高中数学一轮复习课时作业梯级练六十一圆锥曲线中的定值与定点问题课时作业理含解析新人教A版

一轮复习精品资料(高中)PAGE1-课时作业梯级练六十一圆锥曲线中的定值与定点问题一、选择题(每小题5分，共35分)1．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1和椭圆C2：4x2＋y2＝1.若M，N分别是C1，C2上的动点，且OM⊥ON，则O到直线MN的距离是定值，这个定值是()A．eq\f(\r(3),2)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(5),3)D．eq\f(\r(3),3)〖解析〗选D.当直线ON垂直于x轴时，|ON|＝1，|OM|＝eq\f(\r(2),2)，则O到直线MN的距离为eq\f(\r(3),3).当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为y＝kx，则直线OM的方程为y＝－eq\f(1,k)x.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx，,4x2＋y2＝1))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(1,4＋k2),y2＝\f(k2,4＋k2)))，所以|ON|2＝eq\f(1＋k2,4＋k2).同理|OM|2＝eq\f(1＋k2,2k2－1).设O到直线MN的距离为d，因为(|OM|2＋|ON|2)d2＝|OM|2|ON|2，所以eq\f(1,d2)＝eq\f(1,|OM|2)＋eq\f(1,|ON|2)＝eq\f(3k2＋3,k2＋1)，即d＝eq\f(\r(3),3)，所以定值为eq\f(\r(3),3).2．若动圆C的圆心在抛物线y2＝4x上，且与直线l：x＝－1相切，则动圆C必过一个定点，该定点坐标为()A．(1，0)B．(2，0)C．(0，1)D．(0，2)〖解析〗选A.由题得，圆心在y2＝4x上，它到直线l的距离为圆的半径，l为y2＝4x的准线，由抛物线的定义可知，圆心到准线的距离等于其到抛物线焦点的距离，故动圆C必过的定点为抛物线焦点，即点(1，0).3．如图，椭圆C0：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0，a，b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝teq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))，b＜t1＜a.点A1，A2分别为C0的左、右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点，动圆C2：x2＋y2＝teq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2.若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，则teq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋teq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))的值()A．是定值a2－b2 B．是定值a2＋b2C．与t1有关，不是定值 D．与t2有关，不是定值〖解析〗选B.设A(x1，y1)A′(x2，y2)，由矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，得4|x1||y1|＝4|x2||y2|，所以xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))，因为点A，A′均在椭圆上，所以b2xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),a2)))＝b2xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),a2))).由t1≠t2，知x1≠x2，所以xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝a2，从而yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝b2，因而teq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋teq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝a2＋b2为定值．4．如图，过抛物线y2＝4x焦点F的直线依次交抛物线与圆(x－1)2＋y2＝1于A，B，C，D，则|AB|·|CD|＝()A．4B．2C．1D．eq\f(1,2)〖解析〗选C.抛物线焦点为F(1，0)，|AB|＝|AF|－1＝xA，|CD|＝|DF|－1＝xD，于是|AB|·|CD|＝xA·xD＝eq\f(p2,4)＝1.5．在直角坐标系xOy中，曲线C2：(x－5)2＋y2＝9，P(x0，y0)(y0≠±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1：y2＝20x相交于点A，B和C，D.当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为()A．9B．20C．3200D．6400〖解析〗选D.当点P在直线x＝－4上运动时，P的坐标为(－4，y0)，又y0≠±3，则过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y－y0＝k(x＋4)，即kx－y＋y0＋4k＝0.于是eq\f(|5k＋y0＋4k|,\r(k2＋1))＝3.