2025年高考数学一轮复习-9.2-二项式定理【导学案】

2025年高考数学一轮复习-9.2-二项式定理[考试要求]能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝___________________________(n∈N＊)；(2)通项公式：Tk＋1＝Cnkan－kbk，0≤k≤n，k，n∈Z，(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为Cn提醒：(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同，而且两个展开式的通项不同．2．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数____．(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项Cnn2取得最大值；当n是奇数时，中间的两项C(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为Cn[常用结论]1．Cn0+Cn2+Cn4＋2．Cn+1m一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)1Cnkan－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项． ()(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关． ()(4)通项Tk＋1＝Cnkan－kbk中的a和b不能互换．二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第三册P30例2改编)(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为()A．6 B．－6C．24 D．－242．(人教A版选择性必修第三册P34习题6.3T5(3)改编)2xA．－40 B．－40x2C．40 D．40x23．(人教A版选择性必修第三册P35习题6.3T8改编)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，那么此展开式中二项式系数最大的项为()A．252x3 B．210x4C．252x5 D．210x64．(人教A版选择性必修第三册P34习题6.3T2改编)(x＋1)5(x－2)的展开式中x2的系数为________．考点一二项展开式的通项公式的应用形如(a＋b)n的展开式问题[典例1](1)(2023·北京高考)2x−1x5A．－40B．40C．－80D．80(2)在二项式(2＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．[听课记录]形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题[典例2](1)(2024·广东佛山开学考试)在(x＋1)·(x－2)(x＋3)(x－4)(x＋5)的展开式中，含x3的项的系数是()A．－23 B．－3C．3 D．15(2)(2022·新高考Ⅰ卷)1−yx(x＋y)8的展开式中x2y[听课记录]形如(a＋b＋c)n的展开式问题[典例3](2024·河北沧州模拟)(x2－x＋y)5的展开式中x5y2的系数为()A．－10 B．10C．－30 D．30[听课记录]几种求展开式特定项的解法(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决或从组合角度求特定项．[跟进训练]1．(1)(2024·广东揭阳开学考试)已知(ax－2)(x＋1)4的展开式中x3的系数为－2，则实数a的值为()A．2 B．－1C．1 D．－2(2)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是()A．60 B．80C．84 D．120(3)(1＋2x－3x2)5的展开式中x5的系数为______________．考点二二项式系数与项的系数问题二项式系数和与系数和[典例4](1)(多选)已知(1－2x)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023，下列命题正确的是()A．展开式中所有项的二项式系数和为22023B．展开式中所有偶数项系数的和为3C．展开式中所有奇数项系数的和为3D．a12+a2(2)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．[听课记录]二项式系数的性质[典例5]若(mx－1)n(n∈N*)的展开式中，所有项的系数和与二项式系数和相等，且第6项的二项式系数最大，则有序实数对(m，n)共有________组不同的解．[听课记录]赋值法的应用(1)在二项式定理中，令a＝1，b＝x，得(1＋x)n＝Cn0＋Cn1x＋Cn2x2＋…＋Cnkx(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则①a0＋a1＋a2＋…＋an＝f(1)．②奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f1③偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f1提醒：①注意项的系数与二项式系数的区别；②理解奇数项与偶数项，奇次幂与偶次幂．[跟进训练]2．(1)(多选)在二项式x−A．常数项是15B．各项的系数和是64C．第4项的二项式系数最大D．奇数项的二项式系数和为－32(2)(2024·广东广州模拟)若(2x＋1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则a2＋a4＋a6＝________．