初中数学“最值问题”-集锦

LYR(2010-09-23)“最值问题”集锦

・平面几何中的最值问题..............01

・几何的定值与最值..................07

・最短路线问题.......................14

■对称问题..........................18

・巧作“对称点”妙解最值题..........22

・数学最值题的常用解法..............26

・求最值问题........................29

・有理数的一题多解..................34

•4道经典题......................37

・平面几何中的最值问题

在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在

一起，统称最值问题.如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、

最节约和最高效率.下面介绍几个简例.

在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量(如线段的长度、

图形的面积、角的度数)的最大值或最小值问题，称为最值问题。

最值问题的解决方法通常有两种：

(1)应用几何性质：

①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

②两点间线段最短；

③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

④定圆中的所有弦中，直径最长。

⑵运用代数证法：

①运用配方法求二次三项式的最值；

②运用一元二次方程根的判别式。

例1、A、B两点在直线1的同侧，在直线L上取一点P,使PA+PB最小。

变题:两端居峨直觎的两鞭I,在直匹上取律“1修HAfSbt..

.A

B

分析：在直线L上任取一点P',连结AP',BP',

在△ABP'中AP'+BP'>AB,如果AP'+BP'=AB,则P'必在线段AB上，而线

段AB与直线L无交点，所以这种思路错误。

取点A关于直线L的对称点A',则AP'=AP,

在AA'BP中A'P'+B'P'>A'B,当P'移到A'B与直线L的交点处P点时

A'P'+B'P'=A'B,所以这时PA+PB最小。

1已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试

问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大(图3-91)?

图3-91

分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R.由于AB//CD,

必有AC=BD.若设CD=2y,AC=x,那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值

即可.

222

解作DELAB于E,则X=BD=AB-BE=2R•(R-y)=2R-2Ry,

2R2-x2

所以

2R2-x2

Ux+y+R=x+————+R

所以2K

X2+2RX+2R2

+R.

2R

所以求u的最大值，只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可.

-X2+2RX+2R2=3R2-(X-R)2<3R2,

上式只有当x=R时取等号，这时有

2R2-x22R2-B?R

丫2R2R2'

所以2y=R=x.

所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C,D,

这时，梯形的底角恰为60°和120°.

2.如图3—92是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m),怎样才能得出最

大面积，使得窗户透光最好？

图3-92

分析与解设x表示半圆半径，y表示矩形边长AD,则必有2x+2y+7cx=8,

8-以-2x小

y=-7—•①

乙

若窗户的最大面积为S,则

S=2xy+.②

把①代入②有

8-Tex-2x1

S=2x•-------------+-7CX

22

=8x-(2+今x?

2\4+冗J4+冗

《尹.

4+冗

上式中，只有x=/—时，等号成立.这时，由①有

4+加

(88)1

y=8-7T*---------2*-------X-

I4+兀4+KJ2

8

=------=X,

4+7C

即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大.

3.已知P点是半圆上一个动点，试问P在什么位置时，PA+PB最大(图3—93)?

分析与解因为P点是半圆上的动点，当P近于A或B时，显然PA+PB渐小，在极限

状况（P与A重合时）等于AB.因此，猜想P在半圆弧中点时，PA+PB取最大值.

设P为半圆弧中点，连PB,PA,延长AP至11C,使PC=PA,连CB,则CB是切线.

为了证PA+PB最大，我们在半圆弧上另取一点P',连P'A,P'B,延长AP'到C',

使P'C'=BP'，连C'B,CC',则NP'C'B=/P'BC=NPCB=45°,

所以A,B,C',C四点共圆，所以NCC'A=/CBA=90°,

所以在△ACC'中，AC>AC',即PA+PB>P'A+P'B.

图3-93图3-94

4如图3—94,在直角AABC中，AD是斜边上的高，M,N分别是△阳□,4ACD的内

心，直线MN交AB,AC于K,L.求证：SAABC>2SAAKL.

