数学-山东省（新高考Ⅰ卷）2025届新高三开学摸底考试卷（第一套）试题和答案

2025届新高三开学摸底考试卷（新高考通用）01（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则A∩B=2．已知复数z满足=—2i，则z的虚部为()A．iB．iC．D.3．已知α∈,3sin2α=cos2α+1，则tan2α=() A.·i2B．s3 4．若命题：“彐a，b∈R，使得a—cosb≤b—cosa”为假命题5．黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器．该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足．器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收．黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径22.5cm，足径14.4cm，高3.8cm，其中底部圆柱高0.8cm，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为附：π的值取3，y25.4025≈5）A．311.31cm2B．300.88cm2C．322.24cm2D．332.52cm26．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量某山峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为45°,沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P的仰角为60°,则山高PQ为米A．45(J6+、)B．45(6-、)C．90(F-1)7．已知双曲线一的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与E的右支交于A，B两点，且BF2l=2AF2i，若则双曲线E的离心率为()B.D.8．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)+f(y)=f(x+y)一2xy+2,f(1)=2，则下列结A．f(4)=12B．方程f(x)=x有解C．是偶函数是偶函数二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[80,90)内的学生成绩方差为12，成绩位于[90,100)内的同学成绩方差为10.则() 参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m、x、s；n、y、s.记样本平均数为w，样本方差为s2，s2=B．估计该年级学生成绩的中位数约为77.14C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.2510．已知函数f(x)=sin下列说法正确的是()A．f(x)的最小正周期为为f(x)图象的一个对称中心C．若f上有两个实数根，则3≤a<1D．若f(x)的导函数为f,(x)，则函数y=f(x)+f,(x)的最大值为vio11．已知x1是函数f(x)=x3+mx+n(m<0)的极值点，若f(x2)=f(x1)(x1≠x2)，则下列A．f(x)的对称中心为(0,n)B．f(一x1)>f(x1)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知非零向量,b满足2a=Ibl，且a丄(a一5)，则a，b的夹角大小为13．一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，4．现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为.14．已知a,b为实数，若不等式i2ax2+(4a+b)x+4a+b≤2ix+1对任意恒成立，则3a+b的最大值是.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。1513分）如图，在四棱锥P一ABCD中，平面PAB丄平面ABCD,PA丄AB,AB∥CD，(1)证明：平面PAC丄平面PBC；(2)求平面PAD与平面PBC夹角的正弦值.1615分）地区生产总值(地区GDP)是衡量一个地区经济发展的重要指标，在过去五年(2019年-2023年)中，某地区的地区生产总值实现了“翻一番”的飞跃，从1464亿元增长到了3008亿元，若该地区在这五年中的年份编号x(2019年对应的x值为1，2020年对应的x值为2，以此类推)与地区生产总值y(百亿元)的对应数据如下表：年份编号x12345地区生产总值y(百亿元)14.6417.4220.7225.2030.08(1)该地区2023年的人均生产总值为9.39万元，若2023年全国的人均生产总值X(万元)服从正态分布X~N(8.57,0.822)，那么在全国其他城市或地区中随机挑选2个，记随机变量Y为“2023年人均生产总值高于该地区的城市或地区的数量”，求Y=1的概率；(2)该地区的人口总数t(百万人)与年份编号x的回归方程可以近似为t=0.2x+2.2，根据上述的回归方程，估算该地区年份编号x与人均生产总值(人均GDP)u(万元)之间的线性回归参考公式与数据：人均生产总值=地区生产总值÷人口总数；线性回归方程y=x+中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别是：若X~N(μ,σ2)，则P(μ一σ≤x≤μ+σ)≈0.68,P(μ一2σ≤x≤μ+2σ)≈0.95.1715分）已知M为圆x2+y2=9上一个动点，MN垂直x轴，垂足为N，O为坐标原点，△OMN的重心为G.