高中数学一轮复习课时作业梯级练六函数的奇偶性对称性与周期性课时作业理含解析新人教A版

一轮复习精品资料(高中)PAGE1-课时作业梯级练六函数的奇偶性、对称性与周期性一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列函数为奇函数的是 ()A.y=QUOTE B.y=|sinx|C.y=cosx D.y=ex-e-x〖解析〗选D.因为函数y=QUOTE的定义域为〖0,+∞),不关于原点对称,所以函数y=QUOTE为非奇非偶函数,排除A;因为y=|sinx|为偶函数,所以排除B;因为y=cosx为偶函数,所以排除C;因为y=f(x)=ex-e-x,f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),所以函数y=ex-e-x为奇函数.2.(2021·六盘水模拟)若函数f(x)=QUOTE为奇函数,则实数a= ()A.-1 B.0 C.1 D.2〖解析〗选A.因为函数f(x)为奇函数,所以f(-x)+f(x)=QUOTE+QUOTE=0,化为(a+1)x=0,所以a+1=0,解得a=-1.3.已知函数g(x)=f(x)+x2是奇函数,当x>0时,函数f(x)的图象与函数y=log2x的图象关于y=x对称,则g(-1)+g(-2)= ()A.-13 B.-11 C.-9 D.-7〖解析〗选B.因为x>0时,函数f(x)的图象与函数y=log2x的图象关于y=x对称,所以x>0时,f(x)=2x,所以x>0时,g(x)=2x+x2,又g(x)是奇函数,所以g(-1)+g(-2)=-〖g(1)+g(2)〗=-(2+1+4+4)=-11.〖加练备选·拔高〗x为实数,〖x〗表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-〖x〗在R上为 ()A.奇函数 B.偶函数C.增函数 D.周期函数〖解析〗选D.函数f(x)=x-〖x〗在R上的图象如图:所以f(x)在R上是周期为1的函数.4.(2021·德州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x2,则f(2023)= ()A.20192 B.1 C.0 D.-1〖解析〗选D.根据题意,函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则有f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函数是周期为4的周期函数,则f(2023)=f(-1+2024)=f(-1),又函数y=f(x)为奇函数,且x∈〖0,1〗时,f(x)=x2,则f(-1)=-f(1)=-1,故f(2023)=-1.5.(2021·眉山模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x∈〖3,4〗时,f(x)=2x,则下列不等式中正确的是 ()A.fQUOTE<fQUOTE B.fQUOTE>fQUOTEC.f(sin1)<f(cos1) D.fQUOTE<fQUOTE〖解析〗选C.因为x∈〖3,4〗时,f(x)=2x,且f(x)=f(x+2),故偶函数f(x)在〖3,4〗上是增函数,T=2,所以偶函数f(x)在(-1,0)上是增函数,所以f(x)在(0,1)上是减函数,对于A,sinQUOTE<cosQUOTE,所以fQUOTE>fQUOTE,对于B,sinQUOTE>cosQUOTE,所以fQUOTE<fQUOTE,对于C,sin1>cos1,所以f(sin1)<f(cos1),对于D,cosQUOTE<sinQUOTE,所以fQUOTE>fQUOTE.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020·江苏高考)已知y=f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=QUOTE,则f(-8)的值是________.

〖解析〗y=f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=QUOTE,则f(-8)=-f(8)=-QUOTE=-4.〖答案〗:-47.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间〖-1,1〗上f(x)=QUOTE(a,b∈R),若fQUOTE=fQUOTE,则a+3b=________.

〖解析〗由题知,f(x)的周期为2,所以fQUOTE=fQUOTE=1-QUOTEa,fQUOTE=QUOTE,又因为fQUOTE=fQUOTE,所以1-QUOTEa=QUOTE①,又f(-1)=f(1),所以2a+b=0②,由①②解得a=2,b=-4,所以a+3b=-10.〖答案〗:-10〖加练备选·拔高〗已知函数f(x)=QUOTE的图象关于原点对称,g(x)=ln(ex+1)-bx是偶函数,则logab=______.

