高中数学一轮复习课时作业梯级练五十一两条直线的位置关系课时作业理含解析新人教A版

一轮复习精品资料(高中)PAGE1-课时作业梯级练五十一两条直线的位置关系一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知直线l的倾斜角为QUOTE,直线l1经过点A(3,2)和B(a,-1),且直线l与l1平行,则实数a的值为 ()A.0 B.1C.6 D.0或6〖解析〗选C.由直线l的倾斜角为QUOTE得l的斜率为-1,因为直线l与l1平行,所以l1的斜率为-1.又直线l1经过点A(3,2)和B(a,-1),所以l1的斜率为QUOTE,故QUOTE=-1,解得a=6.2.过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是 ()A.4x+3y-13=0 B.4x-3y-19=0C.3x-4y-16=0 D.3x+4y-8=0〖解析〗选A.因为两直线垂直,直线3x-4y+6=0的斜率为QUOTE,所以所求直线的斜率k=-QUOTE,则直线方程为y-(-1)=-QUOTE(x-4),化简得4x+3y-13=0.3.已知点AQUOTE,BQUOTE,直线l的方程为kx-y-k+1=0,且与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围为 ()A.QUOTE∪QUOTEB.QUOTE∪QUOTEC.QUOTED.QUOTE〖解析〗选A.直线l:kx-y-k+1=0整理为kQUOTE-QUOTE=0即可知道直线l过定点PQUOTE,作出直线和点对应的图象如图:因为A(2,-3),B(-3,-2),P(1,1),所以kPA=QUOTE=-4,kPB=QUOTE=QUOTE,要使直线l与线段AB相交,则直线l的斜率k满足kPB≤k或k≤kPA,所以k≤-4或k≥QUOTE即直线l的斜率的取值范围是(-∞,-4〗∪QUOTE.4.将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m+n等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE〖解析〗选A.由题意可知,纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线,即直线y=2x-3,它也是点(7,3)与点(m,n)连线的中垂线,于是QUOTE解得QUOTE故m+n=QUOTE.5.已知直线p:3x-2y+1=0,直线q:ax+(b-1)y=0,且p∥q,若a,b均为正数,则QUOTE+QUOTE的最小值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.8 D.24〖解析〗选A.因为直线p:3x-2y+1=0,直线q:ax+(b-1)y=0,且p∥q,所以2a=3(1-b),即QUOTE+b=1,因为a,b均为正数,所以QUOTE+QUOTE=QUOTE·QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE+3=QUOTE+QUOTE≥QUOTE+2QUOTE=QUOTE+4=QUOTE,当且仅当QUOTE=QUOTE,即a=b=QUOTE时取等号,所以QUOTE+QUOTE的最小值为QUOTE.6.已知P1QUOTE与P2QUOTE是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组QUOTE的解的情况是 ()A.无论k,P1,P2如何,总是无解B.无论k,P1,P2如何,总有唯一解C.存在k,P1,P2,使之恰有两解D.存在k,P1,P2,使之有无穷多解〖解析〗选B.由题意,点P1QUOTE与P2QUOTE是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,直线y=kx+1的斜率存在,所以k=QUOTE,即a1≠a2,且b1=ka1+1,b2=ka2+1,所以a2b1-a1b2=ka1a2-ka1a2+a2-a1=a2-a1,由方程组QUOTE(1)×b2-(2)×b1可得:(a1b2-a2b1)x=b2-b1,即(a1-a2)x=b2-b1,所以方程组有唯一的解.7.在平面直角坐标系内,过定点P的直线l:ax+y-1=0与过定点Q的直线m:x-ay+3=0相交于点M,则|MP|2+|MQ|2= ()A.QUOTE B.QUOTE C.5 D.10〖解析〗选D.由题意知P(0,1),Q(-3,0),因为过定点P的直线ax+y-1=0与过定点Q的直线x-ay+3=0垂直,所以MP⊥MQ,所以|MP|2+|MQ|2=|PQ|2=9+1=10.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线2x-y=0和x+ay=5上,且线段AB的中点为PQUOTE,则QUOTE=.

