2024届汕头市朝阳区中考一模数学试题含解析

2024学年汕头市朝阳区中考一模数学试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图所示，在△ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E

处，点B落在点D处，则BD两点间的距离为（）

A.2B.2夜C.710D.2非

2.方程x2-3x=0的根是（）

A.x^OB.x^3C.%=0,x,——3D.石=0,x2—3

3.分别写有数字0,-1,-2,1,3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是

（）

1234

A.-B.—C.—D.一

5555

4.已知：如图四边形OACB是菱形，OB在X轴的正半轴上，sinNAOB=4.反比例函数y三在第一象限图象经过点

13x

）

A,与BC交于点F.SAAOF=^»贝！Ik=（

A.15B.13C.12D.5

5.已知：如图，在扇形Q43中，ZAOB=110°,半径Q4=18,将扇形沿过点3的直线折叠，点。恰好落在

弧A6上的点。处，折痕交04于点C,则弧AO的长为（）

D

B

A.2兀B.37iC.4兀D.5兀

6.如图所示的几何体的俯视图是（）

C.D.

7.港珠澳大桥目前是全世界最长的跨海大桥，其主体工程“海中桥隧”全长35578米，数据35578用科学记数法表示为

()

A.35.578x103B.3.5578X104

C.3.5578X105D.0.35578x10s

8.下列计算正确的是（）

田=4

A.73+也=小B.712-A/3=A/3C.若x夜=6D.

V2

9.如图，直角三角形ABC中，ZC=90°,AC=2,AB=4,分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为

)

A.2?r-&B.TI+也C.n+2乖)D.2n-2也

10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”

其意思是“今有直角三角形（如图），勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内

切圆）直径是多少？”（）

A.3步B.5步C.6步D.8步

-x-6<l--x

11.对于不等式组<33,下列说法正确的是（)

3(%—1)<5x—1

A.此不等式组的正整数解为1,2,3

7

B.此不等式组的解集为-

6

C.此不等式组有5个整数解

D.此不等式组无解

12.如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“爱”字一面相对面上的字是（）

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如图，矩形中，5c=6,CZ>=3,以40为直径的半圆。与5c相切于点E,连接80则阴影部分的面积

为__（结果保留兀）

14.将直线y=x沿y轴向上平移2个单位长度后，所得直线的函数表达式为,这两条直线间的距离为

15.若正多边形的一个内角等于120。，则这个正多边形的边数是.

16.解不等式组2',则该不等式组的最大整数解是.

l-x<2

17.计算：^|（V12-727）=___.

18.菱形A3。中，？A60°，其周长为32,则菱形面积为.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）为了弘扬学生爱国主义精神，充分展现新时期青少年良好的思想道德素质和精神风貌，丰富学生的校园生

活，陶冶师生的情操，某校举办了“中国梦•爱国情•成才志”中华经典诗文诵读比赛.九⑴班通过内部初选，选出了丽

丽和张强两位同学，但学校规定每班只有1个名额，经过老师与同学们商量，用所学的概率知识设计摸球游戏决定谁

去，设计的游戏规则如下：在A、B两个不透明的箱子分别放入黄色和白色两种除颜色外均相同的球，其中A箱中放

置3个黄球和2个白球；B箱中放置1个黄球，3个白球，丽丽从A箱中摸一个球，张强从B箱摸一个球进行试验，

若两人摸出的两球都是黄色，则丽丽去；若两人摸出的两球都是白色，则张强去；若两人摸出球颜色不一样，则放回

重复以上动作，直到分出胜负为止.

根据以上规则回答下列问题：

⑴求一次性摸出一个黄球和一个白球的概率；

⑵判断该游戏是否公平？并说明理由.

20.（6分）如图，在R3ABC的顶点A、B在x轴上，点C在y轴上正半轴上，且

A（-l,0）,B（4,0）,ZACB=90°.

⑴求过A、B、C三点的抛物线解析式；

⑵设抛物线的对称轴1与BC边交于点D,若P是对称轴1上的点，且满足以P、C、D为顶点的三角形与AAOC相

似，求P点的坐标；

（3）在对称轴1和抛物线上是否分别存在点M、N,使得以A、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接

写出点M、点N的坐标；若不存在，请说明理由.

图1备用图

21.（6分）关于x的一元二次方程mx2+（3m-2）x-6=1.