(1)求点G的轨迹方程;(2)记（1）中的轨迹为曲线C，直线l与曲线C相交于B两点，点Q(0,1)，若点H(5,0)恰好是△ABQ的垂心，求直线l的方程.1817分）已知函数，其中e为自然对数的底数.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若方程f(x)=1有两个不同的根x1,x2.(i)求a的取值范围；1917分）已知数列{an}是斐波那契数列，其数值为：1,1,2,3,5,8,13,21,34.......这一数列以如下递推的方法定义：a1=1，a2=1，an+2=an+1+an(n∈N*)数k，若存在正整数n使得bk+n=bk+bn成立，则称数列{bn}为“k阶可分拆数列”.(1)已知数列{cn}满足cn=man（n∈N*，m∈R）.判断是否对丫m∈R，总存在确定的正整数k，使得数列{cn}为“k阶可分拆数列”，并说明理由.（i）若数列{dn}为“1阶可分拆数列”，求出符合条件的实数a的值；（ii）在（i）问的前提下，若数列满足fn=，n∈N*，其前n项和为Tn.证明：当n∈N*+1成立.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678DCCBAABC二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9BCDACDAC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。π 133四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。1513分）【详解】（1）由题意AB=2CD=2AD=2BC=2，则上ABC=60o，因为BC=1,AB=2，所以上ACB=90o,AC丄BC1分）因为平面PAB丄平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，且PA丄AB,PAC平面PAB，所以PA丄平面ABCD2分）因为BC平面ABCD，所以PA丄BC3分）且AC∩PA=A,AC,PA平面PAC，所以BC丄平面PAC4分）又BC平面PBC，所以平面PAC丄平面PBC5分）（2）如图，以A为原点，A––,A––分别为x轴，y轴正方向，在平面ABCD内过点A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则7分，建系、设点各一分）所以 →设平面PAD的一个法向量n1=(x,y,z)，设平面PBC的法向量n-=(m,n,p)，-设平面PAD与平面PBC的夹角为θ,则cosθ=（12分）1615分）【详解】（1）易知9.39=8.57+0.82，所以根据正态分布区间公式有即每个地区大于该地区的人均生产总值的概率为0.16，则Y~B(2,0.16)4分，不写不扣分）（2）因为t=0.2x+2.2，由题意可知，每年的人均生产总值分别依次为：所以=7.610分）1715分）【详解】（1）设G(x,y),M(x0,y0)，则N(x0,0)，因G为△OMN的重心，故有2分）解得,y0=3y，代入x化简得+y2=1，(4分)又x0y0≠0，故xy≠0，所以G的轨迹方程为+y2=1(yy⃞0).(5分)（2）因H为△ABQ的垂心，故有AB丄HQ,AH丄BQ，又kHQ=所以-15.（7分）故设直线l的方程为y-J3x+m(m*1),与+y2=1联立消去y得：13x2+85mx+4m2,由AH丄BQ，得=-1，所以x2（12所以4x1x2+F(m-1)(,+x:)+m2-m=所以4(4m2-4)-24m(m-1)+13(m2-m)=0，化简得5m2+11m-16=013分）解得m=l(舍去)或m=-故直线l的方程为1817分）【详解】（1）由题意得，则f,(x)=一若a>0，则当0<x<1时，f,(x)>0,f(x)单调递增，当x>1时，f,(x)<0,f(x)单调递减；若a<0，则当0<x<1时，f,(x)<0,f(x)单调递减，当x>1时，f,(x)>0,f(x)单调递增4综上，当a>0时，f(x)在区间(0,1)内单调递增，在区间(1,+∞)内单调递减；当a<0时，f(x)在区间(0,1)内单调递减，在区间(1,+∞)内单调递增5分） 设，由(1)得g(x)在区间(0,1)内单调递增，在区间(1,+∞)内单调递减6分）所以当0<a<1时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根，故a的取值范围是(0,1)9分）