2022届河南省安阳市洹北中学高三（最后冲刺）数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（）A． B．2 C．3 D．2．若函数在时取得极值，则（）A． B． C． D．3．第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务，要求每个人都要被派出去提供服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙恰好在同一组的概率是（）A． B． C． D．4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：，，，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（）A． B． C． D．5．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，这个数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫阶幻方．定义为阶幻方对角线上所有数的和，如，则（）A．55 B．500 C．505 D．50506．已知向量，，且与的夹角为，则（）A． B．1 C．或1 D．或97．我国古代数学名著《九章算术》有一问题：“今有鳖臑(biēnaò)，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广；高七尺.问积几何？”该几何体的三视图如图所示，则此几何体外接球的表面积为()A．平方尺 B．平方尺C．平方尺 D．平方尺8．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为()A． B．C． D．9．用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于的概率为（）A． B． C． D．10．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，若球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为（）A． B． C． D．11．若，则，，，的大小关系为（）A． B．C． D．12．已知双曲线的焦距为，过左焦点作斜率为1的直线交双曲线的右支于点，若线段的中点在圆上，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知a，b均为正数，且，的最小值为________.14．若复数满足，其中是虚数单位，是的共轭复数，则________.15．“”是“”的__________条件.（填写“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）16．已知向量，，则______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）2019年9月26日，携程网发布《2019国庆假期旅游出行趋势预测报告》，2018年国庆假日期间，西安共接待游客1692.56万人次，今年国庆有望超过2000万人次，成为西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司规定：若公司某位导游接待旅客，旅游年总收人不低于40(单位：万元)，则称该导游为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙家旅游公司各有导游40名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：分组频数（1）求的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高？（2）从甲、乙两家公司旅游总收人在(单位：万元)的导游中，随机抽取3人进行业务培训，设来自甲公司的人数为，求的分布列及数学期望.18．（12分）已知.（1）求的单调区间；（2）当时，求证：对于，恒成立；（3）若存在，使得当时，恒有成立，试求的取值范围.19．（12分）已知椭圆C的离心率为且经过点（1）求椭圆C的方程；（2）过点(0，2)的直线l与椭圆C交于不同两点A、B，以OA、OB为邻边的平行四边形OAMB的顶点M在椭圆C上，求直线l的方程.20．（12分）为了解网络外卖的发展情况，某调查机构从全国各城市中抽取了100个相同等级地城市，分别调查了甲乙两家网络外卖平台（以下简称外卖甲、外卖乙）在今年3月的订单情况，得到外卖甲该月订单的频率分布直方图，外卖乙该月订单的频数分布表，如下图表所示.订单：（单位：万件）频数1223订单：（单位：万件）频数402020102（1）现规定，月订单不低于13万件的城市为“业绩突出城市”，填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.业绩突出城市业绩不突出城市总计外卖甲外卖乙总计（2）由频率分布直方图可以认为，外卖甲今年3月在全国各城市的订单数（单位：万件）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表），的值已求出，约为3.64，现把频率视为概率，解决下列问题：①从全国各城市中随机抽取6个城市，记为外卖甲在今年3月订单数位于区间的城市个数，求的数学期望；②外卖甲决定在今年3月订单数低于7万件的城市开展“订外卖，抢红包”的营销活动来提升业绩，据统计，开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平，现从全国各月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样的方法选出100个城市不开展营销活动，若每按一件外卖订单平均可获纯利润5元，但每件外卖平均需送出红包2元，则外卖甲在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元？附：①参考公式：，其中.参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0012.7022.7063.8415.0246.63510.828②若，则，.21．（12分）设函数，（1）当，，求不等式的解集；（2）已知，，的最小值为1，求证：.22．（10分）如图1，在等腰中，，，分别为，的中点，为的中点，在线段上，且。将沿折起，使点到的位置（如图2所示），且。（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【解析】

由奇函数定义求出和．【详解】因为是定义在上的奇函数，.又当时，，.故选：A．【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．2．D【解析】

