北师大新版八级上册《第1章勾股定理》单元测试卷3含答案解析

北师大新版八年级数学上册《第1章勾股定理》2015年单元测试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．如图，阴影部分是一个矩形，它的面积是()A．5cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．6cm22．如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为()A．2 B．3 C．4 D．53．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是()A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形4．已知直角三角形的斜边长为10，两直角边的比为3：4，则较短直角边的长为()A．3 B．6 C．8 D．55．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是()A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3C．a2=c2﹣b2 D．a：b：c=3：4：66．若直角三角形的三边长为6，8，m，则m2的值为()A．10 B．100 C．28 D．100或287．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到斜边AB的距离是()A． B． C．9 D．68．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以AC为直径的圆恰好过点B，AB=8，BC=6，则阴影部分的面积是()A．1OOπ﹣24 B．1OOπ﹣48 C．25π﹣24 D．25π﹣489．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为()A．2 B．4 C．8 D．1610．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为()A．90 B．100 C．110 D．121二、填空题（每小题4分，共20分）11．如图字母B所代表的正方形的面积是：__________．12．等腰△ABC的腰长AB为10cm，底边BC为16cm，则底边上的高为__________．13．一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以30km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距__________km．14．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是__________．15．如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为__________cm．三、解答题（共50分）16．如图所示，∠B=∠OAF=90°，BO=3cm，AB=4cm，AF=12cm，求图中半圆的面积．17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，在△ABE中，DE是AB边上的高，DE=12，S△ABE=60，求BC的长．18．如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．19．如图，一艘货轮在B处向正东方向航行，船速为25nmile/h，此时，一艘快艇在B的正南方向120nmile的A处，以65nmile/h的速度要将一批货物送到货轮上，问快艇最快需要多少时间？20．如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E．（1）试判断△BDE的形状，并说明理由；（2）若AB=4，AD=8，求△BDE的面积．21．如图，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．（1）如图1，试说明BE2+CF2=EF2；（2）如图2，若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面积．北师大新版八年级数学上册《第1章勾股定理》2015年单元测试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．如图，阴影部分是一个矩形，它的面积是()A．5cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．6cm2【考点】几何体的表面积；勾股定理．【分析】根据勾股定理先求出斜边的长度，再根据长方形的面积公式求出带阴影的矩形面积．【解答】解：∵=5厘米，∴带阴影的矩形面积=5×1=5平方厘米．故选A．【点评】本题考查了勾股定理和长方形的面积公式．2．如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为()A．2 B．3 C．4 D．5【考点】算术平方根．【分析】根据勾股定理，可得AC的长，再根据乘方运算，可得答案．【解答】解：由勾股定理，得AC=，乘方，得（）2=2，故选：A．【点评】本题考查了算术平方根，先求出AC的长，再求出正方形的面积．3．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是()A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形【考点】勾股定理的逆定理．【分析】对等式进行整理，再判断其形状．【解答】解：化简（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形，故选：C．【点评】本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定．4．已知直角三角形的斜边长为10，两直角边的比为3：4，则较短直角边的长为()A．3 B．6 C．8 D．5【考点】勾股定理．【分析】根据两边的比值设出未知数列出方程组解之即可．【解答】解：设两直角边分别为3x，4x．由勾股定理得（3x）2+（4x）2=100．解得x=2．则3x=3×2=6，4x=4×2=8．∴直角三角形的两直角边的长分别为6，8．较短直角边的长为6．