证连结AM,BM,DM,AN,DN,CN.

因为在△ABC中，NA=90°,AD_LBC于D,

所以ZABD=ZDAC,ZADB=ZADC=90".

因为M,N分别是aABD和AACD的内心，所以

/1=22=45°,Z3=Z4,

所以△ADNS/\BDM,

DM_BD

所以

DN=AD

又因为NMDN=90°=ZADB,所以△MDNc^ABDA,

所以ZBAD=ZMND.

由于NBAD=/LCD,所以ZMND=ZLCD,

所以D,C,L,N四点共圆，所以ZALK=ZNDC=45°.

同理，NAKL=/1=45°,所以AK=AL.因为△AKM0AADM,

所以AK=AD=AL.而

2

SA耻。［必“。SAAKL=|AD-AL=1AD,

而

.AC2AB2AC2•AB2

口BC2AB2+AC2*

从而

c1…-AC*AC

S八=-AC*AB♦—5------y

A题AVT2AB2+AC2

/111

45AB•AC*=2S*iABC

所以SAABC>SAAKL•

5.如图3—95.已知在正三角形ABC内（包括边上）有两点P,Q.求证：PQ&AB.

证设过P,Q的直线与AB,AC分别交于P1，Q“连结P】C,显然，PQ《P】Q「

因为NAQR+NP】QiC=180°,

所以/AQE和ZP】Q】C中至少有一个直角或钝角.

若NAQiPi，90°,则PQ<P1Q1<AP1<AB;

若NPiQiC>90°,则PQ<P1Q1<P1C.

同理，NARC和NBRC中也至少有一个直角或钝角，不妨设NBP|C>90°,

则P[C<BC=AB.

对于P,Q两点的其他位置也可作类似的讨论，因此，PQ<AB.

6.设△回（：是边长为6的正三角形，过顶点A引直线1,顶点B,C到1的距离设为d1,

d2,求d1+d2的最大值（1992年上海初中赛题）.

图3-96

解如图3—96,延长BA到B',使AB'=AB,连B'C,则过顶点A的直线1或者

与BC相交，或者与B'C相交.以下分两种情况讨论.

⑴若1与BC相交于D,则

1

万（由+d2）♦AD=SAABD+SAQc

73

=S&ABC彳♦36，

所以

18后-18出

d,+d=

12AD3也

只有当1_LBC时，取等号.

⑵若1'与B'C相交于D',则

1

5(d[+%)•AD=S&BD.A+SAACP

=S+S=S

^AB'D'A'"AACD，“AABC，

所以

di+d2418f=6瓜

上式只有1'JlB'C时，等号成立.

综合⑴,(2),di+d2的最大值为6、氏

7.如图3—97.已知直角AAOB中，直角顶点。在单位圆心上，斜边与单位圆相切，延

长AO,BO分别与单位圆交于C,D.试求四边形ABCD面积的最小值.

解设。。与AB相切于E,有OE=1,从而

AB=OE•AB=AO•OB

AO2+BO2(AO-BO)2

=22

,AO2+BO2AB2

&----------------=-------

22

即AB>2.

当AO=BO时，AB有最小值2.从而

11

SABCD=万AC•BD=5(1+OA)(1+BO)

1

=-(l+AO+BO+AO*BO)

>1(1+2JAO♦BO+AO♦BO)

=|(i+7Ao•BO)2=|(i+JOE♦AB)

=1(I+7AB)2>|(I+72)2

=g(3+2、②.

所以，当AO=OB时，四边形ABCD面积的最小值为

^(3+272).

・几何的定值与最值

几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素

间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题

的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明.

几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长

度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：

1.特殊位置与极端位置法；

2.几何定理（公理）法；

3.数形结合法等.

注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点.这是由于这

类问题具有很强的探索性（目标不明确），解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一

般相结合、

逻辑推理与合情想象相结合等思想方法.

【例题就解】

【例1】如图，已知AB=10,P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和

PB为边作等边AAPC和等边4BPD,则CD长度的最小值为G.