⑴当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；

⑵当m为何整数时，此方程的两个根都为负整数.

22.（8分）一项工程，甲，乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲，乙两公司单独完成此

项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元.甲，乙两公司单

独完成此项工程，各需多少天？若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？

23.（8分）如图，点D为AABC边上一点，请用尺规过点D,作△ADE,使点E在AC上，且△ADE与△ABC相

似.（保留作图痕迹，不写作法，只作出符合条件的一个即可）

A

D«

BC

24.（10分）在某校举办的2012年秋季运动会结束之后，学校需要为参加运动会的同学们发纪念品.小王负责到

某商场买某种纪念品，该商场规定：一次性购买该纪念品200个以上可以按折扣价出售；购买200个以下（包括

200个）只能按原价出售.小王若按照原计划的数量购买纪念品，只能按原价付款，共需要1050元；若多买35个，

则按折扣价付款，恰好共需1050元.设小王按原计划购买纪念品x个.

（1）求x的范围；

（2）如果按原价购买5个纪念品与按打折价购买6个纪念品的钱数相同，那么小王原计划购买多少个纪念品？

Q

25.（10分）直线山=乙+方与反比例函数%=—（X〉。）的图象分别交于点AGn,4）和点3（n,2）,与坐标轴分别

x

交于点C和点O.

（1）求直线A5的解析式；

Q

（2）根据图象写出不等式区+5-9不的解集；

x

（3）若点尸是x轴上一动点，当△与AAOP相似时，求点尸的坐标.

26.（12分）为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品.若购进A种纪念品8件,

B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元.

（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？

（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于

7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？

（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一

种方案获利最大？最大利润是多少元？

27.（12分）如图，AB是。O的直径，点E是上的一点，ZDBC=ZBED.求证：BC是。O的切线；已知AD=3,

CD=2,求BC的长.

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、C

【解题分析】

解：连接50.在AA5C中，；NC=90。，AC=4,BC=3,.•.43=2....将△A5C绕点A逆时针旋转，使点C落在线段

AB上的点E处，点3落在点D处，...4^=4,DE=3,：.BE=2.在RtABED中，^BE?+DE1=A/12+32=痴.故

选C.

点睛:本题考查了勾股定理和旋转的基本性质，解决此类问题的关键是掌握旋转的基本性质，特别是线段之间的关系.题

目整体较为简单，适合随堂训练.

2、D

【解题分析】

先将方程左边提公因式x,解方程即可得答案.

【题目详解】

x2-3x=0,

x(x-3)=0,

xi=0,X2=3,

故选：D.

【题目点拨】

本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：配方法、直接开平方法、公式法、因式分解法等，熟练掌

握并灵活运用适当的方法是解题关键.

3、B

【解题分析】

试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生

2

的概率.因此，从0,-1,-2,1,3中任抽一张，那么抽到负数的概率是

故选B.

考点：概率.

4、A

【解题分析】

过点A作AM_Lx轴于点M,设OA=a,通过解直角三角形找出点A的坐标，再根据四边形OACB是菱形、点F在边

BC上，即可得出SAAOF=S菱形OBCA,结合菱形的面积公式即可得出a的值，进而依据点A的坐标得到k的值.

【题目详解】

过点A作AM_Lx轴于点M,如图所示.

在RtAOAM中,NAMO=90。，OA=a,sinNAOB",

73

AM=OA・sinNAOB=/2a,OM=5a,

TsT3

.,.点A的坐标为（2a,4a点

1313

•••四边形OACB是菱形，SAAOF=巧

2

/.7OBxAM=3S,

27

即,xax4a=39,

2J3

解得a=±@而a>0,

2

.*.a=@即A（5,6）,

22

・・,点A在反比例函数yf的图象上，

X

k=5x6=l.

2

故选A.

【解答】

解：

【点评】

本题考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用SAAOFWS菱彩OBCA.

2

5,D

【解题分析】

如图，连接OD.根据折叠的性质、圆的性质推知AODB是等边三角形，则易求NAOD=UOO-NDOB=50。；然后由弧

riTrr

长公式弧长的公式/=砧来求AD的长

180

【题目详解】

解：如图，连接OD.

解：如图，连接OD.

XVOD=OB,

.\OD=OB=DB,即△ODB是等边三角形,

/.ZDOB=60°.

