有6个，即为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).

...取出的两个球全是白球的概率为P(A)=^=|.

(2)从袋中的6个球中任取两个，其中1个为红球，而另1个为白球，其取法包括(1,5),(1,6),

(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)共8个.

取出的两个球1个是白球，另1个是红球的概率

P(B)=—.

15

———活页作业———

一、填空题

P”第10个人摸出黑球的概率是Pm则P*P,(填或.

答案=

2.采用简单随机抽样从含有n个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，若个体a前2次未被抽到，第3

次被抽到的概率等于个体a未被抽到的概率的工倍，则个体a被抽到的概率为

3

答案-

2

3.有一个奇数列1,3,5,7,9,现在进行如下分组，第一组有1个数为1,第二组有2个数为3、5,

第三组有3个数为7、9、H,…，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率

为.

答案5

4.从数字1,2,3中任取两个不同数字组成两位数，该数大于23的概率为.

答案-

3

A={1,2},B={1,2,3),分别从集合A和B中随机取一个数a和b,确定平面上的一个点P(a,b),记“点

P(a,b)落在直线x+y=n上”为事件C„(2WnW5,ndN),若事件C”的概率最大，则n的所有可能值

为.

答案3和4

m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x+y=5下方的概率是.

答案

7.(2008•江苏，2)一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为.

答案《

8.(2008•上海文，8)在平面直角坐标系中，从五个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1),D(0,2)、

E(2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是(结果用分数表示).

答案?

二、解答题

9.5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲然后由乙各抽一张，求：

(1)甲中奖的概率P(A)；

(2)甲、乙都中奖的概率；

(3)只有乙中奖的概率；

(4)乙中奖的概率.

解(1)甲有5种抽法，即基本事件总数为5.中奖的抽法只有2种，即事件“甲中奖”包含的基本事

件数为2,故甲中奖的概率为PL

(2)甲、乙各抽一张的事件中，甲有五种抽法，则乙有4种抽法，故所有可能的抽法共5X4=20种，甲、

乙都中奖的事件中包含的基本事件只有2种，故P否二7=-1L.

2010

(3)由(2)知，甲、乙各抽一张奖券，共有20种抽法，只有乙中奖的事件包含“甲未中”和“乙中”

两种情况，故共有3X2=6种基本事件，..十产九=2.

2010

(4)由(1)可知，总的基本事件数为5,中奖的基本事件数为2,故P尸不.

10.箱中有a个正品，b个次品，从箱中随机连续抽取3次，在以下两种抽样方式下：(1)每次抽样后不放

回；(2)每次抽样后放回.求取出的3个全是正品的概率.

解(1)若不放回抽样3次看作有顺序，则从a+b个产品中不放回抽样3次共有A种方法，从a个正

品中不放回抽样3次共有A：种方法，可以抽出3个正品的概率P=.若不放回抽样3次看作无顺序,

则从a+b个产品中不放回抽样3次

共有种方法，从a个正品中不放回抽样3次共有C1种方法，可以取出3个正品的概率P=学.

Ca+b

两种方法结果一致.(2)从a+b个产品中有放回的抽取3次，每次都有a+b种方法，所以共有(a+b)3

种不同的方法，而3个全是正品的

抽法共有d种，所以3个全是正品的概率

P-pV.

(<7+6)3ya+b)

11.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为;.现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，

甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有1人取到白球时即终止.每个球在每一次被

取出的机会是等可能的.

(1)求袋中原有白球的个数；

(2)求取球2次终止的概率；

(3)求甲取到白球的概率.

解(1)设袋中有n个白球，从袋中任取2个球是白球的结果数是她二名.

2

从袋中任取2个球的所有可能的结果数为也=21.

2

n(n—1)

由题意知工=—?_=皿二D,

72142

An(nl)=6,解得n=3(舍去n=2).

故袋中原有3个白球.

(2)记“取球2次终止”为事件A,则P(A)

7x67

(3)记“甲取到白球”的事件为B,

“第i次取到白球“为A”i=L2,3,4,5,

因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球.

所以P(B)=P(A1+A3+A5).

因此Ai,A3,A5两两互斥，

AP(B)=P(AD+P(A3)+P(A5)

=3+4X3X3+4X3X2X1X3

77x6x57x6x5x4x3

__3+__6+_1__2_2_

7353535,

12.(2008•海南、宁夏文，19)为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查

部门对某校6名学生进行问卷调查,6人得分情况如下：

5,6,7,8,9,10.

把这6名学生的得分看成一个总体.

(1)求该总体的平均数；

⑵用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均

数之差的绝对值不超过0.5的概率.

解(1)总体平均数为1(5+6+7+8+9+10)=7.5.

6

(2)设A表示事件.

从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：

(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,10),(6,7),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),

(7,10),(8,9),(8,10),(9,10),共15个基本结果.

事件A包括的基本结果有：(5,9),(5,10),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),共有7个

基本结果.

7

所以所求的概率为P(A)=—.

§12.3几何概型

----—自主学习一

Q基础自测

1.质点在数轴上的区间［0,2］上运动，假定质点出现在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间

［0,1］上的概率为.

答案-

2

2.某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为.

