2024-2025学年高中数学第三章空间向量与立体几何单元综合测试含解析新人教A版选修2-1

PAGEPAGE12单元综合测试三(第三章)时间：90分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．与向量a＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标可以是(C)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1，1)) B．(－1，－3,2)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)，－1)) D．(eq\r(2)，－3，－2eq\r(2))解析：a＝(1，－3,2)＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)，－1)).2．如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则用向量a，b，c表示向量eq\o(BD1,\s\up6(→))为(D)A．a＋b＋cB．a－b＋cC．a＋b－cD．－a＋b＋c解析：eq\o(BD1,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝－a＋b＋c.3．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，c＝(1，－x,2)，若(a＋b)⊥c，则x等于(B)A．4 B．－4C.eq\f(1,2) D．－6解析：a＋b＝(－2,1,3＋x)，∵(a＋b)⊥c，∴(a＋b)·c＝0，∴－2－x＋2(3＋x)＝0，得x＝－4.4．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a，b的夹角的余弦值为eq\f(8,9)，则λ等于(C)A．2 B．－2C．－2或eq\f(2,55) D．2或－eq\f(2,55)解析：a·b＝2－λ＋4＝6－λ＝eq\r(5＋λ2)×3×eq\f(8,9).解得λ＝－2或eq\f(2,55).5．已知空间四边形ABCD每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则a2是下列哪个选项的计算结果(C)A．2eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→)) B．2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))C．2eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)) D．2eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))解析：2eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝－a2，A错；2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝－a2，B错；2eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a2，D错；只有C对．6．若A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|eq\o(AB,\s\up6(→))|取最小值时，x的值等于(C)A．19 B．－eq\f(8,7)C.eq\f(8,7)D.eq\f(19,14)解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1－x,2x－3，－3x＋3)，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(1－x2＋2x－32＋－3x＋32)＝eq\r(14x2－32x＋19)＝eq\r(14x－\f(8,7)2＋\f(5,7))，故当x＝eq\f(8,7)时，|eq\o(AB,\s\up6(→))|取最小值，故选C.7．已知ABCD，ABEF是边长为1的正方形，FA⊥平面ABCD，则异面直线AC与EF所成的角为(B)A．30° B．45°C．60° D．90°解析：∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，四边形ABCD，ABEF均为正方形，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\a\vs4\al(\o(AB,\s\up6(→)))2＝1.∴|cos〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→))〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AC,\s\up6(→))·\o(FE,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(AC,\s\up6(→))|·|\o(FE,\s\up6(→))|))))＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴AC与EF所成角为45°.8．如图所示，正方体ABCD­A′B′C′D′中，M是AB的中点，则sin〈eq\o(DB′,\s\up6(→))，eq\o(CM,\s\up6(→))〉的值为(B)A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(210),15)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(\r(11),15)解析：以DA，DC，DD′所在的直线分别为x，y，z轴建立直角坐标系Oxyz，设正方体棱长为1，则D(0,0,0)，B′(1,1,1)，C(0,1,0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，0))，则eq\o(DB′,\s\up6(→))＝(1,1,1)，eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2)，0))，cos〈eq\o(DB′,\s\up6(→))，eq\o(CM,\s\up6(→))〉＝eq\f(\r(15),15)，则sin〈eq\o(DB′,\s\up6(→))，eq\o(CM,\s\up6(→))〉＝eq\f(\r(210),15).9.如图所示，AB＝AC＝BD＝1，AB⊂平面α，AC⊥平面α，BD⊥AB，BD与平面α成30°角，则C、D间的距离为(C)A．1 B．2C.eq\r(2) D.eq\r(3)解析：|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝|eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos120°＝2.∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\r(2).10．在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝eq\f(\r(2),3)a，则MN与平面BB1C1A．斜交 B．平行C．垂直 D．不能确定解析：如下图所示，∵A1M＝AN＝eq\f(\r(2),3)a，∴A1M＝eq\f(1,3)A1B，AN＝eq\f(1,3)AC.∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(A1B,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(B1B,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(B1C1,\s\up6(→)).∴eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(B1C1,\s\up6(→))共面．∵MN⊄平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.11．