VZAOB=110°,

:.ZAOD=ZAOB-ZDOB=50°,

,,位507rxi8

・・AD的长为一rTT—=5九

故选D.

【题目点拨】

本题考查了弧长的计算，翻折变换(折叠问题).折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不

变，位置变化，对应边和对应角相等.所以由折叠的性质推知AODB是等边三角形是解答此题的关键之处.

6、D

【解题分析】

找到从上面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在俯视图中.

【题目详解】

从上往下看，该几何体的俯视图与选项。所示视图一致.

故选D

【题目点拨】

本题考查了简单组合体三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图.

7、B

【解题分析】

科学计数法是ax10"，且14al<10,n为原数的整数位数减一.

【题目详解】

解:35578=3.5578x1()4,

故选B.

【题目点拨】

本题主要考查的是利用科学计数法表示较大的数，属于基础题型.理解科学计数法的表示方法是解题的关键.

8、B

【解题分析】

根据同类二次根式才能合并可对A进行判断；根据二次根式的乘法对B进行判断；先把g化为最简二次根式，然

后进行合并，即可对C进行判断；根据二次根式的除法对D进行判断.

【题目详解】

解：A、出与拒不能合并，所以A选项不正确；

B、屈-6=2&6,所以B选项正确；

C、=遥，所以C选项不正确；

A/8

、=瓜+肥=①母=所以选项不正确.

D正2+2,D

故选B.

【题目点拨】

此题考查二次根式的混合运算，注意先化简，再进一步利用计算公式和计算方法计算.

9、D

【解题分析】

分析：观察图形可知，阴影部分的面积=5半圆ACD+S半圆BCD-SAABC，然后根据扇形面积公式和三角形面积公式计算即

可.

详解：连接cn

,-,ZC=90°,AC=2,43=4,

,•.BC=742-22=2A/3.

.•.阴影部分的面积=S半圆ACD+s半圆BCD-SAABC

=:乃><12+；乃x（逐）-x2x25/3

一+女-2山

22

=27r-2^/3•

故选：D.

点睛：本题考查了勾股定理，圆的面积公式，三角形的面积公式及割补法求图形的面积，根据图形判断出阴影部分的

面积=S半圆ACD+S半圆BCD-SAABC是解答本题的关键.

10、C

【解题分析】

试题解析：根据勾股定理得：斜边为｛82+152=17,

则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径厂=3（步），即直径为6步，

2

故选C

11,A

【解题分析】

一x—6<1—77

解：<33解①得烂一，解②得所以不等式组的解集为-1〈烂一，所以不等式组的整数解

3(x-l)<5x-l(2)

为1,2,1.故选A.

点睛：本题考查了一元一次不等式组的整数解：利用数轴确定不等式组的解(整数解).解决此类问题的关键在于正确

解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而

求得不等式组的整数解.

12、D

【解题分析】

正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答.

【题目详解】

解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“爱”字一面相对面上的字是“阳”；

故本题答案为：D.

【题目点拨】

本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形是解题的关键.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

9

13、—Tt.

4

【解题分析】

如图，连接OE,利用切线的性质得OD=3,OE±BC,易得四边形OECD为正方形，先利用扇形面积公式，利用S正

方形OECD-S翻EOD计算由弧DE、线段EC、CD所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴

影部分的面积.

【题目详解】

连接OE,如图，

V以AD为直径的半圆0与BC相切于点E,

：.0D=CD=3,OE±BC,

二四边形OECD为正方形，

on.-T7-.329

二由弧OE、线段EC、CD所围成的面积=S正方形OECD-S^EOD—i1------------=971，

3604

1(9\9

.•.阴影部分的面积=7x3x6-9一；万=二万，

2(4)4

故答案为二9兄

4

【题目点拨】

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出

垂直关系.也考查了矩形的性质和扇形的面积公式.

14、y=x+lV2

【解题分析】

已知直线y=x沿y轴向上平移1个单位长度，根据一次函数图象的平移规律即可求得平移后的解析式为y=x+L再

利用等面积法求得这两条直线间的距离即可.

【题目详解】

•••直线y=x沿y轴向上平移1个单位长度，

二所得直线的函数关系式为：y=x+l.

AA(0,1),B(1,0),

，AB=10,

过点O作OFJ_AB于点F,

即这两条直线间的距离为J5.

故答案为y=x+l,y/2.