〖解析〗由于直线2x-y=0与直线x+ay=5垂直,则2-a=0,解得a=2,联立QUOTE解得QUOTE所以,直线2x-y=0与直线x+2y=5交于点CQUOTE,由直角三角形斜边上的中线的长度等于斜边的长度的一半,且AC⊥BC,所以QUOTE=2QUOTE=2QUOTE=2QUOTE.〖答案〗:2QUOTE9.已知直线l1:4x+y=4,l2:mx+y=0,l3:2x-3my=4.当m=时,这三条直线无法围成三角形.

〖解析〗当三条直线中的任两条平行,或三条直线交于一点时,三条直线无法围成三角形,当l1∥l2时,QUOTE=QUOTE⇔m=4,当l1∥l3时,QUOTE=QUOTE⇔m=-QUOTE,当l2∥l3时,QUOTE=QUOTE,无解,当三条直线交于一点时,QUOTE解得:x=QUOTE,y=QUOTE,将点QUOTE代入直线l3:2x-3my=4,整理为3m2+m-2=0,解得m=-1或m=QUOTE.综上可知:m=4,-QUOTE,-1,QUOTE.〖答案〗:4,-QUOTE,-1,QUOTE10.已知坐标原点关于直线l1:x-y+1=0的对称点为A,设直线l2经过点A,则当点B(2,-1)到直线l2的距离最大时,直线l2的方程为.

〖解析〗设A(x0,y0),依题意可得QUOTE解得QUOTE即A(-1,1).设点B(2,-1)到直线l2的距离为d,当d=|AB|时取得最大值,此时直线l2垂直于直线AB,又-QUOTE=QUOTE,所以直线l2的方程为y-1=QUOTE(x+1),即3x-2y+5=0.〖答案〗:3x-2y+5=0〖一题多解〗作出直线y=x+1,原点关于直线y=x+1的对称点为A(-1,1),连接AB两点,过A作AB的垂线,就是直线l2,所以直线l2的方程为3x-2y+5=0.〖答案〗:3x-2y+5=01.(5分)若a,b为正实数,直线2x+(2a-3)y+2=0与直线bx+2y-1=0互相垂直,则ab的最大值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE〖解析〗选B.由直线2x+(2a-3)y+2=0与直线bx+2y-1=0互相垂直,所以2b+2(2a-3)=0,即2a+b=3,又a,b为正实数,所以2a+b≥2QUOTE,即2ab≤QUOTE=QUOTE,当且仅当a=QUOTE,b=QUOTE时取“=”,所以ab的最大值为QUOTE.2.(5分)“a=QUOTE”是“直线(a+1)x+3ay+1=0与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0相互垂直”的 ()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件〖解析〗选A.由于直线(a+1)x+3ay+1=0与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0,当a=0时,分别化为:x+1=0,-x+y-3=0,此时两条直线不垂直,舍去;当a=-1时,分别化为:-3y+1=0,-2x-3=0,此时两条直线相互垂直,因此a=-1满足条件;当a≠-1,0时,两条直线的斜率分别为:-QUOTE,QUOTE,由于两条直线垂直,可得-QUOTE×QUOTE=-1,解得a=QUOTE或-1(舍去).综上可得:两条直线相互垂直的充要条件为:a=QUOTE或-1.所以“a=QUOTE”是“直线(a+1)x+3ay+1=0与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0相互垂直”的充分而不必要条件.3.(5分)已知直线l1:y=x·sinα和直线l2:y=2x+c,则直线l1与l2 ()A.通过平移可以重合B.不可能垂直C.可能与x轴围成等腰直角三角形D.通过绕l1上某点旋转可以重合〖解析〗选D.根据题意,由于直线l1:y=sinα·x和直线l2:y=2x+c,因为sinα∈〖-1,1〗,所以不存在α,使得sinα=2,故A错误;当sinα×2=-1,即sinα=-QUOTE时,l1⊥l2,故B错误;由于QUOTE=2>0,x轴所在直线方程为y=0,要使l1,l2与x轴围成等腰直角三角形,则必有l1⊥l2,所以l1:y=-QUOTEx,但此时围成的三角形不是等腰三角形,仅为直角三角形,故C错误.由于l1,l2斜率不相等,所以l1,l2相交,当l2绕l1,l2的交点旋转时可以与l1重合,故D正确.〖加练备选·拔高〗坐标原点OQUOTE在动直线m(x-2)+n(y-2)=0上的投影为点P,若点Q(-1,-1),那么QUOTE的取值范围为 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE〖解析〗选A.因为动直线mQUOTE+n(y-2)=0过定点M(2,2),点OQUOTE在动直线m(x-2)+nQUOTE=0上的投影为点P,所以∠OPM=90°,则P在以OM为直径的圆上,所以此圆的圆心A坐标为QUOTE,即A(1,1),半径r=QUOTEOM=QUOTE,又QQUOTE,所以|AQ|=2QUOTE>QUOTE,则点Q在圆外,所以QUOTE的取值范围为QUOTE.4.