2025年高考数学一轮复习-8.3-圆的方程【导学案】

PAGE2025年高考数学一轮复习-8.3-圆的方程【课标解读】【课程标准】1.掌握圆的标准方程的特征,能根据所给条件求圆的标准方程.2.掌握圆的一般方程,能对圆的一般方程与标准方程进行互化,了解二元二次方程表示圆的条件.【核心素养】数学运算、逻辑推理.【命题说明】考向考法圆的方程高考一般不单独考查,它常与直线、平面向量及圆锥曲线相结合出现在选择题或填空题中.预测预计2025年高考圆的方程与平面向量、圆锥曲线交汇考查,三种题型都有可能出现.【必备知识·逐点夯实】知识梳理·归纳1.圆的定义与方程定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)圆心为(a,b)半径为r一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0充要条件:D2+E2-4F>0圆心坐标:(-D2,-E半径:r=1微点拨圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D,E,F为常数)具有以下特点:(1)x2,y2项的系数均为1;(2)没有xy项;(3)D2+E2-4F>0.2.点与圆的位置关系点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:(1)若M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2.(2)若M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=r2.(3)若M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2<r2.常用结论1.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.2.同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数.基础诊断·自测类型辨析改编易错高考题号12341.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)圆心位置和圆的半径确定,圆就唯一确定.(√)提示:(1)确定圆的几何要素就是圆心和半径,故(1)正确;(2)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆.(×)提示:(2)当m=0时,不表示圆,故(2)错误;(3)圆(x+1)2+(y-1)2=2的圆心坐标是(1,-1),半径长是2.(×)提示:(3)圆(x+1)2+(y-1)2=2的圆心坐标是(-1,1),半径长是2,故(3)错误;(4)点(0,0)在圆(x-1)2+(y-2)2=1外.(√)提示:(4)因为(0-1)2+(0-2)2>1,所以点(0,0)在圆(x-1)2+(y-2)2=1外,故(4)正确.2.(选择性必修第一册人AP88练习T1变形式)圆x2+y2-4x-1=0的圆心坐标及半径分别为()A.(2,0),5 B.(2,0),5C.(0,2),5 D.(2,2),5【解析】选B.依题意,圆x2+y2-4x-1=0转化为标准方程得(x-2)2+y2=5,所以圆心为(2,0),半径为5.3.(忽略D2+E2-4F>0)若点P(1,1)在圆C:x2+y2+x-y+k=0外,则实数k的取值范围是()A.(-2,+∞) B.[-2,-12C.(-2,12) D.【解析】选C.由题意得1+1+1-1+k>0,4.(2022·全国甲卷)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为____________.

【命题意图】本题主要考查求圆的标准方程的方法,关键是确定圆心和半径.【解析】因为点M在直线2x+y-1=0上,所以设点M为(a,1-2a),又因为点(3,0)和(0,1)均在☉M上,所以点M到两点的距离相等且为半径R,所以(a-3)2a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2,解得a=1,所以M(1,-1),R=5,☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.答案:(x-1)2+(y+1)2=5【核心考点·分类突破】考点一求圆的方程[例1](1)(一题多法)过点A(1,-1)与B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程为()A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4【解析】选C.方法一(待定系数法):设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),则(1-a)2+(-1-b)2方法二(几何法):圆心一定在AB的中垂线上,AB的中垂线方程为y=x.由y=x,x+所以圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.(2)(2022·全国乙卷)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为__________.

【命题意图】考查圆的一般方程,待定系数法.【解析】依题意设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,若过(0,0),(-1,1),(4,0),则F=016+4D+F=01+1-D+E+F即(x-2)2+(y-3)2=13;若过(0,0),(4,0),(4,2),则F=016+4D所以圆的方程为x2+y2-4x-2y=0,即(x-2)2+(y-1)2=5;若过(0,0),(-1,1),(4,2),则F=01+1-所以圆的方程为x2+y2-83x-143y=0,即(x-4若过(-1,1),(4,0),(4,2),则1+1-D+所以圆的方程为x2+y2-165x-2y-16即(x-85)2+(答案:(x-2)2+(y-3)2=13(或(x-2)2+(y-1)2=5或(x-43)2+(y-73)【误区警示】选取不共线的三点求解即可.若考虑三点共线,既耽误时间又无解.解题技法求圆的方程的两种方法几何法根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程待定系数法①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,求出a,b,r的值.②若已知条件中涉及圆上的点的坐标,常选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值提醒:解答圆的有关问题时,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质.对点训练1.(2024·许昌模拟)以点A(3,4)为圆心,且与y轴相切的圆的标准方程为()A.(x+3)2+(y-4)2=16B.(x-3)2+(y+4)2=16C.(x-3)2+(y-4)2=9D.(x-3)2+(y+4)2=9【解析】选C.以点A(3,4)为圆心,且与y轴相切的圆的半径为3,故圆的标准方程是(x-3)2+(y-4)2=9.2.(2024·茂名模拟)过四点(-1,1),(1,-1),(2,2),(3,1)中的三点的一个圆的方程为__________(写出一个即可).

【解析】过(-1,1),(1,-1),(3,1)时,设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则2-D+圆的方程是x2+y2-2x-2y-2=0,即(x-1)2+(y-1)2=4;同理可得:过(1,-1),(2,2),(3,1)时,圆的方程是(x-32)2+(y-12)2=过(-1,1),(1,-1),(2,2)时,圆的方程是(x-34)2+(y-34)2=过(-1,1),(2,2),(3,1)时,圆的方程是(x-1)2+y2=5.答案:(x-1)2+(y-1)2=4((x-1)2+(y-1)2=4,(x-32)2+(y-12)2=52,(x-34)2+(y-34)2=258,(x【加练备选】若圆C经过坐标原点,且圆心在直线y=-2x+3上运动,当半径最小时,圆的方程为__________.