考点三二项式定理的应用[典例6](1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512023＋a能被13整除，则a等于()A．0 B．1C．11 D．12(2)1.026的近似值(精确到0.01)为()A．1.12 B．1.13C．1.14 D．1.20[听课记录]二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.[跟进训练](2024·华中师大一附中模拟)组合数C34参考答案与解析[考试要求]能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋…＋Cnkan－kbk＋…＋Cnn(2)通项公式：Tk＋1＝Cnkan－kbk，0≤k≤n，k，n∈Z，它表示展开式的第k(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为Cn提醒：(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同，而且两个展开式的通项不同．2．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项Cnn2取得最大值；当n是奇数时，中间的两项C(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为Cn0+C[常用结论]1．Cn0+Cn2+Cn4＋2．Cn+1m一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)1Cnkan－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项． ()(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关． ()(4)通项Tk＋1＝Cnkan－kbk中的a和b不能互换．[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第三册P30例2改编)(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为()A．6 B．－6C．24 D．－24A[(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为C42＝2．(人教A版选择性必修第三册P34习题6.3T5(3)改编)2xA．－40 B．－40x2C．40 D．40x2B[2x−134x6的展开式的中间项为C63(2x3．(人教A版选择性必修第三册P35习题6.3T8改编)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，那么此展开式中二项式系数最大的项为()A．252x3 B．210x4C．252x5 D．210x6C[由题意可得，二项式的展开式满足Tk＋1＝Cnkxk，且有Cn3＝Cn7，因此n＝10.故二项式系数最大的项为C104．(人教A版选择性必修第三册P34习题6.3T2改编)(x＋1)5(x－2)的展开式中x2的系数为________．－15[(x＋1)5(x－2)＝x(x＋1)5－2(x＋1)5展开式中含有x2的项为5x2－20x2＝－15x2.故x2的系数为－15．]考点一二项展开式的通项公式的应用形如(a＋b)n的展开式问题[典例1](1)(2023·北京高考)2x−1x5A．－40B．40C．－80D．80(2)在二项式(2＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．(1)D(2)1625[(1)由二项式定理可知2x−1x5Tk＋1＝C5k(2x)5-k−1xk＝−1k25−kC5kx5-2k(k所以T3＝80x，故x的系数为80.故选D.(2)由题意，(2＋x)9的通项为Tk＋1＝C9k(2)9-kxk(k＝0，1，2，…，9)，当k＝0时，可得常数项为T1＝C90(2)9＝162；若展开式的系数为有理数，则k＝1，3，5，7，9，有T2，T4，T形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题[典例2](1)(2024·广东佛山开学考试)在(x＋1)·(x－2)(x＋3)(x－4)(x＋5)的展开式中，含x3的项的系数是()A．－23 B．－3C．3 D．15(2)(2022·新高考Ⅰ卷)1−yx(x＋y)8的展开式中x2y(1)A(2)－28[(1)由组合知识可知，含x3的求解，需要从5个因式中，3个因式选择x，2个因式选择常数，则含x3的项的系数是(－4)×5＋3×5＋3×(－4)＋(－2)×5＋(－2)×3＋(－2)×(－4)＋1×5＋1×(－4)＋1×3＋1×(－2)＝－23.故选A.(2)因为1−yx(x＋y)8＝(x＋y)8－yx(x＋y所以1−yx(x＋y)8的展开式中含x2y6的项为C86x2y6－yxC85x3所以1−yx(x＋y)8的展开式中x2y6形如(a＋b＋c)n的展开式问题[典例3](2024·河北沧州模拟)(x2－x＋y)5的展开式中x5y2的系数为()A．－10 B．10C．－30 D．30C[(x2－x＋y)5表示5个因式x2－x＋y的乘积，在这5个因式中，有2个因式选y，其余的3个因式中有2个选x2，剩下一个选－x，即可得到x5y2的系数，所以展开式中含x5y2的项为C52y2×C32(x2)2×(－x)＝－30x5y2几种求展开式特定项的解法(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决或从组合角度求特定项．