对函数求导，根据函数在时取得极值，得到，即可求出结果.【详解】因为，所以，又函数在时取得极值，所以，解得.故选D【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型.3．A【解析】

根据题意，五人分成四组，先求出两人组成一组的所有可能的分组种数，再将甲乙组成一组的情况，即可求出概率.【详解】五人分成四组，先选出两人组成一组，剩下的人各自成一组，所有可能的分组共有种，甲和乙分在同一组，则其余三人各自成一组，只有一种分法，与场地无关，故甲和乙恰好在同一组的概率是.故选：A.【点睛】本题考查组合的应用和概率的计算，属于基础题.4．B【解析】

先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事件的概率公式可求.【详解】解：不超过18的素数有2，3，5，7，11，13，17共7个，从中随机选取两个不同的数共有，其和等于16的结果，共2种等可能的结果，故概率.故选：B.【点睛】古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到，属于基础题.5．C【解析】

因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得，即得解.【详解】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，所以阶幻方对角线上数的和就等于每行（或每列）的数的和，又阶幻方有行（或列），因此，，于是．故选：C【点睛】本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.6．C【解析】

由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求的值.【详解】解：由题意可得，求得，或，故选：C.【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题．7．A【解析】

根据三视图得出原几何体的立体图是一个三棱锥，将三棱锥补充成一个长方体，此长方体的外接球就是该三棱锥的外接球，由球的表面积公式计算可得选项.【详解】由三视图可得，该几何体是一个如图所示的三棱锥，为三棱锥外接球的球心，此三棱锥的外接球也是此三棱锥所在的长方体的外接球，所以为的中点，设球半径为，则,所以外接球的表面积，故选：A．【点睛】本题考查求几何体的外接球的表面积，关键在于由几何体的三视图得出几何体的立体图，找出外接球的球心位置和半径，属于中档题.8．A【解析】

由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球球心的位置，求出半径，代入求得表面积公式计算．【详解】由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为2，底面为等腰直角三角形，斜边长为，如图：的外接圆的圆心为斜边的中点，，且平面，，的中点为外接球的球心，半径，外接球表面积．故选：A【点睛】本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征，利用几何体的结构特征与数据求得外接球的半径是解答本题的关键．9．C【解析】

由几何概型的概率计算，知每次生成一个实数小于1的概率为，结合独立事件发生的概率计算即可.【详解】∵每次生成一个实数小于1的概率为.∴这3个实数都小于1的概率为.故选：C.【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，考查学生基本的计算能力，是一道容易题.10．B【解析】

由题意画出图形，设球0得半径为R，AB=x,AC=y,由球0的表面积为20π，可得R2=5，再求出三角形ABC外接圆的半径,利用余弦定理及基本不等式求xy的最大值，代入棱锥体积公式得答案.【详解】设球的半径为，，，由，得．如图：设三角形的外心为，连接，，，可得，则．在中，由正弦定理可得：，即，由余弦定理可得，，．则三棱锥的体积的最大值为．故选：．【点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、体积，基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．11．D【解析】因为，所以，因为，，所以,.综上；故选D.12．C【解析】

设线段的中点为，判断出点的位置，结合双曲线的定义，求得双曲线的离心率.【详解】设线段的中点为，由于直线的斜率是，而圆，所以.由于是线段的中点，所以，而，根据双曲线的定义可知，即，即.故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

本题首先可以根据将化简为，然后根据基本不等式即可求出最小值.【详解】因为，所以，当且仅当，即、时取等号，故答案为：.【点睛】本题考查根据基本不等式求最值，基本不等式公式为，在使用基本不等式的时候要注意“”成立的情况，考查化归与转化思想，是中档题.14．【解析】

设，代入已知条件进行化简，根据复数相等的条件，求得的值.【详解】设，由，得，所以，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查共轭复数，考查复数相等的条件，属于基础题.15．充分不必要【解析】

由余弦的二倍角公式可得,即或,即可判断命题的关系.【详解】由,所以或,所以“”是“”的充分不必要条件.故答案为:充分不必要【点睛】本题考查命题的充分条件与必要条件的判断,考查余弦的二倍角公式的应用.16．【解析】