整理得72k2＋18y0k＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－9＝0.①设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程①的两个实根，故k1＋k2＝－eq\f(18y0,72)＝－eq\f(y0,4).②由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1x－y＋y0＋4k1＝0，,y2＝20x，))得k1y2－20y＋20(y0＋4k1)＝0.③设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，则y1，y2是方程③的两个实根，所以y1·y2＝eq\f(20（y0＋4k1）,k1).④同理可得y3·y4＝eq\f(20（y0＋4k2）,k2).⑤于是由②，④，⑤三式得y1y2y3y4＝eq\f(400（y0＋4k1）（y0＋4k2）,k1k2)＝eq\f(400[yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋4（k1＋k2）y0＋16k1k2],k1k2)＝eq\f(400[yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋16k1k2],k1k2)＝6400.所以，当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400.6．直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2＝eq\f(2,3)，则直线l过定点()A．(－3，0) B．(0，－3)C．(3，0) D．(0，3)〖解析〗选A.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为k1k2＝eq\f(2,3)，所以eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)＝eq\f(2,3).又yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝2x1，yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝2x2，所以y1y2＝6.设直线l：x＝my＋b，代入抛物线C：y2＝2x得y2－2my－2b＝0，所以y1y2＝－2b＝6，得b＝－3，即直线l的方程为x＝my－3，所以直线l过定点(－3，0).7．椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，过P点作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，则eq\f(1,kk1)＋eq\f(1,kk2)为定值，求出这个定值为()A．－4B．4C．－8D．8〖解析〗选C.由题意可知，l为椭圆的在P点处的切线，由导数法可求得，切线方程为：eq\f(x0x,4)＋y0y＝1，所以k＝－eq\f(x0,4y0)，而k1＝eq\f(y0,x＋\r(3))，k2＝eq\f(y0,x－\r(3))，代入eq\f(1,kk1)＋eq\f(1,kk2)中得eq\f(1,kk1)＋eq\f(1,kk2)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0＋\r(3),x0)＋\f(x0－\r(3),x0)))＝－8为定值．二、填空题(每小题5分，共15分)8．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点，则k1·k2的值为________．〖解析〗由题意知，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝2⇒b2＝3a2，则双曲线方程可化为3x2－y2＝3a2，设A(m，n)，M(x0，y0)(x0≠±m)，则B(－m，－n)，k1·k2＝eq\f(y0－n,x0－m)·eq\f(y0＋n,x0＋m)＝eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－n2,xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－m2)＝eq\f(3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－3a2－3m2＋3a2,xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－m2)＝3.〖答案〗39．已知过点M(0，－1)的动直线l与椭圆C：eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1交于A，B两点，则以线段AB为直径的圆恒过定点的坐标为________．〖解析〗当直线l的斜率为0时，对于eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1，令y＝－1，得x＝±4，此时以线段AB为直径的圆的方程为x2＋(y＋1)2＝16.当直线l的斜率不存在时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝9.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋（y＋1）2＝16，,x2＋y2＝9，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝3，))即两圆的交点为(0，3)，记T(0，3).猜想以线段AB为直径的圆恒过定点T(0，3).