〖解析〗由题意得f(0)=0,所以a=2.因为g(x)为偶函数,所以g(1)=g(-1),即ln(e+1)-b=lnQUOTE+b,所以b=QUOTE,所以log2QUOTE=-1.〖答案〗:-18.若定义在R上的函数fQUOTE满足fQUOTE=-fQUOTE,fQUOTE是奇函数,现给出下列4个论断:①fQUOTE是周期为4的周期函数;②fQUOTE的图象关于点QUOTE对称;③fQUOTE是偶函数;④fQUOTE的图象经过点QUOTE;其中正确论断的个数是________.

〖解析〗①:由fQUOTE=-fQUOTE得:fQUOTE=-fQUOTE=fQUOTE,所以函数fQUOTE的周期为4,故①正确;②:由fQUOTE是奇函数,知fQUOTE的图象关于原点对称,所以函数fQUOTE的图象关于点QUOTE对称,故②正确;③:由fQUOTE是奇函数,得fQUOTE=-fQUOTE,又fQUOTE=-fQUOTE,所以fQUOTE=-fQUOTE=-fQUOTE=fQUOTE=fQUOTE,所以函数fQUOTE是偶函数,故③正确;④:fQUOTE=-fQUOTE=-fQUOTE,无法判断其值,故④错误.综上,正确论断的序号是:①②③.故正确的有3个.〖答案〗:3三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=QUOTE是奇函数.(1)求实数m的值.(2)若函数f(x)在区间〖-1,a-2〗上单调递增,求实数a的取值范围.〖解析〗(1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x).于是x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.(2)要使f(x)在〖-1,a-2〗上单调递增,结合f(x)的图象知QUOTE所以1<a≤3,故实数a的取值范围是(1,3〗.10.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意实数x都有fQUOTE=-fQUOTE成立.(1)证明y=f(x)是周期函数,并指出其周期.(2)若f(1)=2,求f(2)+f(3)的值.(3)若g(x)=x2+ax+3,且y=|f(x)|·g(x)是偶函数,求实数a的值.〖解析〗(1)由fQUOTE=-fQUOTE,且f(-x)=-f(x),知f(3+x)=fQUOTE=-fQUOTE=-f(-x)=f(x),所以y=f(x)是周期函数,且T=3是其一个周期.(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,且f(-1)=-f(1)=-2,又T=3是y=f(x)的一个周期,所以f(2)+f(3)=f(-1)+f(0)=-2+0=-2.(3)因为y=|f(x)|·g(x)是偶函数,且|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,所以|f(x)|为偶函数.故g(x)=x2+ax+3为偶函数,即g(-x)=g(x)恒成立,于是(-x)2+a(-x)+3=x2+ax+3恒成立.于是2ax=0恒成立,所以a=0.1.(5分)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间〖0,2〗上是增函数,则 ()A.f(-25)<f(11)<f(80)B.f(80)<f(11)<f(-25)C.f(11)<f(80)<f(-25)D.f(-25)<f(80)<f(11)〖解析〗选D.因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以函数f(x)是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).由f(x)是R上的奇函数,且满足f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1).因为f(x)在区间〖0,2〗上是增函数,f(x)在R上是奇函数,所以f(x)在区间〖-2,2〗上是增函数,所以f(-1)<f(0)<f(1),即f(-25)<f(80)<f(11).2.(5分)(2020·潍坊模拟)关于函数f(x)=QUOTE,下列结论不正确的是()A.图象关于y轴对称B.图象关于原点对称C.在QUOTE上单调递增D.fQUOTE恒大于0〖解析〗选B.函数f(x)=QUOTE定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),因为f(x)=QUOTE=QUOTE·QUOTE,f(-x)=QUOTE·QUOTE=-QUOTE·QUOTE=QUOTE·QUOTE=f(x),故函数fQUOTE为偶函数,所以A正确,B不正确;当x>0时,y=QUOTE>0,且y=QUOTE在QUOTE单调递减,当x>0时,y=1+QUOTE>0,且y=1+QUOTE在QUOTE单调递减,而f(x)=QUOTE,故fQUOTE在QUOTE单调递减,又由fQUOTE为偶函数,故fQUOTE在QUOTE上单调递增,所以C正确;x>0时,f(x)=QUOTE>0,f(x)为偶函数,所以当x<0时,f(x)>0,故fQUOTE>0,D正确.3.(5分)(2021·昭通模拟)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,且满足f(x+4)=f(-x),又当x∈(0,2〗时,f(x)=2x,则f(0)+f(1)+…+f(2020)=()A.0 B.2 C.6 D.8〖解析〗选D.因为f(x+4)=f(-x),且f(x)为奇函数,所以f(x+4)=-f(x),所以周期T=8,所以f(0)=0,f(1)=2,f(2)=4,f(3)=f(-1+4)=f(1)=2,f(4)=f(0)=0,f(5)=f(1+4)=f(-1)=-f(1)=-2,f(6)=f(2+4)=f(-2)=-f(2)=-4,f(7)=f(3+4)=f(-3)=-f(3)=-2,所以f(0)+f(1)+…+f(7)=0+2+4+2+0-2-4-2=0,f(0)+f(1)+…+f(2020)=252〖f(0)+f(1)+…+f(7)〗+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=252×0+0+2+4+2+0=8.〖加练备选·拔高〗已知定义在R上的函数f(x),对任意实数x有f(x+4)=-f(x),若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,f(-2)=2,则f(2018)=________.

