椭圆中的三角形问题教学设计

椭圆中的三角形问题教学设计北京八一中学邵文武一.指导思想和理论依据在新课标中明确指出,数学探究是高中数学课程中引入的一种新的学习方式,它强调“做中学”,力图通过学生“做”的主动探究过程来培养他们的创新精神，动手能力，提出问题和解决问题的能力.而立足于课堂,深入钻研教材,是数学课堂教学中实施探究性学习的基础.下面我就“椭圆中的三角形问题”来谈谈我是如何引领学生进行探究性学习的.二.教学背景分析这节课是我到北京立新学校参加基本功大赛所做的课.相对于平时教学而言，我要面对的是一群陌生的学生(在正式上课的前一天,老师和学生有10分钟的见面时间),因此对学生的了解无从谈起:首先学生的总体情况不清楚,其次他们学校教师的教学方法和学生的接受能力不清楚,另外,就连具体的教学进度都不清楚,做课的难度可想而知.也正是如此,我才下定决心按照下面的方式设计这节课,向自我挑战.我想知道,在这样的情况下,我是否能够驾驭课堂,是否能够调动学生的积极性,让学生和我一起完成我的设想.三.本课教学目标解决问题四.教学过程与教学资源设计(一.)设计这节课的初衷.1.从学生习中存在的问题角度出发:在学生学习数学的过程中,普遍存在两个问题:一是不知如何提出具有研究价值的问题;二是不能把解决过的问题联系在一起,从本质上加以认识,进而去解决新的问题.之所以会产生这两个问题,主要有两方面原因:一方面是学生在学习的过程中比较被动,没有发挥自身的主动性,课上只是听老师讲,而不是自己思考如何解决数学问题;另一方面,是教师在传授知识的过程中,更多的是传授解题方法或者是对知识本身的讲授,而缺少这方面的训练,没有充分挖掘、发挥学生自身的潜能.如果我们在教学中能够有意识在这方面做些工作,不仅会使学生对所学的知识有较深层次的认识,更会提高学生应用数学知识解决问题的能力,从而为以后的学习打下良好的基础.2.从学生对知识的内在关系认识的角度出发:学生在学习解析几何这部分知识时,对知识内在关系的理解有两个不好的地方:(1)把三种圆锥曲线分离开来,同样的问题,当所给曲线发生变化时,就认为是不同的问题,不能从整体上,本质上把握这些问题;(2)教师在开始介绍解析几何这门课时,会说这门课是从代数的角度来研究几何问题,而学生却不这样认为,他们往往是把代数和几何分离开来,不能把二者有机的结合在一起.本节课正是想在如何解决上述问题方面做一些尝试.3.题目的确定:我之所以选定椭圆中的三角形问题,是基于以下的考虑:三角形是平面几何中最基本、最常用的图形，三角形的许多性质是研究数学内容的一个重要思想方法和工具,平面几何中的很多问题都要归结为三角形的问题,可以说三角形是平面几何图形的一个典型代表;而椭圆是三种圆锥曲线的代表,相对于双曲线和抛物线而言,它是一个封闭图形,因此研究起来,比较容易操作.而作为一种几何图形，椭圆既与平面几何有关,又与代数知识有关.把三角形和椭圆结合在一起,即具有代表性,又能够更好的从代数和几何两方面研究问题.(二.)教学过程1.研究课题的提出:首先我想借助椭圆第一定义中出现的图形,提出研究课题.因此我先让学生复习椭圆的基础知识,给出了问题1:点M在椭圆(其中)上,请说出此时点M满足的条件.课上学生很快答出:点M的坐标应该满足椭圆方程.这时我引导学生说出这是从代数的角度,而从几何的角度,应该怎样叙述呢?学生又答出:点M到两个焦点的距离之和为2.这样做的目的是让学生在最开始就认识到我们可以从代数和几何两方面看问题,为下面的研究打下伏笔.为了突出所研究问题的必要性,我提出了问题2:点M,N是椭圆(其中)上不同的两个点,求弦MN长度的取值范围.同第一个问题,很快就有几个学生得出了结论:MN的长度在0和2之间.我继续提问,他们是如何得出结论的?学生回答说,是从图上看出来的.首先我对他们的答案作了肯定,其次对他们得到答案的方法给与了高度评价:他们是从几何直观可以得出的结论,而这是考虑这类问题重要的方法之一.在此基础之上,我让学生进一步思考,如何证明他们得出的结论?这个问题提出后,学生们有了不同的反应,有的学生说,我都直接看出来了,还证明什么呀?而另一部分说,正因为是看出来的,才需要给出严格证明呢?我对后者作了肯定,并继续引导:要求的是MN的长度,表面上看是一个数量问题,即代数问题,而我们从代数的角度下手比较难,那我们能否从其他方面考虑问题呢?“从几何的角度出发”,马上有学生回应.“从几何角度,我们该如何考虑呢?”过了一段时间,没有人回答.我继续提示:我们以前,在考虑与线段长度有关的问题时,可以借助于三角形,利用三角形的性质解决问题,现在,我们这样做行吗.在上面的提示之下,过了一会儿,有学生说出:把线段MN放到和焦点有关的两个三角形中去,利用不等关系,和等量关系,,就可以证明了.