【解析】设圆心坐标为(a,-2a+3),则圆的半径r=(a-0)2当a=65时,rmin=3故所求圆的方程为(x-65)答案:(x-65考点二与圆有关的轨迹问题教考衔接类题串串联题号类题说明(1)源自第89页综合运用·T8.此题为定义圆(2)源自第87页例5.此题为圆的伴生圆(3)源自第89页拓广探索·T9.此题为比例圆(阿氏圆)(4)源自第89页拓广探索·T10.此题为圆的参数方程[例2](1)长为2a的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,则线段AB的中点的轨迹方程为__________.

【解析】(1)如图,设线段AB的中点为M(x,y),点M运动时,它到原点O的距离为定长,即Rt△AOB的斜边上的中线长为定长.因为AB=2a,即点M∈M|OM=a,点M的轨迹方程为x2+y2答案:x2+y2=a2(2)已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,则线段AB的中点M的轨迹方程为__________________.

【解析】(2)如图,设点M的坐标是(x,y),点A的坐标是x0由于点B的坐标是(4,3),且M是线段AB的中点,所以x=x0+42,y于是有x0=2x-4,y0=2y-3,①因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,所以点A的坐标满足方程,即(x0+1)把①代入②,得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,整理,得x-322答案:x-32(3)已知动点M到两定点O(0,0),A(3,0)的距离比为12,则动点M的轨迹方程为__________【解析】(3)如图,设点M的坐标为(x,y),根据题设有M∈M|MO||MA化简,得点M的轨迹方程为x2+y2+2x-3=0.轨迹是圆心为-1,答案:x2+y2+2x-3=0(4)在平面直角坐标系中,如果点P的坐标(x,y)满足x=a+rcosθ,【解析】(4)由于点P的坐标(x,y)满足x=a+rcosθ,y=b+rsinθ,其中θ为参数,所以x-a=rcosθ,y-b=rsinθ,可得(x-a)2+(y-b)2=(rcos答案:(x-a)2+(y-b)2=r2解题技法求与圆有关轨迹问题的两种方法(1)直接法:当题目条件中含有与该点有关的等式时,可设出该点的坐标,用坐标表示等式,直接求解轨迹方程.(2)代入法:当题目条件中已知某动点的轨迹方程,而要求的点与该动点有关时,常找出要求的点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式求轨迹方程.对点训练(2024·宜昌模拟)已知定点M(1,0),N(2,0),动点P满足|PN|=2|PM|.(1)求动点P的轨迹C的方程;【解析】(1)设动点P的坐标为(x,y),因为M(1,0),N(2,0),且|PN|=2|PM|,所以(x-2)2+y2=2·所以动点P的轨迹C的方程为x2+y2=2.(2)已知点B(6,0),点A在轨迹C上运动,求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程.【解析】(2)设点Q的坐标为(m,n),点A的坐标为(xA,yA),因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点,所以AQ=2QB,即(m-xA,n-yA)=2(6-m,-n),解得xA=3m-12由(1)有(3m-12)2+(3n)2=2,化简得(m-4)2+n2=29即点Q的轨迹方程为(x-4)2+y2=29【加练备选】1.在平面直角坐标系xOy中,已知点A0,-2,若动点M满足MAMO=2,则点MA.x2+(y+2)2=22 B.x2+(y-2)2=22C.x2+(y+2)2=8 D.x2+(y-2)2=8【解析】选D.设M(x,y),因为MAMO=2,A(0,-2),所以x2+所以x2+(y+2)2=2(x2+y2),所以x2+(y-2)2=8为点M的轨迹方程.2.已知等腰三角形ABC的底边BC对应的顶点是A(4,2),底边的一个端点是B(3,5),则底边另一个端点C的轨迹方程是__________________________________.

【解析】设C(x,y).由题意知,|AB|=(3-4因为△ABC是以BC为底边的等腰三角形,所以|CA|=|AB|=10,即点C的轨迹是以点A为圆心,10为半径的圆.又点A,B,C构成三角形,所以三点不可共线,所以轨迹中需去掉点B(3,5)及点B关于点A对称的点(5,-1),所以点C的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3,5),(5,-1)两点).答案:(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3,5),(5,-1)两点)考点三圆的对称性问题[例3](1)(2022·北京高考)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a=()A.12 B.-12 C.1 D【命题意图】考查直线与圆的位置关系,基础题.【解析】选A.因为直线是圆的对称轴,所以直线过圆心.又因为圆心坐标为(a,0),所以由2a+0-1=0,解得a=12(2)(多选题)圆上的点(2,1)关于直线x+y=0的对称点仍在圆上,且圆的半径为5,则圆的方程可能是()A.x2+y2=5 B.(x-1)2+y2=5C.x2+(y+1)2=5 D.(x-1)2+(y+1)2=5【解析】选AD.因为圆上的点(2,1)关于直线x+y=0的对称点仍在这个圆上,所以圆心在直线x+y=0上,因此设圆心坐标为(a,-a),则由(2-a)2+(1+a)2=5,解得a=0或a=1.所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=5或x2+y2=5.解题技法圆的对称性的两点推广由于圆既是轴对称图形又是中心对称图形,因此过圆心的直线必定平分圆的周长,且圆上的点关于过圆心直线的对称点也在圆上.对点训练(多选题)关于圆(x-2)2+y2=5,下列说法正确的是()A.关于点(2,0)对称B.关于直线y=0对称C.关于直线x-y+2=0对称