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的应用．勾股定理：在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方．5．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是()A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3C．a2=c2﹣b2 D．a：b：c=3：4：6【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．【解答】解：A、∠A+∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；B、∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；C、由a2=c2﹣b2，得a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．故选D．【点评】本题考查了直角三角形的判定，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．6．若直角三角形的三边长为6，8，m，则m2的值为()A．10 B．100 C．28 D．100或28【考点】勾股定理．【专题】分类讨论．【分析】分情况考虑：当8是直角边时，根据勾股定理求得m2=62+82；当较大的数8是斜边时，根据勾股定理求得m2=82﹣62．【解答】解：①当边长为8的边是直角边时，m2=62+82=100；②当边长为8的边是斜边时，m2=82﹣62=28；综上所述，则m2的值为100或28．故选：D．【点评】本题利用了勾股定理求解，解答本题的关键是注意要分边长为8的边是否为斜边来讨论．7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到斜边AB的距离是()A． B． C．9 D．6【考点】勾股定理．【分析】设点C到斜边AB的距离是h，根据勾股定理求出AB的长，再根据三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：设点C到斜边AB的距离是h，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，∴AB==15，∴h==．故选A．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．8．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以AC为直径的圆恰好过点B，AB=8，BC=6，则阴影部分的面积是()A．1OOπ﹣24 B．1OOπ﹣48 C．25π﹣24 D．25π﹣48【考点】勾股定理．【专题】计算题．【分析】先根据勾股定理求出AC的长，进而可得出以AC为直径的圆的面积，再根据S阴影=S圆﹣S△ABC即可得出结论．【解答】解：∵Rt△ABC中∠B=90°，AB=8，BC=6，∴AC===10，∴AC为直径的圆的半径为5，∴S阴影=S圆﹣S△ABC=25π﹣×6×8=25π﹣24．故选C．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．9．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为()A．2 B．4 C．8 D．16【考点】勾股定理．【专题】规律型．【分析】根据题意可知第一个正方形的面积是64，则第二个正方形的面积是32，…，进而可找出规律得出第n个正方形的面积，即可得出结果．【解答】解：第一个正方形的面积是64；第二个正方形的面积是32；第三个正方形的面积是16；…第n个正方形的面积是，∴正方形⑤的面积是4．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．解题的关键是找出第n个正方形的面积．10．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为()A．90 B．100 C．110 D．121【考点】勾股定理的证明．【专题】常规题型；压轴题．【分析】延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，所以四边形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7，所以KL=3+7=10，LM=4+7=11，因此矩形KLMJ的面积为10×11=110．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键．二、填空题（每小题4分，共20分）11．如图字母B所代表的正方形的面积是：144．【考点】勾股定理．【分析】在本题中，外围正方形的面积就是斜边和一直角边的平方，实际上是求另一直角边的平方，用勾股定理即可解答．【解答】解：如图，根据勾股定理我们可以得出：a2+b2=c2a2=25，c2=169b2=169﹣25=144因此B的面积是144．故答案为：144．【点评】本题主要考查了正方形的面积公式和勾股定理的应用．只要搞清楚直角三角形的斜边和直角边本题就容易多了．12．等腰△ABC的腰长AB为10cm，底边BC为16cm，则底边上的高为6cm．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【专题】计算题．【分析】根据题意画出图形，利用三线合一得到BD的长，在直角三角形ABD中，利用勾股定理即可求出AD的长．【解答】解：如图所示，∵AB=AC=10cm，AD⊥BC，∴BD=CD=BC=8cm，在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD==6cm．故答案为：6cm【点评】此题考查了勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．13．一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以30km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距17km．