当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,\f(x2,18)＋\f(y2,9)＝1，))得(1＋2k2)x2－4kx－16＝0，所以Δ＝(－4k)2＋64(1＋2k2)＝144k2＋64＞0，x1＋x2＝eq\f(4k,1＋2k2)，x1x2＝－eq\f(16,1＋2k2).因为·＝(x1，y1－3)·(x2，y2－3)＝x1x2＋y1y2－3(y1＋y2)＋9＝x1x2＋(kx1－1)(kx2－1)－3(kx1－1＋kx2－1)＋9＝(k2＋1)x1x2－4k(x1＋x2)＋16＝eq\f(－16（k2＋1）,1＋2k2)－eq\f(16k2,1＋2k2)＋16＝eq\f(－16（1＋2k2）,1＋2k2)＋16＝0，所以TA⊥TB，故以线段AB为直径的圆过点T(0，3).综上，以线段AB为直径的圆恒过定点(0，3).〖答案〗(0，3)10．过椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的左顶点A作直线AQ交椭圆C于另外一点Q，交y轴于点R，P为椭圆C上一点，且AQ∥OP，则eq\f(|AQ|·|AR|,|OP|2)的值为________．〖解析〗设直线AQ：y＝k(x＋2)，R(0，2k)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x＋2），,\f(x2,4)＋y2＝1，))⇒(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.由根与系数的关系可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(－16k2,1＋4k2)，,x1·x2＝\f(16k2－4,1＋4k2)，))x1＝－2，x2＝xQ＝eq\f(2－8k2,1＋4k2)，则|AQ|＝eq\r(1＋k2)|xQ－x1|＝eq\r(1＋k2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2－8k2,1＋4k2)＋2))＝eq\r(1＋k2)·eq\f(4,1＋4k2)，|AR|＝eq\r(1＋k2)|0－(－2)|＝2eq\r(1＋k2)，|OP|＝eq\r(1＋k2)|xP－0|，令直线OP为y＝kx，令yP＞0，xP＞0.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx，,\f(x2,4)＋y2＝1，))得(1＋4k2)x2－4＝0，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝0，,x1·x2＝\f(－4,1＋4k2)，))x2＝xP＝eq\r(\f(4,1＋4k2))，所以|OP|＝eq\f(2\r(1＋k2),\r(1＋4k2))，eq\f(|AQ|·|AR|,|OP|2)＝eq\f(\f(4,1＋4k2)·2,\f(4,1＋4k2))＝2，所以定值为2.〖答案〗21．过直线l：3x＋4y－12＝0上一个动点P作圆C：x2＋y2＝1的切线，两个切点确定的直线经过定点M，则M的坐标为()A．(4，3)B．(3，4)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,4)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3)))〖解析〗选D.由圆的几何性质，可得坐标原点，点P(x0，y0)，和两个切点满足四点共圆，这个圆以OP为直径，它的方程为x(x－x0)＋y(y－y0)＝0，两个圆的方程相减得x0x＋y0y＝1，这就是两个切点确定的直线方程．因为点P(x0，y0)在直线l：3x＋4y－12＝0上，所以x0·eq\f(1,4)＋y0·eq\f(1,3)＝1，对照两个切点确定的直线方程x0x＋y0y＝1上，可得点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3)))在直线x0x＋y0y＝1，所以直线x0x＋y0y＝1经过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3))).2．椭圆C：eq\f(x2,4)＋y2＝1，A，B是椭圆C的左、右顶点，点P是椭圆上的任意一点．若直线PA与直线PB的斜率之积为定值，则这个定值等于______，设经过D(1，0)且斜率不为0的直线l交椭圆于M，N两点，直线AM与直线BN交于点Q，则·的值为________．〖解析〗由题意，A(－2，0)，B(2，0)，设点P(x0，y0)，则直线PA的斜率为kPA＝eq\f(y0,x0＋2)，直线PB的斜率为kPB＝eq\f(y0,x0－2)，所以kPA·kPB＝eq\f(y0,x0＋2)·eq\f(y0,x0－2)＝eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－4)，又由点P(x0，y0)在椭圆上，可得eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),4)＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝1，即yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝1－eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),4)＝eq\f(4－xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),4)，所以kPA·kPB＝eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－4)＝－eq\f(1,4)，即直线PA与直线PB的斜率之积为定值－eq\f(1,4).