思路点拨如图，作CC'LAB于C,DD'LAB于D',

DQ±CCZ,CD2=DQ2+CQ2,DQ=；AB—常数，当CQ越小，CD/

本例也可设AP=x,则PB=10-x,从代数角度探求CD的最小值.A©PD'B

注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与

极端位置是指：

⑴中点处、垂直位置关系等；

⑵端点处、临界位置等.

【例2】如图，圆的半径等于正三角形ABC的通々此圆在沿底边AB滚动，切点为T,

圆交AC、BC于M、N,则对于所有可能的圆的位置言言，MTN为的度数（）

A.从30°到60°变动B.从60°到90°变动

C.保持30°不变D.保持60°不变

思路点拨先考虑当圆心在正三角形的顶点C时，

其孤的度数，再证明一般情形，从而作出判断.

注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，

动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变

化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，

研究的量取得定值与最值.

【例3】如图，已知平行四边形ABCD,AB="，BC=%（〃>b）,P为AB边上的一动

点，

直线DP交CB的延长线于Q,求AP+BQ的最小值.

思路点拨设AP=x，把AP、BQ分别用x的代数式表示，运用不等式/+&222ab（当

且仅当。=万时取等号）来求最小值.

【例4】如图，已知等边△回（：内接于眼在劣弧.

线AC与BM相交于K,直线CB与AM相交手'点N,证

点的选择无关.

思路点拨即要证AK・BN是一个定值，在图形中aABC

的边长是一个定值，说明AK-BN与AB有关，从图知AB为

2

△ABM与4ANB的公共边，作一个大胆的猜想，AK-BN=AB;

从而我们的证明目标更加明确.

注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题.

【例5】已知AXYZ是直角边长为1的等腰直角三角形（NZ=90°）,它的三个顶点

分别在等腰Rt^ABC（NC=90°）的三边上，求△回（：直角边长的最大可能值.

思路点拨顶点Z在斜边上或直角边CA（或CB）上，当顶点Z在斜边AB上时，取xy

的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点Z在（AC或CB）上时，设CX=x,

CZ=.y,建立x,y的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值.

注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、

不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解.常见的解题途径是：

⑴利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值；

⑵构造二次函数求几何最值.

学力训练

1.如图，正方形ABCD的边长为1,点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重

合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B'、C'、D',则BB'+CC'

+DD'的最大值为,最小值为.

2.如图，NAOB=45°,角内有一点P,PO=10,在角的两边上有两点Q,R（均不同

于点O）,则△PQR的周长的最小值为.

3.如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8,B到MN的距离

BD=5,CD=4,P在直线MN上运动，则目的最大值等于.

（第1题）（第2题）（第3题）

4.如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动

点，OO的半径为1,则AP+BP的最小值为（）

A.1B.—C.V2D.V3-1

2

5.如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿看圆柱

的侧面移动到BC的中点S的最短距离是（）

A.2川+乃2B.2jl+4MC.D.2/4+〃

6.如图、已知矩形ABCD,R,P户分别是DC、BC上的点，E,F分别是AP、RP

的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）

A.线段EF的长逐渐增大B.线段EF的长逐渐减小

C.线段EF的长不改变D.线段EF的长不能确定

n

（第4题）（第5题）（第6榜）

7.如图，点c是线段AB上的任意一点（C点不与A、B点重合），分别以AC、BC为

边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE,AE与CD相交于点M,BD

与CE相交于点N.

（1）求证：MN//AB;

（2）若AB的长为10cm,当点C在线段AB上移动时，是否存在这样的一点C,使线段

MN的长度最长?若存在，请确定C点的位置并求出MN的长；若不存在，请说明理由.

（2002年云南省中考题）

8.如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，P是S

对AB作垂线的垂足，求证：不管ST滑到什么位置，NSPM是一定角.

