高中数学一轮复习课时作业梯级练二十六应用举例课时作业理含解析新人教A版

一轮复习精品资料(高中)PAGE1-课时作业梯级练二十六应用举例〖基础落实练〗（30分钟60分）一、选择题(每小题5分，共25分)1.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C间的距离是 ()A.10QUOTE海里 B.10QUOTE海里C.20QUOTE海里 D.20QUOTE海里〖解析〗选A.如图,由已知可得,∠BAC=30°,∠ABC=105°,AB=20海里,从而∠在△ABC中,由正弦定理可得BC=QUOTE×sin30°=10QUOTE(海里).2．甲船在岛的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北匀速航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向匀速航行，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是()A．eq\f(5,14)小时B．eq\f(5,7)小时C．eq\f(14,5)小时D．eq\f(7,5)小时〖解析〗选A.假设经过x小时两船相距最近，甲乙分别行至C，D，如图所示：可知BC＝10－4x，BD＝6x，∠CBD＝120°，由余弦定理可得，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠CBD＝(10－4x)2＋36x2＋2×(10－4x)×6x×eq\f(1,2)＝28x2－20x＋100，所以当x＝eq\f(5,14)时两船相距最近．3.(2021·乐山模拟)台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动,离台风中心30千米内的地区为危险区,城市B在A的正东方向40千米处,B城市处于危险区内的持续时间为 ()A.0.5小时B.1小时C.1.5小时D.2小时〖解析〗选B.根据题意画出相应的图形,如图所示.BE=BF=30km,△ABD为等腰直角三角形且AB=40km,由勾股定理得AD=BD=20QUOTEkm,由BD⊥AD,可得ED=DF,在Rt△BED中,由勾股定理得ED=QUOTE=10km,所以EF=2ED=20km,因此B市处于危险区内的时间为20÷20=1(h).4．已知A船在灯塔C的北偏东85°方向且A到C的距离为2km，B船在灯塔C的西偏北25°方向且B到C的距离为eq\r(3)km，则A，B两船的距离为()A．eq\r(13)kmB．eq\r(15)kmC．2eq\r(3)kmD．3eq\r(2)km〖解析〗选A.画出图形如图所示，由题意可得∠ACB＝(90°－25°)＋85°＝150°，又AC＝2，BC＝eq\r(3).在△ABC中，由余弦定理可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos150°＝13，所以AB＝eq\r(13)，即A，B两船的距离为eq\r(13)km.5．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°，从点A沿北偏东30°方向前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是A．50mB．100mC．120mD．150m〖解析〗选A.设水柱高度是h，水柱底端为C，则在△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝eq\r(3)h，根据余弦定理得，(eq\r(3)h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，解得h＝50(负值舍去)，故水柱的高度是50m二、填空题(每小题5分，共15分)6．如图，某炮兵阵地位于A点，两观察所分别位于C，D两点．已知△ACD为正三角形，且DC＝eq\r(3)km，当目标出现在点B时，测得∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，则炮兵阵地与目标的距离是______．(保留1位小数)〖解析〗∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°.在△BCD中，由正弦定理，得BD＝eq\f(CDsin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2).在△ABD中，∠ADB＝45°＋60°＝105°，由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos105°＝3＋eq\f(（\r(6)＋\r(2)）2,4)＋2×eq\r(3)×eq\f(\r(6)＋\r(2),2)×eq\f(\r(6)－\r(2),4)＝5＋2eq\r(3).所以AB＝eq\r(5＋2\r(3))≈2.9(km).所以炮兵阵地与目标的距离约是2.9km〖答案〗2.97．海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A处北偏东45°的方向，且与A相距10海里的C处，沿东偏南15°的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为________小时．〖解析〗设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为x小时，如图，在△ABC中，AC＝10海里，AB＝21x海里，BC＝9x海里，∠ACB＝120°.