〖解析〗由函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称可知,函数f(x)的图象关于y轴对称,故f(x)为偶函数.由f(x+4)=-f(x),得f(x+4+4)=-f(x+4)=f(x),所以f(x)是周期T=8的偶函数,所以f(2018)=f(2+252×8)=f(2)=f(-2)=2.〖答案〗:24.(10分)设fQUOTE是定义在R上的函数,且对任意实数x,恒有fQUOTE=fQUOTE,fQUOTE=-fQUOTE,当x∈QUOTE时,fQUOTE=2x-x2.(1)当x∈QUOTE时,求fQUOTE的〖解析〗式;(2)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+fQUOTE.〖解析〗(1)将fQUOTE=-fQUOTE中的x用-x代换得fQUOTE=-fQUOTE,又fQUOTE=fQUOTE,得fQUOTE=-fQUOTE,将x用x-2替换得fQUOTE=-fQUOTE,所以周期为4,由fQUOTE=-fQUOTE得函数fQUOTE的对称中心是QUOTE,此函数是奇函数,在QUOTE的〖解析〗式为fQUOTE=-fQUOTE=x2+2x,向右移4个单位得fQUOTE=QUOTE+2(x-4)=x2-6x+8.(2)f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1,由周期是4知f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+fQUOTE=f(1)+f(2)+f(3)=0.5.(10分)设函数f(x)对任意实数x满足f(2+x)=f(2-x),f(7+x)=f(7-x)且f(0)=0,判断函数f(x)图象在区间QUOTE上与x轴至少有多少个交点.〖解析〗由题设知函数f(x)图象关于直线x=2和x=7对称,又由函数的性质得f(x)是以10为周期的函数.在一个周期区间QUOTE上,f(0)=0,f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)=0且f(x)不能恒为零,故f(x)图象与x轴至少有2个交点.而区间QUOTE有6个周期,故在闭区间QUOTE上f(x)图象与x轴至少有13个交点.1.已知函数y=f(x)的定义域为R,f(x+1)为偶函数,且对∀x1<x2≤1,满足QUOTE<0.若f(3)=1,则不等式fQUOTE<1的解集为 ()A.QUOTE B.(1,8)C.QUOTE∪(8,+∞) D.(-∞,1)∪(8,+∞)〖解析〗选A.因为对∀x1<x2≤1,满足QUOTE<0,所以y=f(x)当x≤1时,是单调递减函数,又因为f(x+1)为偶函数,所以y=f(x)关于直线x=1对称,所以函数y=f(x)当x>1时,是单调递增函数,又因为f(3)=1,所以有f(-1)=1,当log2x≤1,即当0<x≤2时,fQUOTE<1⇒fQUOTE<f(-1)⇒log2x>-1⇒x>QUOTE,所以QUOTE<x≤2;当log2x>1,即当x>2时,fQUOTE<1⇒fQUOTE<f(3)⇒log2x<3⇒x<8,所以2<x<8,综上所述:不等式fQUOTE<1的解集为QUOTE.2.对于函数y=f(x),若存在x0,使f(x0)+f(-x0)=0,则称点(x0,f(x0))是曲线f(x)的“优美点”.已知f(x)=QUOTE若曲线f(x)存在“优美点”,则实数k的取值范围为________.