9.已知AABC是。。的内接三角形，BT为。。的切线，B为切点，P为直线AB上

一点，过点P作BC的平行线交直线BT于点E,交直线AC于点F.

⑴当点P在线段AB上时（如图），求证：PA-PB=PE.PF;

⑵当点P为线段BA延长线上一点时，第⑴题的结论还成立吗?如果成立，请证明，如

果不成立，请说明理由.

10.如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE,其中AF=2,BF=1,

在AB上的一点P,使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是（）

A.8B.12C.—D.14

11.•点A,线段DB上AB于点B,AB=2;

AC=1,1ACPDB的最大面积是（）

〈第11题）

C.3+V2D.V3+\/2

12.如图，在△ABC中，BC=5,AC=12,AB=13,在边AB、AC上分别取点D、E,

使线段DE将△回（：分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度.

（第12题）（第13U）

13.如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，AV与

DU相交于点P,BV与CU相交于点Q.求四边形PUQV面积的最大值.

14.利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水.已知每个

喷水器的喷水区域是半径为10米的圆，问如何设计（求出两喷水器之间的距离和矩形的长、

宽），才能使矩形花坛的面积最大？

15.某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场（平面图

如图所示）.其中，正方形MNPQ与四个相同矩形（图中阴影部分）的面积的和为800平方米.

⑴设矩形的边AB=x（米），AM=y（米），用含x的代数式表示y为.

（2）现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元；在四个相同的

矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元；在四个三角形区域上铺设草坪,

平均每平方米造价为40元.

①设该工程的总造价为5（元），求S关于工的函数关系式.

②若该工程的银行贷款为235000元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?若能,

请列出设计方案；若不能，请说明理由.

③若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金73000元，问能否完成该工程的建设任

务?若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由.

（镇江市中考题）E—^E

16.某房地产公司拥有一块“缺角矩形"荒地ABCDE,边长和方向如图，欲在这块

地上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积（精确到

1m2）.

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参考答案

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AD于E»QFJ_BC于F,设PE=i,QF=y,S时历联产工(i+y),设AU=a,DV=6,则二+楙a

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盖焦]小=；，等号当且仅当a=6时成立;故四边场PUQV面积的最大值是十

M.(1)如图,OiQ是两个相同的旗水器所在位置,ABCD是设计的短形花坛,设他形边长AD=

1米，则PQ=AD=r米，在心AOiEQ中,0茁=JOQ-QE2=/。?-(尹=,

J4OQT,；M心电Qa=20F=y40P?,AB=2O!O!=2师？,：.矩形面积

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-4。。=。时S才最大也时i=1072(*),S1才最大,S的量大值为400.

从而，符合要求的设计是两个质水器的距离为0。川环正丽=10日(米)，矩形两边长AD=1Q业米,AB=

20除，娥懒有量大酬.

15.(lb=^£(0<x<20^)；

⑵①S=2100?+105X4ij+40X4x1y=2000?+^^+76000(0<x<2072),@S=2000(?+^-80)+

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F豺E必ChW斩此M大翻翻MOW前56蝙做股F(5,17)瓦I

歌醐加面，

・最短路线问题

通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引申出来的.人

们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题.

在本讲所举的例中，如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内，那么所

求的最短路线是线段；如果它们位于凸多面体的不同平面上，而允许走的路程限于凸多面

体表面，那么所求的最短路线是折线段；如果它们位于圆柱和圆锥面上，那么所求的最短

路线是曲线段；但允许上述哪种情况，它们都有一个共同点：当研究曲面仅限于可展开为

平面的曲面时，例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等，将它们展开在一个平面上，两点间的最

短路线则是连结两点的直线段.

这里还想指出的是，我们常遇到的球面是不能展成一个平面的.例如，在地球（近似

看成圆球）上A、B二点之间的最短路线如何求呢？我们用过A、B两点及地球球心。的

平面截地球，在地球表面留下的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上A、B两点之间

不超过半个圆周的孤线就是所求的A、B两点间的最短路线，航海上叫短程线.关于这个

问题本讲不做研究，以后中学会详讲.