在三棱锥P­ABC中，△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝AB，则二面角A­PB­C的平面角的正切值为(A)A.eq\r(6)B.eq\r(3)C.eq\f(\r(6),6)D.eq\f(\r(6),2)解析：设PA＝AB＝2，如图建立空间直角坐标系，平面PAB的一个法向量是m＝(1,0,0)，平面PBC的一个法向量是n＝(eq\f(\r(3),3)，1,1)．则cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(\f(\r(3),3),|m||n|)＝eq\f(\f(\r(3),3),1×\f(\r(21),3))＝eq\f(\r(7),7).∴正切值tan〈m，n〉＝eq\r(6).12．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是正三角形，四边形ABCD是矩形，M是AB的中点，PC与平面ABCD成30°角，则eq\f(AB,AD)的值等于(C)A．1 B．2C.eq\r(2) D.eq\r(3)解析：取AD的中点O，则由OP⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD推出OP⊥平面ABCD，从而建立空间直角坐标系Oxyz，OD在x轴上，OP在z轴上，如右图所示，并设AD＝2a，AB＝2b，则P(0,0，eq\r(3)a)，C(a,2b,0)，∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝(a,2b,0)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(a,2b，－eq\r(3)a)．易得eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))＝30°，得cos30°＝eq\f(\o(OC,\s\up6(→))·\o(PC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(OC,\s\up6(→))||\o(PC,\s\up6(→))|))＝eq\f(a2＋4b2,\r(a2＋4b2)·\r(4a2＋4b2))＝eq\f(\r(3),2)，解得b＝eq\r(2)a，所以eq\f(AB,AD)＝eq\f(2b,2a)＝eq\r(2).第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．若a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(2a－3b)·(a＋2b)＝－200解析：∵2a－3b＝2(4，－2，－4)－3(6，－3,2)＝(－10,5，－14)，a＋2b＝(4，－2，－4)＋2(6，－3,2)＝(16，－8，0)，∴(2a－3b)·(a＋214．平面α的法向量为m＝(1,0，－1)，平面β的法向量为n＝(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为60°或120°.解析：cosm，n＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(－1,\r(2)·\r(2))＝－eq\f(1,2)，∴m，n＝120°，即平面α与β所成二面角的大小为60°或120°.15.如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA＝PB＝PC＝BC，且∠BAC＝90°，则PA与底面ABC所成的角为60°.解析：由于PA＝PB＝PC，故P在底面ABC上的射影为△ABC外心，由于△ABC为直角三角形，不妨设OB＝OC，所以OP⊥平面ABC，∠PAO为所求角，不妨设BC＝1，则OA＝eq\f(1,2)，cos∠PAO＝eq\f(1,2)，所以∠PAO＝60°.16．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，EF∥BC且AE＝2EB，G为BC的中点，K为AF的中点．沿EF将矩形折成120°的二面角A­EF­B，此时KG的长为eq\r(3).解析：如图所示，过K作KM⊥EF，垂足为M为EF的中点，则向量eq\o(MK,\s\up6(→))与eq\o(FC,\s\up6(→))的夹角为120°，eq\o(KM,\s\up6(→))，eq\o(FC,\s\up6(→))＝60°.又eq\o(KG,\s\up6(→))＝eq\o(KM,\s\up6(→))＋eq\o(MG,\s\up6(→))＝eq\o(KM,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))，∴eq\a\vs4\al(\o(KG,\s\up6(→)))2＝eq\a\vs4\al(\o(KM,\s\up6(→)))2＋eq\a\vs4\al(\o(FC,\s\up6(→)))2＋2eq\o(KM,\s\up6(→))·eq\o(FC,\s\up6(→))＝1＋1＋2×1×1×cos60°＝3.∴|eq\o(KG,\s\up6(→))|＝eq\r(3).三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最终结果不得分，共70分)17．(10分)设空间两个不同的单位向量a＝(x1，y1,0)，b＝(x2，y2,0)，a，b与向量c＝(1,1,1)的夹角都等于45°.(1)求x1＋y1和x1·y1的值；(2)求a，b的大小．解：(1)依题意，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＝1，,\f(x1＋y1,\r(3))＝\f(\r(2),2)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＝1，,x1＋y1＝\f(\r(6),2)，))∴x1＋y1＝eq\f(\r(6),2)，易得x1·y1＝eq\f(1,4).(2)∵单位向量a＝(x1，y1,0)，b＝(x2，y2,0)与向量c＝(1,1,1)的夹角都等于45°，∴由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋y1＝\f(\r(6),2)，,x1·y1＝\f(1,4)，))有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(\r(6)＋\r(2),4)，,y1＝\f(\r(6)－\r(2),4)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(\r(6)－\r(2),4)，,y1＝\f(\r(6)＋\r(2),4).))∴可取a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),4)，\f(\r(6)－\r(2),4)，0))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)－\r(2),4)，\f(\r(6)＋\r(2),4)，0))，∴cosa，b＝eq\f(x1x2＋y1y2,|a||b|)＝eq\f(1,2).∴a，b＝eq\f(π,3).18．(12分)已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．(1)求|2a＋b(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得eq\o(OE,\s\up6(→))⊥b？(O为原点)解：(1)2a＋b故|2a＋b|＝eq\r(02＋－52＋52)＝5eq\r(2).(2)假设存在点E，设eq\o(AE,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))，则eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)，若eq\o(OE,\s\up6(→))⊥b，则eq\o(OE,\s\up6(→))·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝eq\f(9,5)，因此存在点E，使得eq\o(OE,\s\up6(→))⊥b，此时E点坐标为E(－eq\f(6,5)，－eq\f(14,5)，eq\f(2,5))．19．(12分)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．