由余弦定理得(21x)2＝100＋(9x)2－2×10×9x×cos120°，整理，得36x2－9x－10＝0，解得x＝eq\f(2,3)或x＝－eq\f(5,12)(舍).所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为eq\f(2,3)小时．〖答案〗eq\f(2,3)8．长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上，另一端B在离堤足C处的2.8m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tanα〖解析〗由已知，在△ABC中，AB＝3.5m，AC＝1.4m，BC＝2.8m，且∠α＋∠ACB＝由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos∠ACB，即3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cosα＝eq\f(5,16)，所以sinα＝eq\f(\r(231),16)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\r(231),5).〖答案〗eq\f(\r(231),5)三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°(∠BAC＝15°)方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，测得山顶P位于北偏东60°方向上，此时测得山顶P的仰角为60°，若山高为2eq\r(3)千米，(1)船的航行速度是每小时多少千米？(2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶P位于D处的南偏东什么方向？〖解析〗(1)在△BCP中，tan∠PBC＝eq\f(PC,BC)⇒BC＝2，在△ABC中，由正弦定理得eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AB,sin∠BCA)⇒eq\f(2,sin15°)＝eq\f(AB,sin45°)，所以AB＝2(eq\r(3)＋1)，故船的航行速度是每小时6(eq\r(3)＋1)千米．(2)在△BCD中，由余弦定理得CD＝eq\r(6)，在△BCD中，由正弦定理得eq\f(CD,sin∠DBC)＝eq\f(BC,sin∠CDB)⇒sin∠CDB＝eq\f(\r(2),2)，所以山顶P位于D处南偏东45°方向．10.如图,在一条海防警戒线上的点A,B,C处各有一个水声监测点,B,C两点到A的距离分别为20千米和50千米,某时刻,B收到发自静止目标P的一个声波信号,8秒后A,C同时接收到该声波信号,已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒.(1)设A到P的距离为x千米,用x表示B,C到P的距离,并求x的值;(2)求P到海防警戒线AC的距离.〖解析〗(1)依题意,有PA=PC=x,PB=x-1.5×8=x-12.在△PAB中,AB=20,cos∠PAB=QUOTE=QUOTE=QUOTE,同理在△PAC中,AC=50,cos∠PAC=QUOTE=QUOTE=QUOTE.因为cos∠PAB=cos∠PAC,所以QUOTE=QUOTE,解得x=31.经检验x=31符合题意.(2)作PD⊥AC于D,在△ADP中,由cos∠PAD=QUOTE,得sin∠PAD=QUOTE=QUOTE,所以PD=PAsin∠PAD=31×QUOTE=4QUOTE(千米),故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4QUOTE千米.〖素养提升练〗（20分钟35分）1．如图，要测量底部不能到达的某铁塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°.在水平面上测得∠BCD＝120°，C，D两地相距600m，则铁塔ABA．120eq\r(2)mB．480mC．240eq\r(2)mD．600m〖解析〗选D.设AB＝x，则BC＝x，BD＝eq\r(3)x，在△BCD中，由余弦定理知cos120°＝eq\f(BC2＋CD2－BD2,2BC·CD)＝eq\f(x2＋6002－3x2,2×600x)＝－eq\f(1,2)，解得x＝600m，(x故铁塔AB的高度为600m2．如图，为了测量正在海面匀速行驶的某船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观察点C，D，在某天10：00观察到该船在A处，此时测得∠ADC＝30°，2分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，则船速为________千米/分钟．〖解析〗在△BCD中，∠BDC＝30°＋60°＝90°，CD＝1，∠BCD＝45°，所以BC＝eq\r(2).在△ACD中，∠CAD＝180°－(60°＋45°＋30°)＝45°，所以eq\f(CD,sin45°)＝eq\f(AC,sin30°)，AC＝eq\f(\r(2),2).在△ABC中，AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos60°＝eq\f(3,2)，所以AB＝eq\f(\r(6),2)，所以船速为eq\f(\f(\r(6),2),2)＝eq\f(\r(6),4)千米/分钟．〖答案〗eq\f(\r(6),4)3.(5分)如图,在四边形ABCD中,∠ABD=45°,∠ADB=30°,BC=1,DC=2,cos∠BCD=QUOTE,则BD=;三角形ABD的面积为.

