高考数学二轮复习 第1部分 重点强化 4 立体几何 第10讲 立体几何中的向量方法教学案 理-人教版高三全册数学教学案

第10讲立体几何中的向量方法

考纲要求真题统计命题规律锁定题型

理解空间直角坐标系及空间两点间距离公

分析近五年全国卷■发现

式.了解空间向量的概念，了解空间向量基1.向量法求线

2017年I卷”;2017年D卷%；高考有以下规律：

本定理，掌握空间向量的坐标表示，掌握空面角

高考对本部分的命题较

间向量的加法、减法、数乘、数量积的运算与2017年ID卷儿;2016年I卷工”2.向量法求二

为稳定，解答题为主，主

坐标表示，理解空间直线的方向向量与平面2016年H卷T,,；2016年亚卷T”；面更

要考查利用空间向量求

法向量的概念，掌握用空间向量计算直线与2015年II卷泉；2014年1卷T”；3.利用空间向

异面直线所成的角、线面

直线、直线与平面、平面与平面的夹角的方量求解探索性

2013年1卷T"；2013年II卷T”角或二面角，难度中等

法，掌握用空间向量证明直线、平面位置关问题

偏上.

系的简单命题的方法.

题型1向量法求线面角

(对应学生用书第33页)

■核心知识储备........................................

1.两条异面直线的夹角

(1)两异面直线的夹角-f-

⑵设直线的方向向量为S/,Si,则cos"=|cos⑸，&〉\=器:篙

2.直线与平面的夹角

JI

⑴直线与平面的夹角万.

(2)设直线/的方向向量为a,平面a的法向量为〃，则sin〃=|cos〈a,n)=

,a,

1a/•In/'

■典题试解寻法.........................................................

【典题】(2016•全国HI卷)如图10-1,四棱锥尸｛版中，必，底面4％ft

AD//BC,AB=AD=AC=3,必=%=4,"为线段4〃上一点，AM=2MD,N为

阳的中点，野调

A

BC

图10-1

(1)证明的V〃平面PAB；

(2)求直线4"与平面RMV所成角的正弦值.

【导学号：07804072］

9

［解］(1)证明：由已知得4人子142.如图,

取以的中点7,连接“，TN,由“为R7的中点知7W8C,TN/C=2.

又ADMBC,故却触刃/,所以四边形4监T为平行四边形，于是仞V〃/£

因为平面为8,励Q平面为8,

所以加V〃平面PAB.

⑵取6c的中点£,连接45：

由46=然得AEVBC,从而AELAD,

且/相一6e=

以/为坐标原点，4解J方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系4xyz

由题意知P(0,0,4),,"(0,2,0),乳乖,2,0),」伴，1,2),

刀・9=0,

设刀=(x,y,z)为平面/W的法向量,则j

•正0,

2y—4z=0,

即“A/B

2y—2z=0,

可取n=(0,2,1).

工日I/T；I〃•加8小

丁ZEIcos(/］fAN)A|——,

\n\'AN\

所以直线4V与平面阴州所成角的正弦值为坐.

［类题通法］向量法求线面角的一般步骤

1.建立恰当的空间直角坐标系，求出相关点的坐标.

2.写出相关向量的坐标.

3.求平面的法向量.

4.求线面角的正弦值.

5.转化为几何结论.

提醒：直线和平面所成角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝

对值，即注意函数名称的变化.

■对点即时训练................................................................

如图10-2,菱形ABCD中,乙仿0=60°,47与被相交于点0,四J_平面ABCD,CF//AE,

A4AE=2.

图10-2

(D求证：勿_1平面/。再

(2)当直线尸。与平面腐所成的角为45°时，求异面直线毋'与配'所成的角的余弦

值大小.

［解］(1)证明：I•四边形力6"是菱形，.,.初

,.3£L平面4?中，8m平面A8CD,

：.BDLAE.

.•.物J_平面力性

⑵以。为原点，0A,必的方向为x,y轴正方向，过。且平行于〃'的直线为z轴响

上为正方向)，建立空间直角坐标系，则6(0,小，0),。(0,一小，0),6(1,0,2),

尸（一1,0,a）（a>0）,⑦=（一1,0,a）.

设平面£切的法向量为〃=(x,y,z),

n•03=0‘即惶:。'令Q则片(一

则有〈

、刀,OE=0

2,0,1）,

X

\0F・n\—5

由题意得sin45°=|cos(OF,ri)解得a=3或一

|谈I"「历1.m—2

1

3,

由a>0,得<3=3,

。产=（-1,0,3）,BE=3一/，2）,

:-1+6y［5

cos〈OF,BE）=—r=---

V10X^/84

故异面直线OF与应■所成的角的余弦值为坐］

■题型强化集训.........................................................