答案-

71

3.某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率

是.

答案|

D是半径为R的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点C,连接CD得一弦，若A表示“所得弦的长大于圆

内接等边三角形的边长”，则P(A)=.

答案-

3

5.如图所示，在直角坐标系内，射线0T落在30°角的终边上，任作一条射线0A,%］

则射线0A落在NyOT内的概率为.\

答案I1

—典例剖析一----

例1有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率有多大？

解记“剪得两段都不小于3米”为事件A,从木棍的两端各度量出3米，这样中间就有10-3-3=4(米).

在中间的4米长的木棍处剪都能满足条件，

10-3-3

所以P(A)二—二0.4.

W10

例2街道旁边有一游戏：在铺满边长为9cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1cm的小圆

板，规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在正方形的边，可重掷一次；若掷在正方形内，须再交

5角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上，可获1元钱.试问：

(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？

(2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？

解（1）考虑圆心位置在中心相同且边长分别为7cm和9cm的正方形围成的区域内，所以概率为

92-72_32

8?'

（2）考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的工圆内，因正方形有四个顶点，所以概率为彳==.

49281

例3（14分）在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，含有麦锈病

种子的概率是多少？从中随机取出30毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？

解1升二1000毫升，1分

记事件A：”取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”.3分

则P（A）=TW=0,01'即取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概率为0.0L7分

记事件B：“取30毫升种子含有带麦锈病的种子”.9分

则P（B）=V=0.03,即取30毫升种子含有带麦锈病的种子的概率为0.03.14

分

例4在RtZ\ABC中，ZA=30",过直角顶点C作射线CM交线段AB于M,求使|AM|>|AC|的概率.

解设事件D“作射线CM,使|AM>|AC|.

在AB上取点C'使|AC'|=|AC|,因为△ACC，是等腰三角形，

所以“ACC，=旭旦宁5。，

2A

jUA=9075=15,〃Q=90,所以，P（D）=1|=1.

例5甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离

去.求两人能会面的概率.

解以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是ky|W15.

在如图所示平面直角坐标系下，（x,y）的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够

会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.由几何概型的概率公式得：

22

p(A)=jA=60-45=3600-2025

S602360016

7

所以，两人能会面的概率是

16

----—知能迁移一

1.如图所示，A、B两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C、D,问A

与C,B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少？

ACDB

解记E：“A与C,B与D之间的距离都不小于10米”，把AB三等分，由于中间长度为30X-=10（米），

3

2.（2008•江苏，6）在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区

域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率为.

答案-

16

3.如图所示，有一杯2升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含

有这个细菌的概率.

解记“小杯水中含有这个细菌”为事件A,则事件A的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型

的条件.

；〃4=0.1升，〃0=2升，

，由几何概型求概率的公式，

得P(A)=^-=—=—=0.05.

Afi220

的扇形A0B中，以圆心0为起点作射线0C,求使得NA0C和NB0C都不小于30°的概率.

解如图所示，把圆弧个三等分，则NA0F=NB0E=30°,记A为“在扇形A0B内作一射线0C,使

NA0C和NB0C都不小#如”，要使NA0C和NB0C都不小于30°,则0C就落在NE0F内，

I的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.

解设人="3段构成三角形”，x,y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为Ixy.

则试验的全部结果可构成集合

。={(x,y)0<x<l,0<y<l,0<x+y<l},

要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第3段，gPx+y>lxy=>x+y>I,x+|xy>y

=>y<—,y+lxy>x=>x<—.

22

故所求结果构成集合

kA=Ux,y)\x+y>I-,yI<-,Ix<-

由图可知，所求概率为

A的面积_2(2>1_1

P(A)

。的面积I24

T

活页作业

一、填空题

1.在区间(15,25］内的所有实数中随机取一个实数a,则这个实数满足17<aV20的概率是

答案I

AB上任取一点G,用AG为半径作圆，则圆的面积介于36万平方厘米到64万平方厘米的概率

是.

A________—

CGDB

答案|

3.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到

黄灯的概率是.

答案今

4.如图为一半径为2的扇形（其中扇形中心角为90。）,在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分

的概率为.

2

答案」

7T

S的AABC的边AB上任取一点P,则4PBC的面积大于2的概率是________.

4

答案T

4

ABCD—ABCD内有一个内切球0,则在正方体ABCD—ABCD内任取点M,点M在球0内的概率是.

答案m

6

7.已知下图所示的矩形，其长为12,宽为5.在矩形内随机地撒1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数

为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为.

答案33

8.在区间（0,1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于的概率为.

答案H

二、解答题

9.射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环，从外向内白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色，金色靶心叫“黄

心”，奥运会的比赛靶面直径是122cm,靶心直径12.2cm,运动员在70米外射箭，假设都能中靶，且射

中靶面内任一点是等可能的，求射中“黄心”的概率.

解记“射中黄心”为事件A,由于中靶点随机的落在面积为人乃X122,cm，的大圆

4

内，而当中靶点在面积为人"x2cll)2的黄心时，事件A发生，于是事件A发生

4

的概率

1n

-71X1222

P(A)--------=0.01,

工万X1222

4

所以射中“黄心”的概率为0.01.

10.假设你家