新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）26 立体几何中的轨迹问题（原卷版）

素养拓展26立体几何中的轨迹问题（精讲+精练）一、知识点梳理一、知识点梳理一、立体几何中的轨迹问题立体几何轨迹问题是以空间图形为素材,去探究符合一定条件的点的运动轨迹,处于解析几何和立体几何的交汇处,要求学生有较强的空间想象能力、数学转化和化归能力,以及对解析几何和立体几何知识的全面掌握.常见的轨迹类型有直线、圆雉曲线、球面、椭球面.二、常用的解决策略(1)定义法:借助圆雉曲线的定义判断.(2)坐标法:建立合适的坐标系,用方程来表示所求点的轨迹,借助方程来判断轨迹形状.(3)交轨法:运动的点同时在两个空间几何体上,如平面与圆雉、圆柱、球相交,球与球相交,等等.(4)平面化:把空间几何关系转化到同一平面内,进而探究平面内的轨迹问题,使问题更易解决.空间问题平面化也是解决立体几何题目的一般性思路.三、轨迹是圆锥曲线的原理剖析令平面与轴线的夹角为θ0<θ<90°,圆雉的母线与轴的夹角为SKIPIF1<0,如图②.当SKIPIF1<0时,截口曲线为椭圆;(2)当SKIPIF1<0时,截口曲线为抛物线;(3)当SKIPIF1<0时,截口曲线为双曲线.图②我们再从几何角度来证明.(1)如图③,在圆锥内放两个大小不同的球,使它们分别与截面切于点SKIPIF1<0.在截口曲线上任取一点SKIPIF1<0,过点SKIPIF1<0作圆雉的母线,分别与两球切于点SKIPIF1<0.由球的性质可知SKIPIF1<0,于是SKIPIF1<0为定值,这样截口曲线上的任一点SKIPIF1<0到两个定点SKIPIF1<0的距离之和为常数,由椭圆的定义知,截口曲线是椭圆.(2)如图④,在互相倒置的两个圆雉内放两个大小不同的球,使它们分别与圆雉的侧面、截面相切,两个球分别与截面切于点SKIPIF1<0.在截口曲线上任取一点SKIPIF1<0,过点SKIPIF1<0作圆雉的母线,分别与两球切于点SKIPIF1<0.由球的性质可知SKIPIF1<0,于是SKIPIF1<0为定值,这样截口曲线上的任一点SKIPIF1<0到两个定点SKIPIF1<0的距离之差的绝对值为常数,由双曲线的定义知,截口曲线是双曲线.(3)如图⑤,用平行于母线SKIPIF1<0且垂直于轴截面SKIPIF1<0的平面SKIPIF1<0去截圆雉.在圆雉内放一个球,使它和圆雉的侧面与截面SKIPIF1<0相切,球与截面切于点SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0为球与圆雉相切时切点构成的圆所在的平面,记SKIPIF1<0.在截口曲线上任取一点SKIPIF1<0,作直线与球相切于点SKIPIF1<0,连结SKIPIF1<0,有SKIPIF1<0.在母线SKIPIF1<0上取点SKIPIF1<0(SKIPIF1<0为SKIPIF1<0与球的切点),使得SKIPIF1<0.过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0,有点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上,且SKIPIF1<0.另一方面,因为平面SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直,那么SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,有SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.于是截口曲线是以点SKIPIF1<0为焦点,SKIPIF1<0为准线的抛物线.二、题型精讲精练二、题型精讲精练1.平行、垂直有关的的轨迹问题①平行有关的轨迹问题的解题策略1.线面平行转化为面面平行得轨迹;2.平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.②垂直有关的轨迹问题的解题策略1.可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹;2.利用空间坐标运算求轨迹;3.利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.【典例1】如图，在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分别是CC1、C1D1、DD1、CD、BC的中点，M在四边形EFGH边上及其内部运动，若MN∥面A1BD，则点M轨迹的长度是（）A．SKIPIF1<0a B．SKIPIF1<0a C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】在正方体SKIPIF1<0中，Q是正方形SKIPIF1<0内的动点，SKIPIF1<0，则Q点的轨迹是（）A．点SKIPIF1<0 B．线段SKIPIF1<0 C．线段SKIPIF1<0 D．平面SKIPIF1<02.距离、角度有关的的轨迹问题①距离有关的轨迹问题的解题策略1.距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹；2.利用空间坐标计算求轨迹.②角度有关的轨迹问题的解题策略1.直线与面成定角，可能是圆锥侧面;2.直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面;3.利用空间坐标系计算求轨迹.【典例3】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为底面ABCD内一点，若P到棱CD，A1D1距离相等的点，则点P的轨迹是（）A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线【典例4】正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0上的一个点（包括端点），SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0上一动点，满足直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0夹角与直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的夹角相等，则点SKIPIF1<0所在轨迹为（）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．抛物线或双曲线3.翻折有关的的轨迹问题①翻折有关的轨迹问题的解题策略1.翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹2.翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹3.可以利用空间坐标运算求轨迹【典例5】1822年，比利时数学家Dandelin利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占SKIPIF1<0正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得SKIPIF1<0与小球相切．若SKIPIF1<0，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【题型训练2-刷模拟】1.平行、垂直有关的的轨迹问题一、单选题1．）正四棱锥SKIPIF1<0的底面边长为2，高为2，E是边SKIPIF1<0的中点，动点P在表面上运动，并且总保持SKIPIF1<0，则动点P的轨迹的周长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．4 D．SKIPIF1<02．