在此,我让学生把刚才的解决过程回忆了一下:答案是从几何直观得到的,而问题的严格证明是利用三角形的性质.一个看起来很难的问题,我们利用三角形的性质,很容易解决了.那椭圆中还有和三角形有关的量吗?“满足勾股定理”.这时,我指出椭圆的第一定义是与三角形有关的,而三个不变量也和三角形有关,这些都表明,椭圆与三角形有着密切关系,今天我们就一起来研究:“椭圆中的三角形问题”.指出课题之后,我又引领学生思考:课题中给出的研究范围太广了,我们很难下手研究,因此我们首先需要作的是把研究范围缩小,那我们从哪开始研究呢?有学生说:“我们就先研究和两个焦点有关的三角形呗”.这样,就让学生提出了第一步研究课题:与焦点三角形有关的问题.这个问题是想让学体会在研究数学问题的过程中,往往是从较特殊的情形入手,然后逐步深入.研究课题一:与焦点三角形有关的问题.这里,我们为了研究方便,把研究对象设为具体的椭圆.下面,我先给出了问题3:点P为椭圆上一个点,请同学说出图中三角形中的已知量.在学生答出后,我提出了第一个具体的研究任务:请同学根据图形,自己给添加一个条件,然后编写一道计算题.设计这个问题的目的是把学生推到前台,让他们自己成为课堂的主人,自己提问题,自己解决.任务提出后,同学们先是面面相觑,不知所措,稍后,便开始埋头演算起来.经过一段时间,有的同学写出了自己的问题,而还有一部分同学不知道如何提问,这时我才给出提示:我们是在考虑与三角形有关的问题,那么我们都关心三角形中的哪些量呢?又如何求能够得出得这些量呢?有了这个提示,大部分学生就知道如何添加一个具体的条件并提出问题了.我又让学生总结如何从整体上把握添加条件的思路:从平面几何的角度可以添加的条件有:边长,角的大小,面积;从解析几何的角度可以添加的条件有:点的坐标,直线方程,斜率等.在每个学生都提出问题后,为了鼓励学生,我让一名看起来动作慢一些的学生说出他所提的问题:然后让全班同学都来解答这个问题.他给出的问题是:,求的面积.同学给出了几种解法(这里只是给出思路,具体解答略):1.利用方程思想,求出的长度,进而求面积;2.利用方程思想,不求出的长度,而是采用整体求值的方法求出,从而求出的面积;3.求出点P的坐标,再求其面积.在解决这个问题的基础之上,我问:如果我们把的面积作为已知值,又可以求出哪些量呢?“的长度,点P坐标,的大小……”.“和三角形有关的量都可以求出”,一个学生回答.听到这个声音,我非常高兴,马上让学生思考问题4:为什么我们给添加一个条件后,就可以求出其它的量?设计这个问题的目的是对以上提出的各个问题从本质上加以认识.“现在在有三个量,我们就可以求出其它量”,一个学生说.“对,非常好,这就是这些问题的本质”,我说,“此时中有三个条件(两个与边有关的条件+添加条件),从而为一个可解三角形,因此我们可以求出其它量.下面,我又领着学生对刚才提出的问题和研究方法进行了小结,并且对方法进行小结小结:1.如何提出新的问题;2.在解决问题的过程中,我们既可以利用平面几何的知识,也可以利用解析几何的知识解决问题,这之中可以将数量关系与几何关系相互转化.以上是我们研究的是给定一个固定点P,也就是说我们刚才所作的是对静态的焦点三角形作了研究,如果让点P在椭圆上运动起来,又有哪些问题可以研究呢?提出我们的第二个研究任务:对动态焦点三角形的研究有了上面的经验,同学们很快从运动的角度提出了自己的问题:1.最值问题:面积的最大值是多少?的最大值是多少?2.与点P有关的点的轨迹问题:线段的中点轨迹,的重心轨迹的等.课上我引领着同学求出的最大值,其余问题让学生自己课下解决.做完这些之后,我让学生思考,我们还可以作哪些研究?有了第一,第二步的研究经验,马上有学生指出:“焦点三角形的相关问题我们提了很多,我们为什么不将研究对象改变一下呢?如研究顶点三角形,或一个顶点在焦点处,另外两个顶点在椭圆上等等”.此时的我,已经开始为学生的变化感到惊喜,也为他们的进步感到自豪.这之后,我没有让学生再提出具体的问题,而是让学生继续思考,从大的方面,我们还可以对哪些方面的问题作研究?学生中很快就有人提出,“椭圆中有很多问题与三角形有关,那双曲线中也应该有同样的问题呀”.还有的学生提出,“我们还可以把我们研究的对象范围扩大,如研究直线和椭圆的位置关系方面的问题”.至此,我想我的初衷已经达到了.下面我让学生对本节课进行了总结:1.从知识层面:椭圆可以由研究一个动点和两个定点之间距离的关系得到,当然也可以理解为从研究动态的三角形中得到.在解决椭圆中有关三角形时,可以从代数的角度,也可以从平面几何的角度思考.在这之中,还可以将二者进行有机的转化.此外,注意对问题的本质的认识.2.从研究方法:如何根据已有知