解：如图，连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝eq\r(3).由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝eq\r(3)，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝eq\r(2)，故DF＝eq\f(\r(2),2).在Rt△FDG中，可得FG＝eq\f(\r(6),2).在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝eq\r(2)，DF＝eq\f(\r(2),2)，可得EF＝eq\f(3\r(2),2).从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.(2)如图，以G为坐标原点，分别以eq\o(GB,\s\up6(→))，eq\o(GC,\s\up6(→))的方向为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系Gxyz.由(1)可得A(0，－eq\r(3)，0)，E(1,0，eq\r(2))，F(－1,0，eq\f(\r(2),2))，C(0，eq\r(3)，0)，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3)，eq\r(2))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝(－1，－eq\r(3)，eq\f(\r(2),2))．故cos〈eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AE,\s\up6(→))·\o(CF,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(AE,\s\up6(→))||\o(CF,\s\up6(→))|))＝－eq\f(\r(3),3).所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为eq\f(\r(3),3).20．(12分)如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面相互垂直，AB＝eq\r(2)，AF＝1，M是线段EF的中点．(1)求证AM∥平面BDE；(2)求证AM⊥平面BDF.证明：取AC，BD的交点O为原点，OD，OA，OM所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接OE，则各点的坐标分别为O(0,0,0)，A(0,1,0)，B(－1,0,0)，C(0，－1，0，)，D(1,0,0，)，E(0，－1,1)，F(0,1,1)，M(0,0,1)．(1)∵eq\o(AM,\s\up6(→))＝(0，－1,1)，eq\o(OE,\s\up6(→))＝(0，－1,1)，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))，即AM∥OE，又∵AM⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴AM∥平面BDE.(2)∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝(2,0,0)，eq\o(DF,\s\up6(→))＝(－1,1,1)，∴eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→))＝0，∴AM⊥BD，AM⊥DF，∴AM⊥平面BDF.21．(12分)如图所示，在三棱锥P­ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝AC＝2，AB＝BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB.(1)求证：AB⊥平面PCB；(2)求异面直线AP与BC所成角的大小；(3)求二面角C­PA­B的余弦值．解：(1)证明：∵PC⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴PC⊥AB.∵CD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CD⊥AB.又PC∩CD＝C，∴AB⊥平面PCB.(2)由(1)知AB⊥平面PCB，∵BC⊂平面PCB，∴AB⊥BC.∵PC＝AC＝2，AB＝BC，∴BC＝eq\r(2).如图所示，以B为原点，建立空间直角坐标系Bxyz，则A(0，eq\r(2)，0)，B(0,0,0)，C(eq\r(2)，0,0)，P(eq\r(2)，0,2)．∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，－eq\r(2)，2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，0,0)，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\r(2)×eq\r(2)＋0＋0＝2，coseq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(\o(AP,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(AP,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|))＝eq\f(2,2\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2).∴异面直线AP与BC所成的角为60°.(3)设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)．eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0，－eq\r(2)，0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，－eq\r(2)，2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))·m＝0，,\o(AP,\s\up6(→))·m＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\r(2)y＝0，,\r(2)x－\r(2)y＋2z＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝0，,x＝－\r(2)z.))令z＝－1，得x＝eq\r(2)，则平面PAB的一个法向量为m＝(eq\r(2)，0，－1)．设平面PAC的法向量为n＝(x′，y′，z′).eq\o(PC,\s\up6(→))＝(0,0，－2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，－eq\r(2)，0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(PC,\s\up6(→))·n＝0，,\o(AC,\s\up6(→))·n＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2z′＝0，,\r(2)x′－\r(2)y′＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(z′＝0，,x′＝y′.))令x′＝1，得y′＝1，则平面PAC的一个法向量为n＝(1,1,0)．cosm，n＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(\r(2),\r(3)×\r(2))＝eq\f(\r(3),3).∴二面角C­PA­B的余弦值为eq\f(\r(3),3).22．(12分)如图(1)所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD(1)求证A1C⊥平面BCDE(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直