【题目点拨】

本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数丫=1«^^(k、b为常数，k#o)的图象为直线，当直线平移时k不

变，当向上平移m个单位，则平移后直线的解析式为y=kx+b+m.

15、6

【解题分析】

试题分析：设所求正n边形边数为n,则120。"(n-2).180°,解得n=6；

考点：多边形内角与外角.

16、x=l.

【解题分析】

先求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的解集，然后求其整数解.

【题目详解】

—1)41①，

1-%<2(2)

由不等式①得Xa,

由不等式②得x>-l,

其解集是-IVxWL

所以整数解为0,1,2,1,

则该不等式组的最大整数解是x=L

故答案为：x=l.

【题目点拨】

考查不等式组的解法及整数解的确定.求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中

间找，大大小小解不了.

17、-0

【解题分析】

根据二次根式的运算法则即可求出答案.

【题目详解】

原式=2后—30=-万

故答案为-夜.

【题目点拨】

本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型.

18、3273

【解题分析】

分析：根据菱形的性质易得AB=BC=CD=DA=8,AC1BD,OA=OC,OB=OD,再判定△ABD为等边三角形，根据

等边三角形的性质可得AB=BD=8,从而得OB=4,在RtAAOB中，根据勾股定理可得OA=46,继而求得

AC=2AO=8j^,再由菱形的面积公式即可求得菱形ABCD的面积.

详解：•••菱形ABC。中，其周长为32,

；.AB=BC=CD=DA=8,AC1BD,OA=OC,OB=OD,

VNA=60°，

/.△ABD为等边三角形，

；.AB=BD=8,

AOB=4,

在RSAOB中，OB=4,AB=8,

根据勾股定理可得OA=46,

.\AC=2AO=8V3，

菱形ABCD的面积为：|AC-BD=1X8V3X8=3273.

C

点睛：本题考查了菱形性质：1.菱形的四个边都相等；2.菱形对角线相互垂直平分，并且每一组对角线平分一组对角;

3.菱形面积公式=对角线乘积的一半.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、（1）工；（2）不公平，理由见解析.

20

【解题分析】

（1）画树状图列出所有等可能结果数，找到摸出一个黄球和一个白球的结果数，根据概率公式可得答案；

（2）结合（1）种树状图根据概率公式计算出两人获胜的概率，比较大小即可判断.

【题目详解】

⑴画树状图如下:

黄白白白黄白白白黄白白白黄白白白黄白白白

由树状图可知共有20种等可能结果，其中一次性摸出一个黄球和一个白球的有11种结果,

二一次性摸出一个黄球和一个白球的概率为□;

20

⑵不公平,

由⑴种树状图可知，丽丽去的概率为士，张强去的，概率为三=±,

202010

••工a

,2010，

...该游戏不公平.

【题目点拨】

本题考查了列表法与树状图法，解题的关键是根据题意画出树状图.

20、见解析

【解题分析】

分析：(1)根据Q4cs求出点c的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式.

⑵分两种情况进行讨论即可.

(3)存在.假设直线/上存在点M,抛物线上存在点N,使得以4、0、M,N为顶点的四边形为平行四边形.分当平行四

边形AOW是平行四边形时，当平行四边形AONM是平行四边形时，当四边形AMON为平行四边形时，三种情况

进行讨论.

详解：(1)易证Q4csOCB,得g，OC2=OAOB=4.

OCOB

：.OC=2,.\。(0,2),

••,抛物线过点4-1,0),5(4,0)

因此可设抛物线的解析式为y=«(x+l)(x-4),

将C点(0,2)代入得:—4a=2,即a=—,

2

1,3

•••抛物线的解析式为y=—5炉+5%+2.

(2)如图2,

3

当一CA。时，cq，/,则P1(：,2),

当goesCAO时，N£=NACO,

AOC//1,

OCOA2

•____________

,,P2HAH5'

5

：.PiH=-OC=5,

2

3

5)

因此尸点的坐标为(23,2)或(3L5).

22

(3)存在.

假设直线/上存在点抛物线上存在点N,使得以A、0、M.N为顶点的四边形为平行四边形.

如图3,

321121

当平行四边形是平行四边形时，M(~,—),

2o2o

321521

当平行四边形AONM是平行四边形时，M(-,—),M-,—),

2828

35

如图4,当四边形AMON为平行四边形时，MN与。4互相平分，此时可设M(—,m),则N(——，—m),

22

,/点N在抛物线y=-1（x+1）（%-4）上,

15539

-m=-一,（--1-1）（-一-4）="-.