由直线l过点D(1，0)，所以直线l的方程为l：x＝ky＋1，联立方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ky＋1，,\f(x2,4)＋y2＝1，))整理得(k2＋4)y2＋2ky－3＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝－eq\f(2k,k2＋4)，y1y2＝－eq\f(3,k2＋4)，则eq\f(y1＋y2,y1y2)＝eq\f(2k,3)，即3y1＋3y2＝2ky1y2，又由直线AM：y＝eq\f(y1,x1＋2)(x＋2)，直线BM：y＝eq\f(y2,x2－2)(x－2)，联立方程组可得eq\f(y1,x1＋2)(x＋2)＝eq\f(y2,x2－2)(x－2)，整理得eq\f(x＋2,x－2)＝eq\f(y2,x2－2)·eq\f(x1＋2,y1)＝eq\f(y2,ky2－1)·eq\f(ky1＋3,y1)＝eq\f(ky1y2＋3y2,ky1y2－y1)＝eq\f(ky1y2＋2ky1y2－3y1,ky1y2－y1)＝3，解得x＝4，即点Q(4，y0)，又由向量＝(－2，0)，＝(4，y0)，所以·＝－2×4＋0×y0＝－8(定值)，即·为定值．〖答案〗－eq\f(1,4)－83.(10分)已知椭圆C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的离心率e=QUOTE,且椭圆C过点PQUOTE.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设点Q是椭圆C与x轴正半轴的交点,斜率不为0的直线l与椭圆C交于不同的两点D,E,若kQD·kQE=9,问直线DE是否恒过定点?若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.〖解析〗(1)设椭圆C的焦距为2c,由e=QUOTE=QUOTE,得QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,故a=QUOTEb,又椭圆C过点PQUOTE所以QUOTE+QUOTE=1,解得QUOTE所以椭圆C的标准方程为QUOTE+x2=1.(2)由题可设直线DE的方程为x=ty+m,由QUOTE,消去x,整理可得(1+3t2)y2+6mty+3m2设D(x1,y1),E(x2,y2),则y1+y2=-QUOTE,y1y2=QUOTE,由题意,可得Q(1,0),又kQD·kQE=QUOTE·QUOTE=QUOTE=9,所以y1y2=9(x1-1)(x2-1)=9(ty1+m-1)(ty2+m-1)=9t2y1y2+9(m-1)t(y1+y2)+9(m-1)2,且m≠1(直线不过(1,0)点),即(9t2-1)(m+1)-18mt2+3(m-1)(1+3t2)=0,整理可得2m-4=0,解得m=2,故直线DE过定点(2,0).〖加练备选·拔高〗已知椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合,且其离心率为QUOTE.(1)求椭圆C的方程;(2)已知与坐标轴不垂直的直线l与C交于M,N两点,线段MN中点为P,问kMN·kOP(O为坐标原点)是否为定值?请说明理由.〖解析〗(1)因为抛物线y2=4x的焦点为(1,0),所以椭圆C的半焦距c=1,又椭圆的离心率e==,所以a=2,则b==.所以椭圆C的方程为=1.(2)由题意可知,直线l的斜率存在且不为0,设l的方程为y=kx+m,联立QUOTE得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.由Δ>0,可得m2<4k2+3.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2)+2m=,所以P,所以kOP＝eq\f(\f(3m,3＋4k2),\f(－4km,3＋4k2))＝－eq\f(3,4k).所以kMN·kOP＝－eq\f(3,4).4.(10分)已知圆P:x2+y2+2x-7=0,动圆E过点Q(1,0)且与圆P相切,圆E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)若直线l:y=kx+2与曲线C相交于A,B两点,在y轴上是否存在点D,使直线AD与BD的斜率之和kAD+kBD为定值?若存在,求出点D的坐标及该定值;若不存在,试说明理由.〖解析〗(1)由已知,圆E的半径为|EQ|,圆P的圆心为P(-1,0),半径为2QUOTE,依题意得|EP|=2QUOTE-|EQ|,即|EP|+|EQ|=2QUOTE>|PQ|,所以圆E的轨迹是以P,Q为焦点的椭圆,其长轴长为2QUOTE,短轴长为2,曲线C的方程是QUOTE+y2=1.(2)存在.由QUOTE得(1+2k2)x2+8kx+6=0,由Δ=64k2-24(1+2k2)=16k2-24>0,解得k<-QUOTE或k>QUOTE.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-QUOTE,x1x2=QUOTE.设存在点D(0,m)满足题意,则kAD=QUOTE,kBD=QUOTE,所以kAD+kBD=QUOTE=QUOTE=QUOTE.要使kAD+kBD为定值,只需6k-4k(2-m)=6k-8k+4mk=2(2m-1)k与参数k无关,故2m-1=0,解得m=QUOTE,当m=QUOTE时,kAD+kBD=0.综上所述,存在点DQUOTE,使得kAD+kBD为定值,且定值为0.课时作业梯级练六十一圆锥曲线中的定值与定点问题一、选择题(每小题5分，共35分)1．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1和椭圆C2：4x2＋y2＝1.若M，N分别是C1，C2上的动点，且OM⊥ON，则O到直线MN的距离是定值，这个定值是()A．eq\f(\r(3),2)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(5),3)D．eq\f(\r(3),3)〖解析〗选D.