(10分)已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点.(1)点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程.(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.〖解析〗(1)经过两条已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0.所以QUOTE=3.即2λ2-5λ+2=0,所以λ=2或QUOTE.所以l的方程为x=2或4x-3y-5=0.(2)由QUOTE解得交点P(2,1),如图,过P作任一直线l,设d为点A到l的距离,则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立).(其余距离d与PA构成直角三角形,PA为它们的斜边),所以dmax=|PA|=QUOTE.5.(10分)已知两直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0.试确定m,n的值,使(1)l1与l2相交于点P(m,-1);(2)l1∥l2;(3)l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为-1.〖解析〗(1)由题意得QUOTE,解得m=1,n=7.(2)当m=0时,显然l1不平行于l2;当m≠0时,由QUOTE=QUOTE≠QUOTE,得QUOTE所以QUOTE或QUOTE即m=4,n≠-2或m=-4,n≠2时,l1∥l2.(3)当且仅当m·2+8·m=0,即m=0时,l1⊥l2.又-QUOTE=-1,所以n=8.即m=0,n=8时,l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为-1.〖加练备选·拔高〗1.已知直线l1:ax+2y+6=0,直线l2:x+QUOTEy+a2-1=0.(1)求a为何值时,l1∥l2;(2)求a为何值时,l1⊥l2.〖解析〗(1)因为要使l1∥l2,所以QUOTE解得a=-1或a=2(舍去),所以当a=-1时,l1∥l2.(2)因为要使l1⊥l2,所以a·1+2·QUOTE=0,解得a=QUOTE,所以当a=QUOTE时,l1⊥l2.2.已知平面内两点M(4,-2),N(2,4).(1)求MN的垂直平分线方程;(2)直线l经过点A(3,0),且与直线MN平行,求直线l的方程.〖解析〗(1)因为M(4,-2),N(2,4),所以M,N的中点坐标为(3,1),又kMN=QUOTE=-3,所以MN的垂直平分线的斜率为QUOTE,则MN的垂直平分线方程为y-1=QUOTE(x-3),即x-3y=0;(2)因为直线l与直线MN平行,所以直线l的斜率为-3,又直线l经过点A(3,0),所以直线l的方程为y=-3(x-3),即3x+y-9=0.3.某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2)、B(4,0),一条河所在直线方程为l:x+2y-10=0,若在河边l上建一座供水站P使之到A,B两镇的管道最省,问供水站P应建在什么地方?此时|PA|+|PB|为多少?〖解析〗如图所示,过A作直线l的对称点A′,连接A′B交l于P,因为若P′(异于P)在直线l上,则|AP′|+|BP′|=|A′P′|+|BP′|>|A′B|.因此,供水站只能在点P处,才能取得最小值.设A′(a,b),则AA′的中点在l上,且AA′⊥l,即QUOTE解得QUOTE即A′(3,6).所以直线A′B的方程为6x+y-24=0.解方程组QUOTE得QUOTE所以P点的坐标为QUOTE.故供水站应建在点PQUOTE处,此时|PA|+|PB|=|A′B|=QUOTE=QUOTE.课时作业梯级练五十一两条直线的位置关系一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知直线l的倾斜角为QUOTE,直线l1经过点A(3,2)和B(a,-1),且直线l与l1平行,则实数a的值为 ()A.0 B.1C.6 D.0或6〖解析〗选C.由直线l的倾斜角为QUOTE得l的斜率为-1,因为直线l与l1平行,所以l1的斜率为-1.又直线l1经过点A(3,2)和B(a,-1),所以l1的斜率为QUOTE,故QUOTE=-1,解得a=6.2.过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是 ()A.4x+3y-13=0 B.4x-3y-19=0C.3x-4y-16=0 D.3x+4y-8=0〖解析〗选A.因为两直线垂直,直线3x-4y+6=0的斜率为QUOTE,所以所求直线的斜率k=-QUOTE,则直线方程为y-(-1)=-QUOTE(x-4),化简得4x+3y-13=0.3.