2228

39

..m-——,

8

339539

此时M（一,—）,M--,--）.

2828

321121T321521T339539

综上所述，M(-,—）,N（一,一）或M（一,—）,）或M（一,一）,

282828282828

点睛：属于二次函数综合题，考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式等，注意分类讨论的思想

方法在数学中的应用.

21、⑴m^l且m彳-9;⑵m=-l或m=-2.

【解题分析】

(1)由方程有两个不相等的实数根，可得△>：!,列出关于m的不等式解之可得答案;

2

⑵解方程，得:X]=一,x,=-3,由m为整数，且方程的两个根均为负整数可得m的值.

m

【题目详解】

解:⑴△=b2-4ac=(3m-2)2+24m=(3m+2)2>1

2

•••当m丹且mr-1时,方程有两个不相等实数根.

2

⑵解方程，得:X]=—,X=-3,

m2

m为整数，且方程的两个根均为负整数，

m=-l或m=-2.

m=-l或m=-2时,此方程的两个根都为负整数

【题目点拨】

本题主要考查利用一元二次方程根的情况求参数.

22、解：(1)设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙公司单独完成此项工程需L5x天.

根据题意，得工+』=二，

x1.5x12

解得X=l.

经检验，X=1是方程的解且符合题意.

1.5x=2.

...甲，乙两公司单独完成此项工程，各需1天，2天.

(2)设甲公司每天的施工费为y元，则乙公司每天的施工费为(y-1500)元，

根据题意得12(y+y-1500)=10100解得y=5000,

甲公司单独完成此项工程所需的施工费：1x5000=100000(元)；

乙公司单独完成此项工程所需的施工费：2x(5000-1500)=105000(元)；

让一个公司单独完成这项工程，甲公司的施工费较少.

【解题分析】

(1)设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙工程公司单独完成需1.5x天，根据合作12天完成列出方程求解即可.

(2)分别求得两个公司施工所需费用后比较即可得到结论.

23、见解析

【解题分析】

以DA为边、点D为顶点在小ABC内部作一个角等于NB,角的另一边与AC的交点即为所求作的点.

【题目详解】

解：如图，点E即为所求作的点.

【题目点拨】

本题主要考查作图-相似变换，根据相似三角形的判定明确过点D作DE/7BC并熟练掌握做一个角等于已知角的作法

式解题的关键.

24、(1)0<x<200,且x是整数(2)175

【解题分析】

(1)根据商场的规定确定出x的范围即可；

(2)设小王原计划购买x个纪念品，根据按原价购买5个纪念品与按打折价购买6个纪念品的钱数相同列出分式方程,

求出解即可得到结果.

【题目详解】

(1)根据题意得：0<xW200,且x为整数;

(2)设小王原计划购买x个纪念品，

强x51050

根据题意得:x6,

xx+35

整理得：5x+175=6x,

解得：x=175,

经检验x=175是分式方程的解，且满足题意，

则小王原计划购买175个纪念品.

【题目点拨】

此题考查了分式方程的应用，弄清题中的等量关系“按原价购买5个纪念品与按打折价购买6个纪念品的钱数相同”

是解本题的关键.

25、(l)j=-x+6；(2)0<尤<2或x>4;(3)点尸的坐标为(2,0)或(-3,0).

【解题分析】

(1)将点A,B坐标代入双曲线中即可求出m，n,最后将点A,B坐标代入直线解析式中即可得出结论；

(2)根据点A,B坐标和图象即可得出结论；

(3)先求出点C,D坐标，进而求出CD,AD,设出点尸坐标，最后分两种情况利用相似三角形得出比例式建立方

程求解即可得出结论.

【题目详解】

Q

解：(1),•,点A(m,4)和点B(11,2)在反比例函数%=—(彳〉0)的图象上，

x

，8c8

：.4=一,2=一,

mn

解得m=2,n=,

即A(2,4),B(4,2)

2k+b=4

把A(2,4)，B(4,2)两点代入yl=kx+b中得

4k+b=2

fk=-l

解得：

b=6

所以直线AB的解析式为：y=-x+6；

Q

(2)由图象可得，当x>0时，kx+b——«。的解集为0VxV2或x>4.