当直线ON垂直于x轴时，|ON|＝1，|OM|＝eq\f(\r(2),2)，则O到直线MN的距离为eq\f(\r(3),3).当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为y＝kx，则直线OM的方程为y＝－eq\f(1,k)x.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx，,4x2＋y2＝1))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(1,4＋k2),y2＝\f(k2,4＋k2)))，所以|ON|2＝eq\f(1＋k2,4＋k2).同理|OM|2＝eq\f(1＋k2,2k2－1).设O到直线MN的距离为d，因为(|OM|2＋|ON|2)d2＝|OM|2|ON|2，所以eq\f(1,d2)＝eq\f(1,|OM|2)＋eq\f(1,|ON|2)＝eq\f(3k2＋3,k2＋1)，即d＝eq\f(\r(3),3)，所以定值为eq\f(\r(3),3).2．若动圆C的圆心在抛物线y2＝4x上，且与直线l：x＝－1相切，则动圆C必过一个定点，该定点坐标为()A．(1，0)B．(2，0)C．(0，1)D．(0，2)〖解析〗选A.由题得，圆心在y2＝4x上，它到直线l的距离为圆的半径，l为y2＝4x的准线，由抛物线的定义可知，圆心到准线的距离等于其到抛物线焦点的距离，故动圆C必过的定点为抛物线焦点，即点(1，0).3．如图，椭圆C0：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0，a，b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝teq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))，b＜t1＜a.点A1，A2分别为C0的左、右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点，动圆C2：x2＋y2＝teq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2.若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，则teq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋teq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))的值()A．是定值a2－b2 B．是定值a2＋b2C．与t1有关，不是定值 D．与t2有关，不是定值〖解析〗选B.设A(x1，y1)A′(x2，y2)，由矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，得4|x1||y1|＝4|x2||y2|，所以xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))，因为点A，A′均在椭圆上，所以b2xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),a2)))＝b2xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),a2))).由t1≠t2，知x1≠x2，所以xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝a2，从而yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝b2，因而teq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋teq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝a2＋b2为定值．4．如图，过抛物线y2＝4x焦点F的直线依次交抛物线与圆(x－1)2＋y2＝1于A，B，C，D，则|AB|·|CD|＝()A．4B．2C．1D．eq\f(1,2)〖解析〗选C.抛物线焦点为F(1，0)，|AB|＝|AF|－1＝xA，|CD|＝|DF|－1＝xD，于是|AB|·|CD|＝xA·xD＝eq\f(p2,4)＝1.5．在直角坐标系xOy中，曲线C2：(x－5)2＋y2＝9，P(x0，y0)(y0≠±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1：y2＝20x相交于点A，B和C，D.当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为()A．9B．20C．3200D．6400〖解析〗选D.当点P在直线x＝－4上运动时，P的坐标为(－4，y0)，又y0≠±3，则过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y－y0＝k(x＋4)，即kx－y＋y0＋4k＝0.于是eq\f(|5k＋y0＋4k|,\r(k2＋1))＝3.整理得72k2＋18y0k＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－9＝0.①设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程①的两个实根，故k1＋k2＝－eq\f(18y0,72)＝－eq\f(y0,4).②由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1x－y＋y0＋4k1＝0，,y2＝20x，))得k1y2－20y＋20(y0＋4k1)＝0.③设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，则y1，y2是方程③的两个实根，所以y1·y2＝eq\f(20（y0＋4k1）,k1).