新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）27 立体几何中的折叠和探索性问题（原卷版）

素养拓展27立体几何中的折叠和探索性问题（精讲+精练）一、知识点梳理一、知识点梳理1.折叠问题解决折叠问题最重要的就是对比折叠前后的图形，找到哪些线、面的位置关系和数学量没有发生变化，哪些发生了变化，在证明和求解的过程中恰当地加以利用。一般步骤：①确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量；②在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面；③利用判定定理或性质定理进行证明。2.探索性问题探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，立体几何中的探究性问题既能够考查学生的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力。对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决．一般此类立体几何问题描述的是动态的过程，结果具有不唯一性或者隐藏性，往往需要耐心尝试及等价转化，因此，对于常见的探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的。二、题型精讲精练二、题型精讲精练【典例1】如图所示的五边形SKIPIF1<0中SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，沿SKIPIF1<0折叠成四棱锥SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0．(1)在四棱锥SKIPIF1<0中，可以满足条件①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，请从中任选两个作为补充条件，证明：侧面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．）(2)在（1）的条件下求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．【典例2】如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求四棱锥SKIPIF1<0的体积；(2)在线段PB上是否存在点M，使得SKIPIF1<0平面PAD？若存在，求SKIPIF1<0的值；若不存在，请说明理由．【题型训练-刷模拟】1.折叠问题1．如图1，在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等腰直角三角形，其中SKIPIF1<0为斜边.若把SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0边折叠到SKIPIF1<0的位置，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，如图2.（1）证明：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0的中点，求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离.2．如图，四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0是边长为2的正三角形，以SKIPIF1<0为折痕，将SKIPIF1<0向一方折叠到SKIPIF1<0的位置，使D点在平面SKIPIF1<0内的射影在SKIPIF1<0上，再将SKIPIF1<0向另一方折叠到SKIPIF1<0的位置，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，形成几何体SKIPIF1<0.（1）若点F为SKIPIF1<0的中点，求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.3．如图是矩形SKIPIF1<0和以边SKIPIF1<0为直径的半圆组成的平面图形，将此图形沿SKIPIF1<0折叠，使平面SKIPIF1<0垂直于半圆所在的平面，若点SKIPIF1<0是折后图形中半圆SKIPIF1<0上异于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的点（1）证明：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，且异面直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，求三棱锥SKIPIF1<0的体积．4．如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点P、Q分别是边AB、BC的中点，将SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别沿DP、DQ折叠，使A、C两点重合于点M，连BM、PQ，得到图2所示几何体．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)在线段MD上是否存在一点F，使SKIPIF1<0平面PQF，如果存在，求SKIPIF1<0的值，如果不存在，说明理由．5．如图①，在平面四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．将SKIPIF1<0沿着SKIPIF1<0折叠，使得点SKIPIF1<0到达点SKIPIF1<0的位置，且二面角SKIPIF1<0为直二面角，如图②．已知SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正切值为SKIPIF1<0．(1)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求四棱锥SKIPIF1<0的体积．6．如图1，在直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.现沿平行于SKIPIF1<0的SKIPIF1<0折叠，使得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，如图2所示.(1)求SKIPIF1<0的长度；(2)求二面角SKIPIF1<0的大小.7．如图甲所示的正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对角线SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将正方形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0，SKIPIF1<0折叠使得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合，构成如图乙所示的三棱柱SKIPIF1<0．(1)若点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值．8．）如图甲所示的正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0对角线SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，将正方形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折叠使得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合，构成如图乙所示的三棱柱SKIPIF1<0(1)若点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的余弦值.9．如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且SKIPIF1<0.

(1)求证：直线EC与平面ABD没有公共点；(2)求点C到平面BED的距离.10．如图1所示，等边SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上的高，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0边的中点．现将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折叠，如图2所示.

(1)证明：SKIPIF1<0；(2)折叠后若SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的余弦值.11．在图1中，SKIPIF1<0为等腰直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且SKIPIF1<0，沿AC将SKIPIF1<0进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得SKIPIF1<0．

(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)求二面角SKIPIF1<0的余弦值．12．已知矩形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M，N分别为AD，BC中点，O为对角线AC，BD交点，如图1所示．现将SKIPIF1<0和SKIPIF1<0剪去，并将剩下的部分按如下方式折叠：沿MN将SKIPIF1<0折叠，并使OA与OB重合，OC与OD重合，连接MN，得到由平面OAM，OBN，ODM，OCN围成的无盖几何体，如图2所示．

(1)求证：MN⊥平面SKIPIF1<0；(2)求此多面体体积V的最大值．13．如图（1）所示，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0垂直平分SKIPIF1<0．现将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使得二面角SKIPIF1<0大小为SKIPIF1<0，得到如图（2）所示的空间几何体（折叠后点SKIPIF1<0记作点SKIPIF1<0）

(1)求点SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距离；(2)求四棱锥SKIPIF1<0外接球的体积；(3)点SKIPIF1<0为一动点，满足SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角最大时，试确定点SKIPIF1<0的位置．14．如图SKIPIF1<0所示，在边长为SKIPIF1<0的正方形SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，分别交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，分别交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，将该正方形沿SKIPIF1<0折叠，使得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合，构成如图SKIPIF1<0所示的三棱柱SKIPIF1<0．(1)在三棱柱SKIPIF1<0中，求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)试判断直线SKIPIF1<0是否与平面SKIPIF1<0平行，并说明理由．2.探索性问题1．已知正四棱台SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.

(1)求侧棱SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0所成的角；(2)在线段SKIPIF1<0上是否存在一点P，使得SKIPIF1<0？若存在请确定点SKIPIF1<0的位置；若不存在，请说明理由.2．）如图，在五棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.

(1)证明：SKIPIF1<0；(2)若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，探索：SKIPIF1<0是否为定值？若为定值，请求出SKIPIF1<0的值；若不是定值，请说明理由.3．）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面ABCD，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点G是EF的中点．

(1)证明：SKIPIF1<0平面ABCD；(2)线段AC上是否存在一点M，使SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面ABF？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，说明理由．4．已知四棱锥SKIPIF1<0中，四边形SKIPIF1<0为等腰梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等边三角形．

(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)是否存在一点SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，使直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，请说明理由．5．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，三角形SKIPIF1<0为正三角形，且侧面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0.SKIPIF1<0分别为线段SKIPIF1<0的中点.

(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)在棱SKIPIF1<0上是否存在点SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？若存在，请求出SKIPIF1<0的值；若不存在，请说明理由.6．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的动点，且SKIPIF1<0．

(1)证明:SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)是否存在实数SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成锐二面角的余弦值是SKIPIF1<0?若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，请说明理由．7．如图，在等腰梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0为矩形，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.

(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)在线段SKIPIF1<0上是否存在点SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成锐二面角的平面角为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0.若不存在，请说明理由；若存在，求出SKIPIF1<0的长度.8．如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等边三角形，D，E分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)在线段SKIPIF1<0上是否存在点F，使得平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，若存在，求出SKIPIF1<0的长；若不存在，请说明理由．9．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面ABCD为正方形，侧面SAD为等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)侧棱SC上是否存在一点P（P不在端点处），使得直线BP与平面SAC所成角的正弦值等于SKIPIF1<0？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由．10．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0为等边三角形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，O为SKIPIF1<0的中点．(1)若E为线段SKIP