在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两

点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线.像这样将一个问题转变为一个和它等价的

问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法.

例1如下图，侦察员骑马从A地出发，去B地取情报.在去B地之前需要先饮一次

马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出

来.

解：要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线.

作点A关于河岸的对称点A',即作AA'垂直于河岸，与河岸交于点C,且使

AC=A'C,连接A'B交河岸于一点P,这时P点就是饮马的最好位置，连接PA,此时

PA+PB就是侦察员应选择的最短路线.

证明：设河岸上还有异于P点的另一点P',连接P'A,P'B,P'A'.

,/p，A+P'B=P'A'+P'B>AZB=PA'+PB=PA+PB,

而这里不等式P'A'+P'B>A'B成立的理由是连接两点的折线段大于直线

段,

所以PA+PB是最短路线.

此例利用对称性把折线APB化成了易求的另一条最短路线即直线段A'B,所以这种

方法也叫做化直法，其他还有旋转法、翻折法等.看下面例题.

例2如图一只壁虎要从一面墙壁a上A点，爬到邻近的另一面墙壁§上的B点捕蛾，

它可以沿许多路径到达，但哪一条是最近的路线呢？

解：我们假想把含B点的墙§顺时针旋转90°（如下页右图），使它和含A点的墙a

处在同一平面上，此时B转过来的位置记为B',B点的位置记为B',则A、B'之间最短

路线应该是线段AB',设这条线段与墙棱线交于一点P,那么，折线4PB就是从A点沿

着两扇墙面走到B点的最短路线.

证明：在墙棱上任取异于P点的P'点，若沿折线AP'B走，也就是沿在墙转90°后

的路线AP'B'走都比直线段APB'长，所以折线APB是壁虎捕蛾的最短路线.

由此例可以推广到一般性的结论：想求相邻两个平面上的两点之间的最短路线时，可

以把不同平面转成同一平面，此时，把处在同一平面上的两点连起来，所得到的线段还原

到原始的两相邻平面上，这条线段所构成的折线，就是所求的最短路线.

例3长方体ABCD—A'B'C'D'中，AB=4,A'A=2'，AD=1,有一只小虫从顶

点D'出发，沿长方体表面爬到B点，问这只小虫怎样爬距离最短？（见图（1））

解：因为小虫是在长方体的表面上爬行的，所以必需把含D'、B两点的两个相邻的

面“展开”在同一平面上，在这个“展开”后的平面上D'B间的最短路线就是连结这两

点的直线段，这样，从D'点出发，到B点共有六条路线供选择.

①从D'点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点，将这两个面摊开在一个平面

上（上页图（2））,这时在这个平面上D'、B间的最短路线距离就是连接D'、B两点

的直线段，它是直角三角形ABD'的斜边，根据勾股定理，

D'B2=D'A2+AB2=（1+2）2+42=25,/.D'B=5.

②容易知道，从D'出发经过后侧面再进入下底面到达B点的最短距离也是5.

③从D'点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达B点.将这两个面摊开在同一平

面上，同理求得在这个平面上D'、B两点间的最短路线（上页图（3））,有：

D'B2=22+（1+4）2=29.

④容易知道，从D'出发经过后侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是29.

⑤从D'点出发，经过左侧面，然后进入下底面到达B点，将这两个平面摊开在同一

平面上，同理可求得在这个平面上D'、B两点间的最短路线（见图），

D'DC

A'2A4B

D'B2=（2+4）2+12=37.

⑥容易知道，从D'出发经过上侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是37.

比较六条路线，显然情形①、②中的路线最短，所以小虫从D'点出发，经过上底面

然后进入前侧面到达B点（上页图（2））,或者经过后侧面然后进入下底面到达B点的

路线是最短路线，它的长度是5个单位长度.