〖解析〗在△BCD中,由余弦定理可得BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos∠BCD=1+4-2×1×2×QUOTE=4,则BD=2.在△ABD中,∠BAD=180°-30°-45°=105°,sin105°=sin(45°+60°)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.由正弦定理可得AD=QUOTE=QUOTE=2(QUOTE-1),则S△ABD=QUOTE×2(QUOTE-1)×2×sin30°=QUOTE-1,故BD=2,△ABD的面积为QUOTE-1.〖答案〗:2QUOTE-14．已知岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？〖解析〗如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x海里，AC＝5海里，由已知，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°，所以BC2＝49，BC＝0.5x＝7，解得x＝14.又由正弦定理得sin∠ABC＝eq\f(AC·sin∠BAC,BC)＝eq\f(5×\f(\r(3),2),7)＝eq\f(5\r(3),14)，所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，所以缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．5．已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100m和BN＝200m，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100eq\r(3)m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tanθ＝2，求两发射塔顶A，B〖解析〗在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100m，所以PM＝100eq\r(3)m.连接QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，又PQ＝100eq所以△PQM为等边三角形，所以QM＝100eq\r(3)m．在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋在Rt△BNQ中，tanθ＝2，BN＝200m所以BQ＝100eq\r(5)m，cosθ＝eq\f(\r(5)在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcosθ＝(100eq\r(5))2，所以BA＝100eq\r(5).所以两发射塔顶A，B之间的距离是100eq1．如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP与平面ABC所成的角).若AB＝15m，AC＝25m，∠BCM＝30°，则tanθA．eq\f(\r(30),5)B．eq\f(\r(30),10)C．eq\f(4\r(3),9)D．eq\f(5\r(3),9)〖解析〗选D.由已知，在Rt△ABC中，sin∠ACB＝eq\f(AB,AC)＝eq\f(15,25)＝eq\f(3,5)，则cos∠ACB＝eq\f(4,5).作PH⊥BC，垂足为H，连接AH，如图所示．设PH＝xm，则CH＝eq\r(3)xm，在△ACH中，由余弦定理得AH＝eq\r(AC2＋CH2－2AC·CH·cos∠ACB)＝eq\r(625＋3x2－40\r(3)x)，tan∠PAH＝eq\f(PH,AH)＝eq\f(1,\r(\f(625,x2)－\f(40\r(3),x)＋3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＞0))，当eq\f(1,x)＝eq\f(4\r(3),125)时，tanθ取得最大值，最大值为eq\f(5\r(3),9).2．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始________h后〖解析〗如图所示，设过xh后两车距离为ykm，则BD＝200－80x，BE＝50x，所以y2＝(200－80x)2＋(50x)2－2×(200－80x)·50x·cos60°，整理得y2＝12900x2－42000x＋40000(0≤x≤2.5)，所以当x＝eq\f(70,43)时，y2最小．〖答案〗eq\f(70,43)课时作业梯级练二十六应用举例〖基础落实练〗（30分钟60分）一、选择题(每小题5分，共25分)1.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C间的距离是 ()A.10QUOTE海里 B.10QUOTE海里C.20QUOTE海里 D.20QUOTE海里〖解析〗选A.如图,由已知可得,∠BAC=30°,∠ABC=105°,AB=20海里,从而∠在△ABC中,由正弦定理可得BC=QUOTE×sin30°=10QUOTE(海里).2．甲船在岛的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北匀速航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向匀速航行，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是()A．eq\f(5,14)小时B．eq\f(5,7)小时C．eq\f(14,5)小时D．eq\f(7,5)小时〖解析〗选A.