（见专题限时集训”）

题型2向量法求二面角（答题模板）

（对应学生用书第34页）

利用向量法求二面角的大小是高考对立体几何的常规考法，它以代数运算代替抽象的

思维，给立体几何带来了鲜活的方法，此类问题建系是突破口，求解的关键是平面的

法向量.（2017•全国I卷TI8.2017•全国II卷TI9.2017•全国III卷T电2016•全国I

卷Tis.2016,全国II卷T19.2014,全国I卷Tig.2013,全国H卷Tis）

■典题试解寻法.........................................................

【典题】（本小题满分12分）（2017•全国II卷）如图10-3,四棱锥中，

侧面|面妫等边三角形产且［垂直于底面力丽|②，四=%=以。,ABAl）=AABC

“看语彩做潺

=90°,£是阳的中点.

图10-3

（1）证明：直线四〃平面处尺

J疮棱夕6上产,

直线8内底面/比晰成角为45°

求二面角称49•曲勺余弦值|®.

【导学号：07804073】

［审题指导］

题眼挖掘关键信息

看到必〃为等边三角形，

①

想到等边三角形的有关性质.

看到必。垂直于底面ABCD,

②

想到面面垂直的性质.

看到证明直线四〃平面PAB,

③

想到线面平行的判定或面面平行的性质.

看到"在棱PC上,

④

想到只必，。三点共线，想到点"的设法.

看到直线5V与底面465所成角为45°,

⑤

想到线面角的求法，想到平面法向量的计算方法.

看到求二面角井/层〃的余弦值，

⑥

想到求平面物8与平面4初的法向量.

［规范解答］(1)证明：|取必的中点司⑦,连接即BF.

因为£是心的中点，所以EF〃的,EF=；AD.2分

由/劭〃=//仇?=90°舄BC〃AD,

又BC=%D,所以即缺BC,

四边形式跖是平行四边形，CE//BF.4分

又6代平面两平面用8,故龙〃平面

(2)

由已知得胡，/〃，以力为坐标原点，赢方向为x轴正方向，|法|为单位长度，建

立如图所示的空间直角坐标系斤xyz,®

则4(0,0,0),6(1,0,0),<7(1,1,0),?(0,1,y/3),尸，=(1,0,一4)，48=(1,0,0).

7分

设M(x,y,z)(0<Kl),则

BM=(x—l,y,z),PM=(%,y-1,z-木).

因为加/与底面4?(力所成的角为45°,

而n=(0,0,1)是底面48徵的法向量,

所以|cos〈BM,ri)|=sin45°

，yj~x—\~2+y+z2

即(x—lY+y-z=0.①8分

又/监E棱/T上，设PM=入PC,⑨则

x=A,y=l,z=木一木A.②

x=\kl一手

由①②解得1y=b(舍去)，或(y=b

.乖

I9—21z—2

所以j/1—g»,从而44(1—平,

10分

设卬=(xo,jb,zo)是平面24V的法向量，则

2zz*4Q0,Ab+2jb+,\/6zo=O,

―►[加=0,

m•AB=0,

所以可取m—(0,一乖,2).11分

m•ny[10

于是cos(m,ri)

=向旷5・

因此二面角林小。的余弦值为12分

［阅卷者说］

易错点防范措施

⑦因空间想象力不足，导致不

当题设条件出现边的中点，要证明线面平行时，

会作辅助线，进而导致(1)无

常取另一个边的中点，构造平行关系.

法证明.

熟知常见的空间直角坐标系的建法，结合已知的

⑧因对图形和立体几何的理

图形中的垂直关系建系，如本题也可以4〃的中点

论体系不熟，导致不会建系，

为坐标原点，0C为x轴，如为y轴，8为z轴

进而不会求二面角的余弦值.

建系.

⑨因对向量共线知识不熟，导

致点，"的坐标计算不出，致使点M在棱R7上，则为三A南0<A<1).

(2)无法求解.

［通性通法］向量法求二面角的方法

1若"2分别是二面角。-心£的两个半平面a,£的法向量，则二面角e

11,.

的大小满足boseI=-1—2-.然后利用图形判断二面角是锐角或钝角.

叫I

2若他徵是二面角心£的两个半平面内与棱/垂直的直线，则二面角的大

小0为法与五的夹角或其补角.