利用例2、例3中求相邻两个平面上两点间最短距离的旋转、翻折的方法，可以解决

一些类似的问题，例如求六棱柱两个不相邻的侧面上A和B两点之间的最短路线问题（下

左图），同样可以把A、B两点所在平面及与这两个平面都相邻的平面展开成同一个平面

（下右图），连接A、B成线段AP1P2B,Pl、P2是线段AB与两条侧棱线的交点，则折

线AP1P2B就是AB间的最短路线.

圆柱表面的最短路线是一条曲线，“展开”后也是直线，这条曲线称为螺旋线.因为

它具有最短的性质，所以在生产和生活中有着很广泛的应用.如：螺钉上的螺纹，螺旋输

粉机的螺旋道，旋风除尘器的导灰槽，枪膛里的螺纹等都是螺旋线，看下面例题.

例4景泰蓝厂的工人师傅要给一个圆柱型的制品嵌金线，如下左图，如果将金线的起

点固定在A点，绕一周之后终点为B点，问沿什么线路嵌金线才能使金线的用量最少？

解：将上左图中圆柱面沿母线AB剪开，展开成平面图形如上页右图（把图中的长方

形卷成上页左图中的圆柱面时，A'、B'分别与A、B重合），连接AB',再将上页右

图还原成上页左图的形状，则AB'在圆柱面上形成的曲线就是连接AB且绕一周的最短线

路.

圆锥表面的最短路线也是一条曲线，展开后也是直线.请看下面例题.

例5有一圆锥如下图，A、B在同一母线上，B为AO的中点，试求以A为起点，以

B为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线.

解：将圆锥面沿母线AO剪开，展开如上右图（把右图中的扇形卷成上图中的圆锥面

时，A'、B'分别与A、B重合），在扇形中连AB',则将扇形还原成圆锥之后，AB'

所成的曲线为所求.

例6如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去寻找

食物，已知A点沿母线到桶口C点的距离是12厘米，B点沿母线到桶口D点的距离是8

厘米，而C、D两点之间的（桶口）瓠长是15厘米.如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎

么走？路程总长是多少？

分析我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图（下图），由于B点在里面，不

便于作图，设想将BD延长到F,使DF=BD,即以直线CD为对称轴，作出点B的对称

点F,用F代替B,即可找出最短路线了.

解：将圆柱面展成平面图形（上图），延长BD到F,使DF=BD,即作点B关于直

线CD的对称点F,连结AF,交桶口沿线CD于O.

因为桶口沿线CD是B、F的对称轴，所以OB=OF,而A、F之间的最短线路是直

线段AF,又AF=AO+OF,那么A、B之间的最短距离就是AO+OB,故蚂蚁应该在桶外

爬到。点后，转向桶内B点爬去.

延长AC到E,使CE=DF,易知△AEF是直角三角形，AF是斜边，EF=CD,根据勾

股定理，AF2=（AC+CE）2+EF2=（12+8）2+152=625=252,解得AF=25.

即蚂蚁爬行的最短路程是25厘米.

例7A、B两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上架一座小木

桥，使它垂直于河岸.请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使A、B两个村子之间路程

最短.

分析因为桥垂直于河岸，所以最短路线必然是条折线，直接找出这条折线很困难，

于是想到要把折线化为直线.由于桥的长度相当于河宽，而河宽是定值，所以桥长是定

值.因此，从A点作河岸的垂线，并在垂线上取AC等于河宽，就相当于把河宽预先扣除,

找出B、C两点之间的最短路线，问题就可以解决.

解：如上图，过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长为河宽，连结BC交河岸

于D点，作DE垂直于河岸，交对岸于E点，D、E两点就是使两村行程最短的架桥地点.即

两村的最短路程是AE+ED+DB.

例8在河中有A、B两岛（如下图），六年级一班组织一次划船比赛，规则要求船从

A岛出发，必须先划到甲岸，又到乙岸，再到B岛，最后回到A岛，试问应选择怎样的路

线才能使路程最短？

解：如上图，分别作A、B关于甲岸线、乙岸线的对称点A'和B',连结A'、

B'分别交甲岸线、乙岸线于E、F两点，则A-E—F-B-A是最短路线，即最短路程为：

AE+EF+FB+BA.