假设经过x小时两船相距最近，甲乙分别行至C，D，如图所示：可知BC＝10－4x，BD＝6x，∠CBD＝120°，由余弦定理可得，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠CBD＝(10－4x)2＋36x2＋2×(10－4x)×6x×eq\f(1,2)＝28x2－20x＋100，所以当x＝eq\f(5,14)时两船相距最近．3.(2021·乐山模拟)台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动,离台风中心30千米内的地区为危险区,城市B在A的正东方向40千米处,B城市处于危险区内的持续时间为 ()A.0.5小时B.1小时C.1.5小时D.2小时〖解析〗选B.根据题意画出相应的图形,如图所示.BE=BF=30km,△ABD为等腰直角三角形且AB=40km,由勾股定理得AD=BD=20QUOTEkm,由BD⊥AD,可得ED=DF,在Rt△BED中,由勾股定理得ED=QUOTE=10km,所以EF=2ED=20km,因此B市处于危险区内的时间为20÷20=1(h).4．已知A船在灯塔C的北偏东85°方向且A到C的距离为2km，B船在灯塔C的西偏北25°方向且B到C的距离为eq\r(3)km，则A，B两船的距离为()A．eq\r(13)kmB．eq\r(15)kmC．2eq\r(3)kmD．3eq\r(2)km〖解析〗选A.画出图形如图所示，由题意可得∠ACB＝(90°－25°)＋85°＝150°，又AC＝2，BC＝eq\r(3).在△ABC中，由余弦定理可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos150°＝13，所以AB＝eq\r(13)，即A，B两船的距离为eq\r(13)km.5．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°，从点A沿北偏东30°方向前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是A．50mB．100mC．120mD．150m〖解析〗选A.设水柱高度是h，水柱底端为C，则在△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝eq\r(3)h，根据余弦定理得，(eq\r(3)h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，解得h＝50(负值舍去)，故水柱的高度是50m二、填空题(每小题5分，共15分)6．如图，某炮兵阵地位于A点，两观察所分别位于C，D两点．已知△ACD为正三角形，且DC＝eq\r(3)km，当目标出现在点B时，测得∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，则炮兵阵地与目标的距离是______．(保留1位小数)〖解析〗∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°.在△BCD中，由正弦定理，得BD＝eq\f(CDsin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2).在△ABD中，∠ADB＝45°＋60°＝105°，由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos105°＝3＋eq\f(（\r(6)＋\r(2)）2,4)＋2×eq\r(3)×eq\f(\r(6)＋\r(2),2)×eq\f(\r(6)－\r(2),4)＝5＋2eq\r(3).所以AB＝eq\r(5＋2\r(3))≈2.9(km).所以炮兵阵地与目标的距离约是2.9km〖答案〗2.97．海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A处北偏东45°的方向，且与A相距10海里的C处，沿东偏南15°的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为________小时．〖解析〗设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为x小时，如图，在△ABC中，AC＝10海里，AB＝21x海里，BC＝9x海里，∠ACB＝120°.由余弦定理得(21x)2＝100＋(9x)2－2×10×9x×cos120°，整理，得36x2－9x－10＝0，解得x＝eq\f(2,3)或x＝－eq\f(5,12)(舍).所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为eq\f(2,3)小时．〖答案〗eq\f(2,3)8．长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上，另一端B在离堤足C处的2.8m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tanα〖解析〗由已知，在△ABC中，AB＝3.5m，AC＝1.4m，BC＝2.8m，且∠α＋∠ACB＝由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos∠ACB，即3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cosα＝eq\f(5,16)，所以sinα＝eq\f(\r(231),16)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\r(231),5).〖答案〗eq\f(\r(231),5)三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°(∠BAC＝15°)方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，测得山顶P位于北偏东60°方向上，此时测得山顶P的仰角为60°，若山高为2eq\r(3)千米，(1)船的航行速度是每小时多少千米？