在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0为正四棱柱表面上一点，且SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹的长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．在棱长为4的正方体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在正方体SKIPIF1<0的表面上运动，满足SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹所构成的周长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．如图所示，正方体SKIPIF1<0的棱长为2，E，F分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，点P是正方体表面上的动点，若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0点在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在正方体的表面上运动，且满足SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．点SKIPIF1<0可以是棱SKIPIF1<0的中点 B．线段SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0C．点SKIPIF1<0的轨迹是正方形 D．点SKIPIF1<0轨迹的长度为SKIPIF1<06．已知棱长为1的正方体SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，动点SKIPIF1<0在正方体内部或表面上，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则动点SKIPIF1<0的轨迹所形成区域的面积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空题7．如图，SKIPIF1<0为圆柱下底面圆SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0是下底面圆周上一点，已知SKIPIF1<0，圆柱的高为5．若点SKIPIF1<0在圆柱表面上运动，且满足SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹所围成图形的面积为．8．已知正方体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0，动点P在SKIPIF1<0内，满足SKIPIF1<0，则点P的轨迹长度为．9．若点SKIPIF1<0是棱长为SKIPIF1<0的正方体SKIPIF1<0的内切球SKIPIF1<0的球面上的动点，点SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0上的一点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则动SKIPIF1<0点的轨迹的长度为．2.距离、角度有关的的轨迹问题一、单选题1．已知长方体SKIPIF1<0的外接球的表面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点P在四边形SKIPIF1<0内，且直线BP与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，则长方体的体积最大时，动点P的轨迹长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥为正四棱锥）P－ABCD的底面正方形边长为2，其内切球O的表面积为SKIPIF1<0，动点Q在正方形ABCD内运动，且满足SKIPIF1<0，则动点Q形成轨迹的周长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且SKIPIF1<0，球体O表面上动点P满足SKIPIF1<0，则点P的轨迹长度为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．在正方体SKIPIF1<0中，E为SKIPIF1<0的中点，F为底面ABCD上一动点，且EF与底面ABCD所成的角为SKIPIF1<0．若该正方体外接球的表面积为SKIPIF1<0，则动点F的轨迹长度为（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知三棱锥SKIPIF1<0的底面△ABC为等腰直角三角形，其顶点P到底面ABC的距离为4，体积为SKIPIF1<0，若该三棱锥的外接球O的半径为SKIPIF1<0，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．在正四面体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所在平面上的动点，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为定值SKIPIF1<0，则动点SKIPIF1<0的轨迹是（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线7．棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0是侧面SKIPIF1<0上的一个动点（包含边界），则下面结论正确的有（

）①若点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则动点SKIPIF1<0的轨迹是线段；②若点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则动点SKIPIF1<0的轨迹是椭圆的一部分；③在线段SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0，使直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0．所成的角为SKIPIF1<0；④当SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上移动时，SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题8．）在棱长为3的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0，则正方体表面到SKIPIF1<0点距离为SKIPIF1<0的点的轨迹总长度为.9．已知三棱锥SKIPIF1<0的外接球SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等腰直角三角形，若顶点SKIPIF1<0到底面SKIPIF1<0的距离为4，且三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，则满足上述条件的顶点SKIPIF1<0的轨迹长度是．10．已知SKIPIF1<0为正方体SKIPIF1<0的内切球球面上的动点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，若动点SKIPIF1<0的轨迹长度为SKIPIF1<0，则正方体的体积是.3.翻折有关的的轨迹问题一、单选题1．已知菱形SKIPIF1<0的各边长为SKIPIF1<0.如图所示，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0