已知点AQUOTE,BQUOTE,直线l的方程为kx-y-k+1=0,且与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围为 ()A.QUOTE∪QUOTEB.QUOTE∪QUOTEC.QUOTED.QUOTE〖解析〗选A.直线l:kx-y-k+1=0整理为kQUOTE-QUOTE=0即可知道直线l过定点PQUOTE,作出直线和点对应的图象如图:因为A(2,-3),B(-3,-2),P(1,1),所以kPA=QUOTE=-4,kPB=QUOTE=QUOTE,要使直线l与线段AB相交,则直线l的斜率k满足kPB≤k或k≤kPA,所以k≤-4或k≥QUOTE即直线l的斜率的取值范围是(-∞,-4〗∪QUOTE.4.将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m+n等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE〖解析〗选A.由题意可知,纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线,即直线y=2x-3,它也是点(7,3)与点(m,n)连线的中垂线,于是QUOTE解得QUOTE故m+n=QUOTE.5.已知直线p:3x-2y+1=0,直线q:ax+(b-1)y=0,且p∥q,若a,b均为正数,则QUOTE+QUOTE的最小值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.8 D.24〖解析〗选A.因为直线p:3x-2y+1=0,直线q:ax+(b-1)y=0,且p∥q,所以2a=3(1-b),即QUOTE+b=1,因为a,b均为正数,所以QUOTE+QUOTE=QUOTE·QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE+3=QUOTE+QUOTE≥QUOTE+2QUOTE=QUOTE+4=QUOTE,当且仅当QUOTE=QUOTE,即a=b=QUOTE时取等号,所以QUOTE+QUOTE的最小值为QUOTE.6.已知P1QUOTE与P2QUOTE是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组QUOTE的解的情况是 ()A.无论k,P1,P2如何,总是无解B.无论k,P1,P2如何,总有唯一解C.存在k,P1,P2,使之恰有两解D.存在k,P1,P2,使之有无穷多解〖解析〗选B.由题意,点P1QUOTE与P2QUOTE是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,直线y=kx+1的斜率存在,所以k=QUOTE,即a1≠a2,且b1=ka1+1,b2=ka2+1,所以a2b1-a1b2=ka1a2-ka1a2+a2-a1=a2-a1,由方程组QUOTE(1)×b2-(2)×b1可得:(a1b2-a2b1)x=b2-b1,即(a1-a2)x=b2-b1,所以方程组有唯一的解.7.在平面直角坐标系内,过定点P的直线l:ax+y-1=0与过定点Q的直线m:x-ay+3=0相交于点M,则|MP|2+|MQ|2= ()A.QUOTE B.QUOTE C.5 D.10〖解析〗选D.由题意知P(0,1),Q(-3,0),因为过定点P的直线ax+y-1=0与过定点Q的直线x-ay+3=0垂直,所以MP⊥MQ,所以|MP|2+|MQ|2=|PQ|2=9+1=10.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线2x-y=0和x+ay=5上,且线段AB的中点为PQUOTE,则QUOTE=.

〖解析〗由于直线2x-y=0与直线x+ay=5垂直,则2-a=0,解得a=2,联立QUOTE解得QUOTE所以,直线2x-y=0与直线x+2y=5交于点CQUOTE,由直角三角形斜边上的中线的长度等于斜边的长度的一半,且AC⊥BC,所以QUOTE=2QUOTE=2QUOTE=2QUOTE.〖答案〗:2QUOTE9.已知直线l1:4x+y=4,l2:mx+y=0,l3:2x-3my=4.当m=时,这三条直线无法围成三角形.

〖解析〗当三条直线中的任两条平行,或三条直线交于一点时,三条直线无法围成三角形,当l1∥l2时,QUOTE=QUOTE⇔m=4,当l1∥l3时,QUOTE=QUOTE⇔m=-QUOTE,当l2∥l3时,QUOTE=QUOTE,无解,当三条直线交于一点时,QUOTE解得:x=QUOTE,y=QUOTE,将点QUOTE代入直线l3:2x-3my=4,整理为3m2+m-2=0,解得m=-1或m=QUOTE.综上可知:m=4,-QUOTE,-1,QUOTE.〖答案〗:4,-QUOTE,-1,QUOTE10.已知坐标原点关于直线l1:x-y+1=0的对称点为A,设直线l2经过点A,则当点B(2,-1)到直线l2的距离最大时,直线l2的方程为.