■对点即时训练.........................................................

(2017•安徽马鞍山模拟)已知四棱锥P-ABCD中,如图10-4,底面ABCD是梯形,BC

//AD,ABA.AD,且AB=BC=1,AD=2,顶点尸在平面ABCD内的射影〃在/。上，PALPD.

图10-4

(1)求证：平面力显L平面门以；

⑵若直线北与外所成角为60°求二面角力-%〃的余弦值.

【导学号：07804074］

［解］(1)证明：：掰，平面4犯9,48u平面4成》,J.PHLAB.

'：ABVAD,ADCPH=H,AD,/»=平面为〃从L平面处〃.

又/氏平面PAB,平面必反L平面PAD.

(2)以4为原点，建立空间直角坐标系4-式彩，如图，

：掰_1_平面ABCD,

，z轴〃加

则4(0,0,0),以1,1,0),

。(0,2,0),设AH=a,PH=h{Q<a<2,A>0).

则尸(0,a,A).

'.AP^(0,a,A),〃P=(0,a—2,H),AC—(1,1,0).

"：PALPD,.•.亚•5a(a—2)+力2=0.

♦."C与如所成角为60°,

1

S砺1

co2+2

(a—2)2=/T,:.(a—2)(a—1)=0,

V0<5<2,・・・a=L•・,力>0,・・・力=1,A7^(0,1,1).

：.AP=(0t1,1),孤=(1,1,0),诟=(1,0,-1),而=(1,-1,0),设平面加&的法

n•AP=y+

向量为〃=(x,y,z),由J，

—►

n•AC=x+y=0

得平面4c的一个法向量为/2=(1,-1,1),

设平面的法向量为。=(x,y,z).

―►

m•PC=x­z=0

由<,

—►

227•DC=X一尸a

得平面〃%的一个法向量为25=(1,1,1).

•/\m'n1

..cosn)=-、~n~r—7.

m\n\3

•・•二面角力-微〃的平面角为钝角，

二面角力小〃的余弦值为一

•J

■题型强化集训.........................................................

(见专题限时集训4、T.,)

题型3利用空间向量求解探索性问题

(对应学生用书第36页)

■核心知识储备.........................................................

立体几何中探索性问题的种类及其求法

(1)立体几何中的探索性题目主要有两类：一是利用空间线面关系的判定与性质定理

进行推理探究，二是对几何体的空间角、距离和体积等的研究.

(2)其解决方法多通过求角、距离、体积等把这些问题转化为关于某个参数的方程问

题，根据方程解的存在性来解决.

■典题试解寻法.........................................................

【典题】如图10-5(1),在直角梯形中，AD//BC,ADLAB,AD=\,BC=2,E为CD

上一点，且应'=1,£'(7=2,现沿应■折叠使平面89平面儿祝，厂为缈的中点，如图

10-5(2).

图10-5(1)图10-5(2)

(1)求证：平面腔1；

2

⑵能否在边47上找到一点只使平面4党与平面位所成角的余弦值为耳？若存在,

试确定点P的位置；若不存在，请说明理由.

面面垂直

［思路分析］⑴证明力反1座,——►力反1平面仇若；

建系唯边/16上__求法向量

⑵证明"LL平面/戚——►求点4C,E,厂的坐标——►7P=XAB——►由

2

两平面所成角的余弦值为可确定〃的位置.

［解］⑴证明：在直角梯形4?切中作〃整」笫于M连接的

贝|JC#=2-1=1,CD=DE+CE=l+2=3,

则D1UAB=79—1=4=2木,C

cosC=叫，

则BE=[C后+C总一2CE・CB•cosCAR

=弋4+4-2*2义2><；=平,

AE=7Alf+D^—2AD，DE、cos/ADE

i2m

=A/1+1-2X1X1X-=-J-,

所以4片+6炉=/4,故瓦且折叠后46与跖位置关系不变.

又平面6(%比平面且平面比石0平面46初=阳所以月反1平面6◎:

(2)连接CF,因为在△&位中，BC=CE=2,F为跖的中点，所以CFLBE.又平面BCEL

平面4皮刃，且平面腔'A平面4跳》=庞，

所以"平面ABED.以尸为坐标原点，过点尸且平行于/£的直线为x轴，FB,此1所

在直线分别为y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz,

则用0,0,0),

设平面力。？的法向量为血=(小，/I,Zi),

m•AE=0f

则1

jn•CE=G,

｛述n

一寸-…，

即＜lr-

2m2乘

L3y~3©-O,

令Z\=lf

则吊=0,月=一小,

可得平面^^的一个法向量为切=(0,一/，1).