证明：由对称性可知路线AfEfF—B的长度恰等于线段A'B'的长度.而从A岛

到甲岸，又到乙岸，再到B岛的任意的另一条路线,利用对称方法都可以化成一条连接A'、

B'之间的折线，它们的长度都大于线段A'B',例如上图中用“--------”表示的路

线A-E'-F'-B的长度等于折线AE'F'B的长度，它大于A'B'的长度，所以A

_>EfF-B-*A是最短路线.

・对称问题

教学目的：进一步理解从实际问题转化为数学问题的方法，对于轴对称问题、中心对

称问题有一个比较深入的认识，可以通过对称的性质及三角形两边之和与第三边的关系找

到证明的方法。

教学重点和难点：猜想验证的过程，及几何问题的说理性。

一、点关于一条直线的对称问题

问题超市：一天，天气很热，小明想回家，但小狗想到河边去喝水。有什么办法能让

小狗到河边喝上水，同是回家又最近？

问题数学化：设小明与小狗在A处，家在B处，小河为L

L,小明要在直线L上找一个点C（小狗在C处饮水），使得

AC+BC最短。（如图所示）A-

•B

知识介绍：两条线段之和最短，往往利用对称的思想，

把两条线段的和变为一条线段来研究，利用两点之间的线段最短，可以得出结果。

中学数学中常见的对称有两类，一类是轴对称，一类是中心对称。

轴对称有两个基本特征:垂直与相等。构造点M关于直线PQ的轴对称点N的方法是:

过M作MO垂直于PQ于点O,并延长MO到点N,使NO=MO,则点N就是点M关于

直线PQ的对称点。

问题分析：过A作AO垂直于直\

线L于点O,延长AO到点A',使_______„\C_____L

A'O=AO,连接A'B,交直线L于点

C,则小明沿着ACB的路径就可以满A\

足小狗喝上水，同时又使回家的路B

程最短。

问题的证明方法：三角形两边之和大于第三边及对称的性质。

问题的延伸1：已知直线L外有一个定点P,在直线L上找两

点A、B,使AB=m,且PA+PB最短。(其中m为定值)/\

提示：作PC平行于AB,且PC==AB,则问题变为：在直线L4——'—L

上找一个点B,使它到P、C两点的距离之和最短。''

问题的延伸2:在两条相交线

之外有一个定点P,分别在两条直

线上找点B、C使得PB+BC+CP最

短，如何确定B、C的位置？

提示：分别作点P关于直线L1

和直线L?的对称点P1和P2,连接

PF2分别与两直线交于B、C点，

则PB+BC+PC最短。证明方法同上。

二、桥该建在哪里：

问题超市：农场里有一条小河，里面养了很多鱼。在河的两岸有两个加工厂，农场主

经常要在这两个工厂之间来回奔波。农场新买了一辆汽车，想在农场内建造一条马路，同

时在河上修建一座桥。要求桥与河岸垂直，可是桥应该建在何处，才能使两个加工厂之间

的路程最短？

,A

问题数学化：在直线L1和直线J之间作一条垂线段

CD,使得BC+CD+DA最短。

知识介绍：/

关于最短距离，我们有下面几个相应的结论：B，

(1)在连接两点的所有线中，线段最短(两点之间，线段最短)；

(2)三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

(3)在三角形中，大角对大边，小角对小边。

一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用两点之间线段

最短或者三角形两边之和大于第三边来加以证明。

另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质。(判定：如果一个

四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质：平行四边形的对边

相等。)

问题分析：由于CD的长度一定，所以BC+CD+DA最短，只需BC+DA最短既可。

我们想办法把线段AD平移到和

线段BC共线的位置，于是变化

为下面两图。

问题的总结与结论：一般来LiLi

说，我们利用图形的对称性寻找