求出，然后由模的平方转化为向量的平方，利用数量积的运算计算．【详解】由题意得，.，.，，.故答案为：．【点睛】本题考查求向量的模，掌握数量积的定义与运算律是解题基础．本题关键是用数量积的定义把模的运算转化为数量积的运算．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1），乙公司影响度高；（2）见解析，【解析】

（1）利用各小矩形的面积和等于1可得a，由导游人数为40人可得b，再由总收人不低于40可计算出优秀率；（2）易得总收入在中甲公司有4人，乙公司有2人，则甲公司的人数的值可能为1，2，3，再计算出相应取值的概率即可.【详解】（1）由直方图知，，解得，由频数分布表中知：，解得.所以，甲公司的导游优秀率为：，乙公司的导游优秀率为：，由于，所以乙公司影响度高.（2）甲公司旅游总收入在中的有人，乙公司旅游总收入在中的有2人，故的可能取值为1，2，3，易知：，;.所以的分布列为：123P.【点睛】本题考查频率分布直方图、随机变量的分布列与期望，考查学生数据处理与数学运算的能力，是一道中档题.18．（1）单调减区间为，单调增区间为；（2）详见解析；（3）.【解析】

试题分析：（1）对函数求导后，利用导数和单调性的关系，可求得函数的单调区间.（2）构造函数，利用导数求得函数在上递减，且，则，故原不等式成立.（3）同（2）构造函数，对分成三类，讨论函数的单调性、极值和最值，由此求得的取值范围.试题解析：（1），当时，.解得．当时，解得．所以单调减区间为，单调增区间为．（2）设，当时，由题意，当时，恒成立．，∴当时，恒成立，单调递减．又，∴当时，恒成立，即．∴对于，恒成立．（3）因为．由（2）知，当时，恒成立，即对于，，不存在满足条件的；当时，对于，，此时．∴，即恒成立，不存在满足条件的；当时，令，可知与符号相同，当时，，，单调递减．∴当时，，即恒成立．综上，的取值范围为．点睛：本题主要考查导数和单调区间，导数与不等式的证明，导数与恒成立问题的求解方法.第一问求函数的单调区间，这是导数问题的基本题型，也是基本功，先求定义域，然后求导，要注意通分和因式分解.二、三两问一个是恒成立问题，一个是存在性问题，要注意取值是最大值还是最小值.19．（1）（2）【解析】

（1）根据椭圆的离心率、椭圆上点的坐标以及列方程，由此求得，进而求得椭圆的方程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理.根据平行四边形的性质以及向量加法的几何意义得到，由此求得点的坐标，将的坐标代入椭圆方程，化简后可求得直线的斜率，由此求得直线的方程.【详解】（1）由椭圆的离心率为，点在椭圆上，所以，且解得，所以椭圆的方程为．（2）显然直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，设，由消去得，所以，由已知得，所以，由于点都在椭圆上，所以，展开有，又，所以，经检验满足，故直线的方程为.【点睛】本小题主要考查根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标求椭圆方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.20．（1）见解析，有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.（2）①4.911②100万元.【解析】

（1）根据频率分布直方图与频率分布表，易得两个外卖平台中月订单不低于13万件的城市数量，即可完善列联表.通过计算的观测值，即可结合临界值作出判断.（2）①先根据所给数据求得样本平均值，根据所给今年3月订单数区间，并由及求得，.结合正态分布曲线性质可求得，再由二项分布的数学期望求法求解.②订单数低于7万件的城市有和两组，根据分层抽样的性质可确定各组抽取样本数.分别计算出开展营销活动与不开展营销活动的利润，比较即可得解.【详解】（1）对于外卖甲：月订单不低于13万件的城市数量为，对于外卖乙：月订单不低于13万件的城市数量为.由以上数据完善列联表如下图，业绩突出城市业绩不突出城市总计外卖甲4060100外卖乙5248100总计92108200且的观测值为，∴有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.（2）①样本平均数，故==，，的数学期望，②由分层抽样知，则100个城市中每月订单数在区间内的有（个），每月订单数