2~A-A

假设在四上存在一点只使平面43与平面5所成角的余弦值为可，且448

（0W"1）.

因为彳0,平，0），

所以正=（—半，半，0），

故码-哈，给，。）

又研乎,邛-明

所以苏=己+展=（乎1-A，¥2A-1

又熊（o,o,平）,

设平面位的法向量为〃=（应，氏Z2）,

［n-CP=0,

即《呼厂k。，厂厂

芈一二呼2——芈片。,

、J0O

令X2=24—l,得〃=（24—1,小（4—1）,0）为平面心'的一个法向量，

.,、।m，n2久一1|2

所rr以iqCOS（227,n）=------=~r=---，,，,=g,

加h小・yj/22,-12-+2A-l23

2

解得力=可或4=0,

O

因此存在点尸，且尸为线段4?上靠近点8的三等分点或尸与4重合时，平面1四与

2

平面叱所成角的余弦值为不

［类题通法］利用空间向量巧解探索性问题

1对于存在型问题，解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，

把“是否存在”问题转化为“是否有解”“是否有规定范围内的解”等.

2对于位置探索型问题，通常是借助向量，引入参数，综合条件和结论列方程，

解出参数，从而确定位置.

■对点即时训练.........................................................

如图10-6,在五面体力以为％1中，平面力及》，/力〃C=/胡〃=90°,尸为棱必

的中点，PD=BC=eAB=AD=l,且四边形CW为平行四边形.

⑴判断4C与平面叱的位置关系，并给予证明：

(2)在线段印上是否存在一点0,使得80与平面阳C所成角的正弦值为于？若存在,

0

请求出〃的长；若不存在，请说明理由.

【导学号：07804075)

［解］(1)/%平面颂理由如下：

设线段相交小于点儿连接FN,如图所示，

因为四边形如四为平行四边形，所以点4为7T的中点，

又点尸为阳的中点，所以〃/G

因为A化平面渤40■平面0EF,所以平面困：

(2)如图，以。为坐标原点，分别以的，DC,如所在直线为x轴，y轴，z轴，建立

空间直角坐标系.

因为PD=BC=pAB=AD=\,所以龙=2,

所以尸(0,0,⑫,6(1,1,0),(7(0,2,0),4(1,0,0),

所以法=(1,1,一位)，5C=(-1,1,0).

设平面月弘的法向量为。=(x,y,z),

m,PB—x,y,z•1,1,一/=0，

则彳

-A

m•BC=x,y,z,-1,1,0=0,

即F+y-mz=。，解得

【一叶y=0,[z=y[2x1

令X=l,得平面阳，的一个法向量为227=（1,1,

假设存在点。满足条件.

由/Q,0,乎），£（0,2,镜），可得座=（一/2,

设混4花（0W4^1）,

整理得七±23/1”）,

因为直线制与平面布所成角的正弦值为y当R

BQ,m_______51一I______小

所以Icos{BQ,jn)|=

-2，194:一IO/+7-6

IBQ\,\m

得14储一54—1=0,又OWaWL所以4=(，

■题型强化集训........................................................

（见专题限时集训T。

三年真题I验收复习效果

（对应学生用书第37页）

1.（2017•全国HI卷）如图，四面体力腼中，△/比1是正三角形，XACD

是直角三角形，NABD=4CBD,AB=BD.

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着精彩做深

B

图10-7

（1）证明：平面力切，平面45C；

⑵过/C的平面交协于点£,若平面4%把四面体/及力分成体积相等的两部分，求

二面角2力£。的余弦值.

［解］⑴证明：由题设可得△力3△◎»,从而/〃=⑦

又△/⑦是直角三角形，

所以/从心=90°.

取〃'的中点0,连接。0,BO,

贝D0=A0.

又因为是正三角形，故80J_4C,

所以/戊历为二面角的平面角.

在RtZX/1如中，BG+AG=AR,

又AB=BD,所以加+加=/+/〃=力4=*,

故/比＞6=90°.

所以平面/切，平面ABC.

(2)由题设及(1)知，OA,OB,切两两垂直，

以。为坐标原点，物的方向为x轴正方向，；处|为单位长度，

工

建立如图所示的空间直角坐标系0-xyz,

贝lj4(1,0,0),8(0,小,0),＜7(-1,0,0),〃(0