④同理可得y3·y4＝eq\f(20（y0＋4k2）,k2).⑤于是由②，④，⑤三式得y1y2y3y4＝eq\f(400（y0＋4k1）（y0＋4k2）,k1k2)＝eq\f(400[yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋4（k1＋k2）y0＋16k1k2],k1k2)＝eq\f(400[yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋16k1k2],k1k2)＝6400.所以，当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400.6．直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2＝eq\f(2,3)，则直线l过定点()A．(－3，0) B．(0，－3)C．(3，0) D．(0，3)〖解析〗选A.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为k1k2＝eq\f(2,3)，所以eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)＝eq\f(2,3).又yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝2x1，yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝2x2，所以y1y2＝6.设直线l：x＝my＋b，代入抛物线C：y2＝2x得y2－2my－2b＝0，所以y1y2＝－2b＝6，得b＝－3，即直线l的方程为x＝my－3，所以直线l过定点(－3，0).7．椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，过P点作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，则eq\f(1,kk1)＋eq\f(1,kk2)为定值，求出这个定值为()A．－4B．4C．－8D．8〖解析〗选C.由题意可知，l为椭圆的在P点处的切线，由导数法可求得，切线方程为：eq\f(x0x,4)＋y0y＝1，所以k＝－eq\f(x0,4y0)，而k1＝eq\f(y0,x＋\r(3))，k2＝eq\f(y0,x－\r(3))，代入eq\f(1,kk1)＋eq\f(1,kk2)中得eq\f(1,kk1)＋eq\f(1,kk2)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0＋\r(3),x0)＋\f(x0－\r(3),x0)))＝－8为定值．二、填空题(每小题5分，共15分)8．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点，则k1·k2的值为________．〖解析〗由题意知，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝2⇒b2＝3a2，则双曲线方程可化为3x2－y2＝3a2，设A(m，n)，M(x0，y0)(x0≠±m)，则B(－m，－n)，k1·k2＝eq\f(y0－n,x0－m)·eq\f(y0＋n,x0＋m)＝eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－n2,xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－m2)＝eq\f(3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－3a2－3m2＋3a2,xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－m2)＝3.〖答案〗39．已知过点M(0，－1)的动直线l与椭圆C：eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1交于A，B两点，则以线段AB为直径的圆恒过定点的坐标为________．〖解析〗当直线l的斜率为0时，对于eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1，令y＝－1，得x＝±4，此时以线段AB为直径的圆的方程为x2＋(y＋1)2＝16.当直线l的斜率不存在时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝9.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋（y＋1）2＝16，,x2＋y2＝9，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝3，))即两圆的交点为(0，3)，记T(0，3).猜想以线段AB为直径的圆恒过定点T(0，3).当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,\f(x2,18)＋\f(y2,9)＝1，))得(1＋2k2)x2－4kx－16＝0，所以Δ＝(－4k)2＋64(1＋2k2)＝144k2＋64＞0，x1＋x2＝eq\f(4k,1＋2k2)，x1x2＝－eq\f(16,1＋2k2).因为·＝(x1，y1－3)·(x2，y2－3)＝x1x2＋y1y2－3(y1＋y2)＋9＝x1x2＋(kx1－1)(kx2－1)－3(kx1－1＋kx2－1)＋9＝(k2＋1)x1x2－4k(x1＋x2)＋16＝eq\f(－16（k2＋1）,1＋2k2)－eq\f(16k2,1＋2k2)＋16＝eq\f(－16（1＋2k2）,1＋2k2)＋16＝0，所以TA⊥TB，故以线段AB为直径的圆过点T(0，3).综上，以线段AB为直径的圆恒过定点(0，3).〖答案〗(0，3)10．过椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的左顶点A作直线AQ交椭圆C于另外一点Q，交y轴于点R，P为椭圆C上一点，且AQ∥OP，则eq\f(|AQ|·|AR|,|OP|2)的值为________．〖解析〗设直线AQ：y＝k(x＋2)，R(0，2k)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x＋2），,\f(x2,4)＋y2＝1，))⇒(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.由根与系数的关系可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(－16k2,1＋4k2)，,x1·x2＝\f(16k2－4,1＋4k2)，))x1＝－2，x2＝xQ＝eq\f(2－8k2,1＋4k2)，则|AQ|＝eq\r(1＋k2)|xQ－x1|＝eq\r(1＋k2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2－8k2,1＋4k2)＋2))＝eq\r(1＋k2)·eq\f(4,1＋4k2)，|AR|＝eq\r(1＋k2)|0－(－2)|＝2eq\r(1＋k2)，|OP|＝eq\r(1＋k2)|xP－0|，令直线OP为y＝kx，令yP＞0，xP＞0.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx，,\f(x2,4)＋y2＝1，))得(1＋4k2)x2－4＝0，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝0，,x1·x2＝\f(－4,1＋4k2)，))x2＝xP＝eq\r(\f(4,1＋4k2))，所以|OP|＝eq\f(2\r(1＋k2),\r(1＋4k2))，eq\f(|AQ|·|AR|,|OP|2)＝eq\f(\f(4,1＋4k2)·2,\f(4,1＋4k2))＝2，所以定值为2.〖答案〗21．过直线l：3x＋4y－12＝0上一个动点P作圆C：x2＋y2＝1的切线，两个切点确定的直线经过定点M，则M的坐标为()A．(4，3)B．(3，4)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,4)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3)))〖解析〗选D.由圆的几何性质，可得坐标原点，点P(x0，y0)，和两个切点满足四点共圆，这个圆以OP为直径，它的方程为x(x－x0)＋y(y－y0)＝0，两个圆的方程相减得x0x＋y0y＝1，这就是两个切点确定的直线方程．因为点P(x0，y0)在直线l：3x＋4y－12＝0上，所以x0·eq\f(1,4)＋y0·eq\f(1,3)＝1，对照两个切点确定的直线方程x0x＋y0y＝1上，可得点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3)))在直线x0x＋y0y＝1，所以直线x0x＋y0y＝1经过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3))).2．椭圆C：eq\f(x2,4)＋y2＝1，A，B是椭圆C的左、右顶点，点P是椭圆上的任意一点．若直线PA与直线PB的斜率之积为定值，则这个定值等于______，设经过D(1，0)且斜率不为0的直线l交椭圆于M，N两点，直线AM与直线BN交于点Q，则·的值为________．〖解析〗由题意，A(－2，0)，B(2，0)，设点P(x0，y0)，则直线PA的斜率为kPA＝eq\f(y0,x0＋2)，直线PB的斜率为kPB＝eq\f(y0,x0－2)，所以kPA·kPB＝eq\f(y0,x0＋2)·eq\f(y0,x0－2)＝eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－4)，又由点P(x0，y0)在椭圆上，可得eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),4)＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝1，即yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝1－eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),4)＝eq\f(4－xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),4)，所以kPA·kPB＝eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－4)＝－eq\f(1,4)，即直线PA与直线PB的斜率之积为定值－eq\f(1,4).由直线l过点D(1，0)，所以直线l的方程为l：x＝ky＋1，联立方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ky＋1，,\f(x2,4)＋y2＝1，))整理得(k2＋4)y2＋2ky－3＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝－eq\f(2k,k2＋4)，y1y2＝－eq\f(3,k2＋4)，则eq\f(y1＋y2,y1y2)＝eq\f(2k,3)，即3y1＋3y2＝2ky1y2，又由直线AM：y＝eq\f(y1,x1＋2)(x＋2)，直线BM：y＝eq\f(y2,x2－2)(x－2)，联立方程组可得eq\f(y1,x1＋2)(x＋2)＝eq\f(y2,x2－2)(x－2)，整理得eq\f(x＋2,x－2)＝eq\f(y2,x2－2)·eq\f(x1＋2,y1)＝eq\f(y2,ky2－1)·eq\f(ky1＋3,y1)＝eq\f(k