〖解析〗由“优美点”的定义,可知若点(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的“优美点”,则点(-x0,-f(x0))也在曲线y=f(x)上.如图所示作出函数y=x2+2x(x<0)的图象,然后作出其关于原点对称的图象,此图象对应的函数〖解析〗式为y=-x2+2x(x>0).设过定点(0,2)的直线y=k1x+2与曲线y=f(x)=-x2+2x(x>0)切于点A(x1,f(x1)),则k1=-2x1+2=QUOTE,解得x1=QUOTE或x1=-QUOTE(舍去),所以k1=-2QUOTE+2.由图可知,若曲线y=f(x)存在“优美点”,则k≤2-2QUOTE.〖答案〗:(-∞,2-2QUOTE〗〖加练备选·拔高〗设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈〖0,1〗时,f(x)=2x,则有①2是函数f(x)的周期;②函数f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数;③函数f(x)的最大值是1,最小值是0.其中所有正确命题的序号是________.

〖解析〗在f(x+1)=f(x-1)中,令x-1=t,则有f(t+2)=f(t),因此2是函数f(x)的周期,故①正确;当x∈〖0,1〗时,f(x)=2x是增函数,根据函数的奇偶性知,f(x)在〖-1,0〗上是减函数,根据函数的周期性知,函数f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数,故②正确;由②知,f(x)在〖0,2〗上的最大值f(x)max=f(1)=2,f(x)的最小值f(x)min=f(0)=20=1且f(x)是周期为2的周期函数,所以f(x)的最大值是2,最小值是1,故③错误.〖答案〗:①②课时作业梯级练六函数的奇偶性、对称性与周期性一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列函数为奇函数的是 ()A.y=QUOTE B.y=|sinx|C.y=cosx D.y=ex-e-x〖解析〗选D.因为函数y=QUOTE的定义域为〖0,+∞),不关于原点对称,所以函数y=QUOTE为非奇非偶函数,排除A;因为y=|sinx|为偶函数,所以排除B;因为y=cosx为偶函数,所以排除C;因为y=f(x)=ex-e-x,f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),所以函数y=ex-e-x为奇函数.2.(2021·六盘水模拟)若函数f(x)=QUOTE为奇函数,则实数a= ()A.-1 B.0 C.1 D.2〖解析〗选A.因为函数f(x)为奇函数,所以f(-x)+f(x)=QUOTE+QUOTE=0,化为(a+1)x=0,所以a+1=0,解得a=-1.3.已知函数g(x)=f(x)+x2是奇函数,当x>0时,函数f(x)的图象与函数y=log2x的图象关于y=x对称,则g(-1)+g(-2)= ()A.-13 B.-11 C.-9 D.-7〖解析〗选B.因为x>0时,函数f(x)的图象与函数y=log2x的图象关于y=x对称,所以x>0时,f(x)=2x,所以x>0时,g(x)=2x+x2,又g(x)是奇函数,所以g(-1)+g(-2)=-〖g(1)+g(2)〗=-(2+1+4+4)=-11.〖加练备选·拔高〗x为实数,〖x〗表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-〖x〗在R上为 ()A.奇函数 B.偶函数C.增函数 D.周期函数〖解析〗选D.函数f(x)=x-〖x〗在R上的图象如图:所以f(x)在R上是周期为1的函数.4.(2021·德州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x2,则f(2023)= ()A.20192 B.1 C.0 D.-1〖解析〗选D.根据题意,函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则有f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函数是周期为4的周期函数,则f(2023)=f(-1+2024)=f(-1),又函数y=f(x)为奇函数,且x∈〖0,1〗时,f(x)=x2,则f(-1)=-f(1)=-1,故f(2023)=-1.5.(2021·眉山模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x∈〖3,4〗时,f(x)=2x,则下列不等式中正确的是 ()A.fQUOTE<fQUOTE B.fQUOTE>fQUOTEC.f(sin1)<f(cos1) D.fQUOTE<fQUOTE〖解析〗选C.因为x∈〖3,4〗时,f(x)=2x,且f(x)=f(x+2),故偶函数f(x)在〖3,4〗上是增函数,T=2,所以偶函数f(x)在(-1,0)上是增函数,所以f(x)在(0,1)上是减函数,对于A,sinQUOTE<cosQUOTE,所以fQUOTE>fQUOTE,对于B,sinQUOTE>cosQUOTE,所以fQUOTE<fQUOTE,对于C,sin1>cos1,所以f(sin1)<f(cos1),对于D,cosQUOTE<sinQUOTE,所以fQUOTE>fQUOTE.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020·江苏高考)已知y=f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=QUOTE,则f(-8)的值是________.