【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意，画出图形，且东北和东南的夹角为90°，根据题目中给出的半小时后和速度可以计算AC，BC的长度，在直角△ABC中，已知AC，BC可以求得AB的长．【解答】解：作出图形，因为东北和东南的夹角为90°，所以△ABC为直角三角形．在Rt△ABC中，AC=16×0.5km=8km，BC=30×0.5km=15km．则AB=km=17km故答案为17．【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中确定△ABC为直角三角形，并且根据勾股定理计算AB是解题的关键．14．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是12≤a≤13．【考点】勾股定理的应用．【分析】如图，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分a最短，此时a就是圆柱形的高；当吸管底部在A点时吸管在罐内部分a最长，此时a可以利用勾股定理在Rt△ABO中即可求出．【解答】解：如图，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分a最短，此时a就是圆柱形的高，即a=12；当吸管底部在A点时吸管在罐内部分a最长，即线段AB的长，在Rt△ABO中，AB===13，∴此时a=13，所以12≤a≤13．故答案为：12≤a≤13．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键．15．如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为13cm．【考点】平面展开-最短路径问题．【专题】几何图形问题；压轴题．【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：∵PA=2×（4+2）=12，QA=5∴PQ=13．故答案为：13．【点评】本题主要考查两点之间线段最短，以及如何把立体图形转化成平面图形．三、解答题（共50分）16．如图所示，∠B=∠OAF=90°，BO=3cm，AB=4cm，AF=12cm，求图中半圆的面积．【考点】勾股定理．【分析】首先，在直角△ABO中，利用勾股定理求得AO=5cm；然后在直角△AFO中，由勾股定理求得斜边FO的长度；最后根据圆形的面积公式进行解答．【解答】解：如图，∵在直角△ABO中，∠B=90°，BO=3cm，AB=4cm，∴AO==5cm．则在直角△AFO中，由勾股定理得到：FO==13cm，∴图中半圆的面积=π×（）2=π×=（cm2）．答：图中半圆的面积是cm2．【点评】本题考查了勾股定理和圆的面积的计算．注意，勾股定理应用于直角三角形中．17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，在△ABE中，DE是AB边上的高，DE=12，S△ABE=60，求BC的长．【考点】勾股定理；三角形的面积．【分析】利用面积法求得斜边AB的长度，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理来求线段BC的长度．【解答】解：如图，∵在△ABE中，DE是AB边上的高，DE=12，S△ABE=60，∴AB•ED=60，即AB×12=60，解得AB=10．又∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∴BC===6．答：线段BC的长度是6．【点评】本题考查了勾股定理、三角形的面积．注意，勾股定理应用于直角三角形中．18．如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．【考点】勾股定理的应用；三角形的面积；勾股定理的逆定理．【专题】应用题．【分析】连接AC，运用勾股定理逆定理可证△ACD，△ABC为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积差．【解答】解：连接AC，则在Rt△ADC中，AC2=CD2+AD2=122+92=225，∴AC=15，在△ABC中，AB2=1521，AC2+BC2=152+362=1521，∴AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°，∴S△ABC﹣S△ACD=AC•BC﹣AD•CD=×15×36﹣×12×9=270﹣54=216．答：这块地的面积是216平方米．【点评】解答此题的关键是通过作辅助线使图形转化成特殊的三角形，可使复杂的求解过程变得简单．19．如图，一艘货轮在B处向正东方向航行，船速为25nmile/h，此时，一艘快艇在B的正南方向120nmile的A处，以65nmile/h的速度要将一批货物送到货轮上，问快艇最快需要多少时间？【考点】勾股定理的应用．【分析】先设快艇最快需要x小时，根据勾股定理列出方程，求出方程的解即可．【解答】解：设快艇最快需要x小时，由题意得，（25x）2+1202=（65x）2解得：x=2或x=﹣2（舍去）．答：快艇最快需要2小时．【点评】本题考查了一元二次方程及勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形，根据勾股定理列出方程．20．如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E．（1）试判断△BDE的形状，并说明理由；（2）若AB=4，AD=8，求△BDE的面积．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）由折叠可知，∠CBD=∠EBD，再由AD∥BC，得到∠CBD=∠EDB，即可得到∠EBD=∠EDB，于是得到BE=DE，等腰三角形即可证明；（2）设DE=x，则BE=x，AE=8﹣x，在Rt△ABE中，由勾股定理求出x的值，再由三角形的面积公式求出面积的值．【解答】解：（1）△BDE是等腰三角形．由折叠可知，∠CBD=∠EBD，∵AD∥BC，∴∠CBD=∠EDB，∴∠EBD=∠EDB，∴BE=DE，即△BDE是等腰三角形；（2）设DE=x，则BE=x，AE=8﹣x，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2即42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，所以S△BDE=D