[跟进训练]1．(1)(2024·广东揭阳开学考试)已知(ax－2)(x＋1)4的展开式中x3的系数为－2，则实数a的值为()A．2 B．－1C．1 D．－2(2)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是()A．60 B．80C．84 D．120(3)(1＋2x－3x2)5的展开式中x5的系数为______________．(1)C(2)D(3)92[(1)(x＋1)4的展开式中x2的系数为C42＝6，x3的系数为C41＝4，所以(ax－2)·(x＋1)4的展开式中x3的系数为6a－2×4＝6a－8，依题意得6a－8＝－2，得(2)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9＝1+x21−1+x所以x2的系数为C103＝12(3)法一：(1＋2x－3x2)5＝(1－x)5(1＋3x)5，所以x5的系数为C50C5535＋C51(－1)C5434＋C52(－1)2C5333＋C53(－1)3C5232＋C5法二：(1＋2x－3x2)5＝[(1＋2x)－3x2]5＝C50(1＋2x)5＋C51(1＋2x)4(－3x2)＋C52(1＋2x)3(－3x2)2＋C53(1＋2x)2(－3x2)3＋C54(1＋2x)(－3x2)所以x5的系数为C50C5525＋C51C43×23×(－3)考点二二项式系数与项的系数问题二项式系数和与系数和[典例4](1)(多选)已知(1－2x)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023，下列命题正确的是()A．展开式中所有项的二项式系数和为22023B．展开式中所有偶数项系数的和为3C．展开式中所有奇数项系数的和为3D．a12+a2(2)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．(1)ACD(2)－3或1[(1)由二项式知，C20230当x＝1时，有a0＋a1＋a2＋…＋a2023＝－1，当x＝－1时，有a0－a1＋a2－a3＋…＋a2022－a2023＝32023，由上可得a1＋a3＋a5＋…＋a2023＝−1−320232由上可得a0＋a2＋a4＋…＋a2022＝32023令x＝12可得a0＋a12+a又a0＝1，所以a12+a2(2)令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，∴m＝－3或m＝1．]二项式系数的性质[典例5]若(mx－1)n(n∈N*)的展开式中，所有项的系数和与二项式系数和相等，且第6项的二项式系数最大，则有序实数对(m，n)共有________组不同的解．4[根据二项式系数的性质知：由第6项的二项式系数最大知n的可能取值为9，10，11，令x＝1，有(m－1)n＝2n，当n＝9，11时，m＝3；当n＝10时，m＝3或－1，故有序实数对(m，n)共有4组不同的解，分别为(3，9)，(3，11)，(－1，10)，(3，10)．]赋值法的应用(1)在二项式定理中，令a＝1，b＝x，得(1＋x)n＝Cn0＋Cn1x＋Cn2x2＋…＋Cnkx(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则①a0＋a1＋a2＋…＋an＝f(1)．②奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f1③偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f1提醒：①注意项的系数与二项式系数的区别；②理解奇数项与偶数项，奇次幂与偶次幂．[跟进训练]2．(1)(多选)在二项式x−A．常数项是15B．各项的系数和是64C．第4项的二项式系数最大D．奇数项的二项式系数和为－32(2)(2024·广东广州模拟)若(2x＋1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则a2＋a4＋a6＝________．(1)AC(2)364[(1)二项式x−12x6的展开式通项为Tk＋1＝令3－32k＝0，可得k＝2，故常数项是C62·−12二项式展开式共7项，故第4项的二项式系数最大，C正确；奇数项的二项式系数和为25＝32，D错误．故选AC.(2)令x＝1得：a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝36＝729，令x＝－1得：a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝(－1)6＝1，两式相加，除以2，得：a0＋a2＋a4＋a6＝365，当x＝0时，a0＝1，所以a2＋a4＋a6＝364．]考点三二项式定理的应用[典例6](1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512023＋a能被13整除，则a等于()A．0 B．1C．11 D．12(2)1.026的近似值(精确到0.01)为()A．1.12 B．1.13C．1.14 D．1.20(1)B(2)B[(1)因为a∈Z，且0≤a≤13，所以512023＋a＝(52－1)2023＋a＝C20230522023－C20231522022＋C20232522C20232023＋a，因为512023＋a能被所以－C20232023＋a＝－1＋a能被13整除，所以a(2)1.026＝(1＋0.02)6＝1＋C61×0.02＋C62×0.022＋C63×0.023＋…＋0.026≈1＋0.12＋0二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.[跟进训练]3．