〖解析〗y=f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=QUOTE,则f(-8)=-f(8)=-QUOTE=-4.〖答案〗:-47.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间〖-1,1〗上f(x)=QUOTE(a,b∈R),若fQUOTE=fQUOTE,则a+3b=________.

〖解析〗由题知,f(x)的周期为2,所以fQUOTE=fQUOTE=1-QUOTEa,fQUOTE=QUOTE,又因为fQUOTE=fQUOTE,所以1-QUOTEa=QUOTE①,又f(-1)=f(1),所以2a+b=0②,由①②解得a=2,b=-4,所以a+3b=-10.〖答案〗:-10〖加练备选·拔高〗已知函数f(x)=QUOTE的图象关于原点对称,g(x)=ln(ex+1)-bx是偶函数,则logab=______.

〖解析〗由题意得f(0)=0,所以a=2.因为g(x)为偶函数,所以g(1)=g(-1),即ln(e+1)-b=lnQUOTE+b,所以b=QUOTE,所以log2QUOTE=-1.〖答案〗:-18.若定义在R上的函数fQUOTE满足fQUOTE=-fQUOTE,fQUOTE是奇函数,现给出下列4个论断:①fQUOTE是周期为4的周期函数;②fQUOTE的图象关于点QUOTE对称;③fQUOTE是偶函数;④fQUOTE的图象经过点QUOTE;其中正确论断的个数是________.