(2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶P位于D处的南偏东什么方向？〖解析〗(1)在△BCP中，tan∠PBC＝eq\f(PC,BC)⇒BC＝2，在△ABC中，由正弦定理得eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AB,sin∠BCA)⇒eq\f(2,sin15°)＝eq\f(AB,sin45°)，所以AB＝2(eq\r(3)＋1)，故船的航行速度是每小时6(eq\r(3)＋1)千米．(2)在△BCD中，由余弦定理得CD＝eq\r(6)，在△BCD中，由正弦定理得eq\f(CD,sin∠DBC)＝eq\f(BC,sin∠CDB)⇒sin∠CDB＝eq\f(\r(2),2)，所以山顶P位于D处南偏东45°方向．10.如图,在一条海防警戒线上的点A,B,C处各有一个水声监测点,B,C两点到A的距离分别为20千米和50千米,某时刻,B收到发自静止目标P的一个声波信号,8秒后A,C同时接收到该声波信号,已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒.(1)设A到P的距离为x千米,用x表示B,C到P的距离,并求x的值;(2)求P到海防警戒线AC的距离.〖解析〗(1)依题意,有PA=PC=x,PB=x-1.5×8=x-12.在△PAB中,AB=20,cos∠PAB=QUOTE=QUOTE=QUOTE,同理在△PAC中,AC=50,cos∠PAC=QUOTE=QUOTE=QUOTE.因为cos∠PAB=cos∠PAC,所以QUOTE=QUOTE,解得x=31.经检验x=31符合题意.(2)作PD⊥AC于D,在△ADP中,由cos∠PAD=QUOTE,得sin∠PAD=QUOTE=QUOTE,所以PD=PAsin∠PAD=31×QUOTE=4QUOTE(千米),故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4QUOTE千米.〖素养提升练〗（20分钟35分）1．如图，要测量底部不能到达的某铁塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°.在水平面上测得∠BCD＝120°，C，D两地相距600m，则铁塔ABA．120eq\r(2)mB．480mC．240eq\r(2)mD．600m〖解析〗选D.设AB＝x，则BC＝x，BD＝eq\r(3)x，在△BCD中，由余弦定理知cos120°＝eq\f(BC2＋CD2－BD2,2BC·CD)＝eq\f(x2＋6002－3x2,2×600x)＝－eq\f(1,2)，解得x＝600m，(x故铁塔AB的高度为600m2．如图，为了测量正在海面匀速行驶的某船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观察点C，D，在某天10：00观察到该船在A处，此时测得∠ADC＝30°，2分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，则船速为________千米/分钟．〖解析〗在△BCD中，∠BDC＝30°＋60°＝90°，CD＝1，∠BCD＝45°，所以BC＝eq\r(2).在△ACD中，∠CAD＝180°－(60°＋45°＋30°)＝45°，所以eq\f(CD,sin45°)＝eq\f(AC,sin30°)，AC＝eq\f(\r(2),2).在△ABC中，AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos60°＝eq\f(3,2)，所以AB＝eq\f(\r(6),2)，所以船速为eq\f(\f(\r(6),2),2)＝eq\f(\r(6),4)千米/分钟．〖答案〗eq\f(\r(6),4)3.(5分)如图,在四边形ABCD中,∠ABD=45°,∠ADB=30°,BC=1,DC=2,cos∠BCD=QUOTE,则BD=;三角形ABD的面积为.

〖解析〗在△BCD中,由余弦定理可得BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos∠BCD=1+4-2×1×2×QUOTE=4,则BD=2.在△ABD中,∠BAD=180°-30°-45°=105°,sin105°=sin(45°+60°)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.由正弦定理可得AD=QUOTE=QUOTE=2(QUOTE-1),则S△ABD=QUOTE×2(QUOTE-1)×2×sin30°=QUOTE-1,故BD=2,△ABD的面积为QUOTE-1.〖答案〗:2QUOTE-14．已知岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？〖解析〗如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x海里，AC＝5海里，由已知，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°，所以BC2＝49，BC＝0.5x＝7，解得x＝14.又由正弦定理得sin∠ABC＝eq\f(AC·sin∠BAC,BC)＝eq\f(5×\f(\r(3),2),7)＝eq\f(5\r(3),14)，所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，所以缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．5．已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