〖解析〗设A(x0,y0),依题意可得QUOTE解得QUOTE即A(-1,1).设点B(2,-1)到直线l2的距离为d,当d=|AB|时取得最大值,此时直线l2垂直于直线AB,又-QUOTE=QUOTE,所以直线l2的方程为y-1=QUOTE(x+1),即3x-2y+5=0.〖答案〗:3x-2y+5=0〖一题多解〗作出直线y=x+1,原点关于直线y=x+1的对称点为A(-1,1),连接AB两点,过A作AB的垂线,就是直线l2,所以直线l2的方程为3x-2y+5=0.〖答案〗:3x-2y+5=01.(5分)若a,b为正实数,直线2x+(2a-3)y+2=0与直线bx+2y-1=0互相垂直,则ab的最大值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE〖解析〗选B.由直线2x+(2a-3)y+2=0与直线bx+2y-1=0互相垂直,所以2b+2(2a-3)=0,即2a+b=3,又a,b为正实数,所以2a+b≥2QUOTE,即2ab≤QUOTE=QUOTE,当且仅当a=QUOTE,b=QUOTE时取“=”,所以ab的最大值为QUOTE.2.(5分)“a=QUOTE”是“直线(a+1)x+3ay+1=0与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0相互垂直”的 ()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件〖解析〗选A.由于直线(a+1)x+3ay+1=0与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0,当a=0时,分别化为:x+1=0,-x+y-3=0,此时两条直线不垂直,舍去;当a=-1时,分别化为:-3y+1=0,-2x-3=0,此时两条直线相互垂直,因此a=-1满足条件;当a≠-1,0时,两条直线的斜率分别为:-QUOTE,QUOTE,由于两条直线垂直,可得-QUOTE×QUOTE=-1,解得a=QUOTE或-1(舍去).综上可得:两条直线相互垂直的充要条件为:a=QUOTE或-1.所以“a=QUOTE”是“直线(a+1)x+3ay+1=0与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0相互垂直”的充分而不必要条件.3.(5分)已知直线l1:y=x·sinα和直线l2:y=2x+c,则直线l1与l2 ()A.通过平移可以重合B.不可能垂直C.可能与x轴围成等腰直角三角形D.通过绕l1上某点旋转可以重合〖解析〗选D.根据题意,由于直线l1:y=sinα·x和直线l2:y=2x+c,因为sinα∈〖-1,1〗,所以不存在α,使得sinα=2,故A错误;当sinα×2=-1,即sinα=-QUOTE时,l1⊥l2,故B错误;由于QUOTE=2>0,x轴所在直线方程为y=0,要使l1,l2与x轴围成等腰直角三角形,则必有l1⊥l2,所以l1:y=-QUOTEx,但此时围成的三角形不是等腰三角形,仅为直角三角形,故C错误.由于l1,l2斜率不相等,所以l1,l2相交,当l2绕l1,l2的交点旋转时可以与l1重合,故D正确.〖加练备选·拔高〗坐标原点OQUOTE在动直线m(x-2)+n(y-2)=0上的投影为点P,若点Q(-1,-1),那么QUOTE的取值范围为 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE〖解析〗选A.因为动直线mQUOTE+n(y-2)=0过定点M(2,2),点OQUOTE在动直线m(x-2)+nQUOTE=0上的投影为点P,所以∠OPM=90°,则P在以OM为直径的圆上,所以此圆的圆心A坐标为QUOTE,即A(1,1),半径r=QUOTEOM=QUOTE,又QQUOTE,所以|AQ|=2QUOTE>QUOTE,则点Q在圆外,所以QUOTE的取值范围为QUOTE.4.(10分)已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点.(1)点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程.(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.〖解析〗(1)经过两条已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0.所以QUOTE=3.即2λ2-5λ+2=0,所以λ=2或QUOTE.所以l的方程为x=2或4x-3y-5=0.(2)由QUOTE解得交点P(2,1),如图,过P作任一直线l,设d为点A到l的距离,则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立).(其余距离d与PA构成直角三角形,PA为它们的斜边),所以