〖解析〗①:由fQUOTE=-fQUOTE得:fQUOTE=-fQUOTE=fQUOTE,所以函数fQUOTE的周期为4,故①正确;②:由fQUOTE是奇函数,知fQUOTE的图象关于原点对称,所以函数fQUOTE的图象关于点QUOTE对称,故②正确;③:由fQUOTE是奇函数,得fQUOTE=-fQUOTE,又fQUOTE=-fQUOTE,所以fQUOTE=-fQUOTE=-fQUOTE=fQUOTE=fQUOTE,所以函数fQUOTE是偶函数,故③正确;④:fQUOTE=-fQUOTE=-fQUOTE,无法判断其值,故④错误.综上,正确论断的序号是:①②③.故正确的有3个.〖答案〗:3三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=QUOTE是奇函数.(1)求实数m的值.(2)若函数f(x)在区间〖-1,a-2〗上单调递增,求实数a的取值范围.〖解析〗(1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x).于是x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.(2)要使f(x)在〖-1,a-2〗上单调递增,结合f(x)的图象知QUOTE所以1<a≤3,故实数a的取值范围是(1,3〗.10.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意实数x都有fQUOTE=-fQUOTE成立.(1)证明y=f(x)是周期函数,并指出其周期.(2)若f(1)=2,求f(2)+f(3)的值.(3)若g(x)=x2+ax+3,且y=|f(x)|·g(x)是偶函数,求实数a的值.〖解析〗(1)由fQUOTE=-fQUOTE,且f(-x)=-f(x),知f(3+x)=fQUOTE=-fQUOTE=-f(-x)=f(x),所以y=f(x)是周期函数,且T=3是其一个周期.(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,且f(-1)=-f(1)=-2,又T=3是y=f(x)的一个周期,所以f(2)+f(3)=f(-1)+f(0)=-2+0=-2.(3)因为y=|f(x)|·g(x)是偶函数,且|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,所以|f(x)|为偶函数.故g(x)=x2+ax+3为偶函数,即g(-x)=g(x)恒成立,于是(-x)2+a(-x)+3=x2+ax+3恒成立.于是2ax=0恒成立,所以a=0.1.(5分)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间〖0,2〗上是增函数,则 ()A.f(-25)<f(11)<f(80)B.f(80)<f(11)<f(-25)C.f(11)<f(80)<f(-25)D.f(-25)<f(80)<f(11)〖解析〗选D.因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以函数f(x)是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).由f(x)是R上的奇函数,且满足f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1).因为f(x)在区间〖0,2〗上是增函数,f(x)在R上是奇函数,所以f(x)在区间〖-2,2〗上是增函数,所以f(-1)<f(0)<f(1),即f(-25)<f(80)<f(11).2.(5分)(2020·潍坊模拟)关于函数f(x)=QUOTE,下列结论不正确的是()A.图象关于y轴对称B.图象关于原点对称C.在QUOTE上单调递增D.fQUOTE恒大于0〖解析〗选B.函数f(x)=QUOTE定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),因为f(x)=QUOTE=QUOTE·QUOTE,f(-x)=QUOTE·QUOTE=-QUOTE·QUOTE=QUOTE·QUOTE=f(x),故函数fQUOTE为偶函数,所以A正确,B不正确;当x>0时,y=QUOTE>0,且y=QUOTE在QUOTE单调递减,当x>0时,y=1+QUOTE>0,且y=1+QUOTE在QUOTE单调递减,而f(x)=QUOTE,故fQUOTE在QUOTE单调递减,又由fQUOTE为偶函数,故fQUOTE在QUOTE上单调递增,所以C正确;x>0时,f(x)=QUOTE>0,f(x)为偶函数,所以当x<0时,f(x)>0,故fQUOTE>0,D正确.3.(5分)(2021·昭通模拟)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,且满足f(x+4)=f(-x),又当x∈(0,2〗时,f(x)=2x,则f(0)+f(1)+…+f(2020)=()A.0 B.2 C.6 D.8〖解析〗选D.因为f(x+4)=f(-x),且f(x)为奇函数,所以f(x+4)=-f(x),所以周期T=8,所以f(0)=0,f(1)=2,f(2)=4,f(3)=f(-1+4)=f(1)=2,f(4)=f(0)=0,f(5)=f(1+4)=f(-1)=-f(1)=-2,f(6)=f(2+4)=f(-2)=-f(2)=-4,f(7)=f(3+4)=f(-3)=-f(3)=-2,所以f(0)+f(1)+…+f(7)=0+2+4+2+0-2-4-2=0,f(0)+f(1)+…+f(2020)=252〖f(0)+f(1)+…+f(7)〗+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=252×0+0+2+4+2+0=8.〖加练备选·拔高〗已知定义在R上的函数f(x),对任意实数x有f(x+4)=-f(x),若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,f(-2)=2,则f(2018)=________.

〖解析〗由函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称可知,函数f(x)的图象关于y轴对称,故f(x)为偶函数.由f(x+4)=-f(x),得f(x+4+4)=-f(x+4)=f(x),所以f(x)是周期T=8的偶函数,所以f(2018)=f(2+252×8)=f(2)=f(-2)=2.〖答案〗:24.(10分)设fQUOTE是定义在R上的函数,且对任意实数x,恒有fQUOTE=fQUOTE,fQUOTE=-fQUOTE,当x∈QUOTE时,fQUOTE=2x-x2.(1)当x∈QUOTE时,求fQUOTE的〖解析〗式;(2)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+fQUOTE.〖解析〗(1)将fQUOTE=-fQUOTE中的x用-x代换得fQUOTE=-fQUOTE,又fQUOTE=fQUOTE,得fQUOTE=-fQUOTE,将x用x-2替换得fQUOTE=-fQUOTE,所以周期为4,由fQUOTE=-fQUOTE得函数fQUOTE的对称中心是QUOTE,此函数是奇函数,在QUOTE的〖解析〗式为fQUOTE=-fQUOTE=x2+2x,向右移4个单位得fQUOTE=QUOTE+2(x-4)=x2-6x+8.(2)f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1,由周期是4知f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+fQUOTE=f(1)+f(2)+f(3)=0.5.(10分)设函数f(x)对任意实数x满足f(2+x)=f(2-x),f(7+x)=f(7-x)且f(0)=0,判断函数f(x)图象在区间QUOTE上与x轴至少有多少个交点.〖解析〗由题设知函数f(x)图象关于直线x=2和x=7对称,又由函数的性质得f(x)是以10为周期的函数.在一个周期区间QUOTE