(2024·华中师大一附中模拟)组合数C348[∵C340+C342+C344+…+C3434)＝C341+C343+C345+…+C3433，∴C课时分层作业(六十四)二项式定理一、单项选择题1．若x+1A．10B．20C．30D．120B[因为x+1xn展开式的二项式系数之和为2n＝64，所以n＝6，所以Tk＋1＝C6k·x6-k·1xk＝C6kx6-2k，当6－2k＝0，即当2．(2024·广东广州模拟)若(x＋2)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a4－a3＋a2－a1＋a0＝()A．1 B．－1C．15 D．－15A[由于(x＋2)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，故令x＝－1，可得a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－1＋2)4＝1.故选A.]3．(2024·四川成都模拟)已知(x－2y)n的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的x5y2项的系数为()A．4 B．84C．280 D．560B[因为(x－2y)n的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以Cn3＝Cn4又因为(x－2y)7的展开式的通项公式为Tk＋1＝(C7k)x7-k(－2令k＝2，所以展开式中的x5y2项的系数为C72(－2)2故选B.]4．(2024·浙江杭州模拟)在(x2＋x＋y)6的展开式中，x5y2的系数为()A．60 B．15C．120 D．30A[在(x2＋x＋y)6的展开式中，含y2的项为(C62)·(x2＋x)4故含x5y2的系数为C62故选A.]5．(2024·安徽宿州模拟)设(1＋2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a7＝a8，则n＝()A．8 B．9C．10 D．11D[已知(1＋2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a7＝a8，即Cn7·27＝Cn8即n！7！×化简可得2(n－7)＝8，解得n＝11.故选D.]6．(2024·湖南长沙一中模拟)若1+x136的展开式中共有A．1 B．2C．3 D．4C[因为1+x136展开式的通项公式为Tk＋1＝C6k·xk3＝C6k·xk3，k＝0，1，…，6，当且仅当k＝0，故选C.]7．在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为()A．－960 B．960C．1120 D．1680C[因为偶数项的二项式系数之和为2n－1＝128，所以n－1＝7，n＝8，则展开式共有9项，中间项为第5项，因为(1－2x)8的展开式的通项Tk＋1＝C8k(－2x)k＝C8k(－2)kxk，所以T5＝C84(－2)4x4，其系数为C84(－2)48．(x2－x＋1)(1＋x)9展开式中含x5的系数是()A．28 B．－28C．84 D．－84C[(1＋x)9展开式的通项为Tk＋1＝C9k·19-k·xk＝C9k·xk，当x2－x＋1选取x2时，由已知可得，应选取(1＋x)9展开式中含x3的项，由k＝3，可得T4＝C93·x3＝84x当x2－x＋1选取－x时，由已知可得，应选取(1＋x)9展开式中含x4的项，由k＝4，可得T5＝C94·x4＝126x当x2－x＋1选取1时，由已知可得，应选取(1＋x)9展开式中含x5的项，由k＝5，可得T6＝C95·x5＝126x所以(x2－x＋1)(1＋x)9展开式中含x5的系数是1×84－1×126＋1×126＝84.故选C.]9．(2023·山东德州三模)若(2x－3)12＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a11(x－1)11＋a12(x－1)12，则()A．a0＝－1B．a0－a1＋a2－a3＋…＋a10－a11＋a12＝－312C．a1＋a2＋…＋a12＝－2D．a12+a2D[令x＝1，可得a0＝1，A错误；令x＝0，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10－a11＋a12＝312，B错误；令x＝2，则a0＋a1＋a2＋…＋a12＝(4－3)12＝1，故a1＋a2＋…＋a12＝1－a0＝1－1＝0，C错误；令x＝32，则2×32−312＝a0＋a故a12+a222＋10．已知二项式(1＋2x)13的展开式中第k项系数最大，则(2＋x)k展开式的二项式系数和是()A．210 B．310C．29 D．39A[用Tk表示二项式(1＋2x)13中第k项系数，若二项式(1＋2x)13的展开式中第k项系数最大，则有Tk－1<Tk>Tk＋1，其中Tk＝C13k−12k-1，k∈N即C13k−12k因为k∈N*，所以k＝10，所以(2＋x)k展开式的二项式系数和为210.故选A.]二、多项选择题11．在2x−1A．常数项是1120B．第4项和第6项的系数相等C．各项的二项式系数之和为256D．各项的系数之和为256AC[根据二项式定理，2x−1x8的通项公式为Tk＋1＝C8k28-k(－1)常数项为C8424(－1)第4项的系数为C8328-3(－1)3＝－1792，第6项的系数为C852因为n＝8，所以各项的二项式系数之和为28＝256，C正确；令x＝1，各项的系数之和为1，故D错误．故选AC.]12．已知1+aA．a＝1B．展开式中常数项为160C．展开式系数的绝对值的和为1458D．展开式中含x2项的系数为240ACD[令x＝1，所以1+ax2x−1x6的展开式中各项系数的和为(1＋a)(2－1)6＝2，解得a＝1，故A正确；2x−1x6展开式通项为Tk＋1＝C6k(2x)6－k−1xk＝C6k(－1)k26