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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,,若总有恒成立.记的最小值为,则的最大值为()A.1 B. C. D.2.甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数;②甲同学的平均分比乙同学的平均分高;③甲同学的平均分比乙同学的平均分低;④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.以上说法正确的是()A.③④ B.①② C.②④ D.①③④3.为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识,驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗,协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗,每个路口至少一人,且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A.12种 B.24种 C.36种 D.48种4.设,其中a,b是实数,则()A.1 B.2 C. D.5.将一块边长为的正方形薄铁皮按如图(1)所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,将该容器按如图(2)放置,若其正视图为等腰直角三角形,且该容器的容积为,则的值为()A.6 B.8 C.10 D.126.已知等差数列中,,,则数列的前10项和()A.100 B.210 C.380 D.4007.已知集合,B={y∈N|y=x﹣1,x∈A},则A∪B=()A.{﹣1,0,1,2,3} B.{﹣1,0,1,2} C.{0,1,2} D.{x﹣1≤x≤2}8.已知直线:过双曲线的一个焦点且与其中一条渐近线平行,则双曲线的方程为()A. B. C. D.9.关于函数,有下列三个结论:①是的一个周期;②在上单调递增;③的值域为.则上述结论中,正确的个数为()A. B. C. D.10.已知,,,,则()A. B. C. D.11.若复数()是纯虚数,则复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.如图,点E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点,点F,M分别在线段AC,BD1(不包含端点)上运动,则()A.在点F的运动过程中,存在EF//BC1B.在点M的运动过程中,不存在B1M⊥AEC.四面体EMAC的体积为定值D.四面体FA1C1B的体积不为定值二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在数列中,,,曲线在点处的切线经过点,下列四个结论:①;②;③;④数列是等比数列;其中所有正确结论的编号是______.14.已知平面向量、的夹角为,且,则的最大值是_____.15.曲线在点处的切线方程为________.16.在四面体中,与都是边长为2的等边三角形,且平面平面,则该四面体外接球的体积为_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)平面直角坐标系中,曲线:.直线经过点,且倾斜角为,以为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系.(1)写出曲线的极坐标方程与直线的参数方程;(2)若直线与曲线相交于,两点,且,求实数的值.18.(12分)已知函数.(1)若,求的取值范围;(2)若,对,不等式恒成立,求的取值范围.19.(12分)已知,,函数的最小值为.(1)求证:;(2)若恒成立,求实数的最大值.20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为.(1)求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程;(2)直线l与圆C交于A,B两点,点P(2,1),求|PA|⋅|PB|的值.21.(12分)如图,四棱锥中,底面为直角梯形,,,,,在锐角中,E是边PD上一点,且.(1)求证:平面ACE;(2)当PA的长为何值时,AC与平面PCD所成的角为?22.(10分)如图1,在等腰梯形中,两腰,底边,,,是的三等分点,是的中点.分别沿,将四边形和折起,使,重合于点,得到如图2所示的几何体.在图2中,,分别为,的中点.(1)证明:平面.(2)求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
根据总有恒成立可构造函数,求导后分情况讨论的最大值可得最大值最大值,即.根据题意化简可得,求得,再换元求导分析最大值即可.【详解】由题,总有即恒成立.设,则的最大值小于等于0.又,若则,在上单调递增,无最大值.若,则当时,,在上单调递减,当时,,在上单调递增.故在处取得最大值.故,化简得.故,令,可令,故,当时,,在递减;当时,,在递增.故在处取得极大值,为.故的最大值为.故选:C【点睛】本题主要考查了根据导数求解函数的最值问题,需要根据题意分析导数中参数的范围,再分析函数的最值,进而求导构造函数求解的最大值.属于难题.2.A【解析】
由茎叶图中数据可求得中位数和平均数,即可判断①②③,再根据数据集中程度判断④.【详解】由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为,乙同学成绩的中位数为,故①错误;,,则,故②错误,③正确;显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故④正确,故选:A【点睛】本题考查由茎叶图分析数据特征,考查由茎叶图求中位数、平均数.3.C【解析】
先将甲、乙两人看作一个整体,当作一个元素,再将这四个元素分成3个部分,每一个部分至少一个,再将这3部分分配到3个不同的路口,根据分步计数原理可得选项.【详解】把甲、乙两名交警看作一个整体,个人变成了4个元素,再把这4个元素分成3部分,每部分至少有1个人,共有种方法,再把这3部分分到3个不同的路口,有种方法,由分步计数原理,共有种方案。故选:C.【点睛】本题主要考查排列与组合,常常运用捆绑法,插空法,先分组后分配等一些基本思想和方法解决问题,属于中档题.4.D【解析】
根据复数相等,可得,然后根据复数模的计算,可得结果.【详解】由题可知:,即,所以则故选:D【点睛】本题考查复数模的计算,考验计算,属基础题.5.D【解析】
推导出,且,,,设中点为,则平面,由此能表示出该容器的体积,从而求出参数的值.【详解】解:如图(4),为该四棱锥的正视图,由图(3)可知,,且,由为等腰直角三角形可知,,设中点为,则平面,∴,∴,解得.故选:D【点睛】本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用,属于中档题.6.B【解析】
设公差为,由已知可得,进而求出的通项公式,即可求解.【详解】设公差为,,,,.故选:B.【点睛】本题考查等差数列的基本量计算以及前项和,属于基础题.7.A【解析】
解出集合A和B即可求得两个集合的并集.【详解】∵集合{x∈Z|﹣2<x≤3}={﹣1,0,1,2,3},B={y∈N|y=x﹣1,x∈A}={﹣2,﹣1,0,1,2},∴A∪B={﹣2,﹣1,0,1,2,3}.故选:A.【点睛】此题考查求集合的并集,关键在于准确求解不等式,根据描述法表示的集合,准确写出集合中的元素.8.A【解析】
根据直线:过双曲线的一个焦点,得,又和其中一条渐近线平行,得到,再求双曲线方程.【详解】因为直线:过双曲线的一个焦点,所以,所以,又和其中一条渐近线平行,所以,所以,,所以双曲线方程为.故选:A.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质,还考查了运算求解的能力,属于基础题.9.B【解析】
利用三角函数的性质,逐个判断即可求出.【详解】①因为,所以是的一个周期,①正确;②因为,,所以在上不单调递增,②错误;③因为,所以是偶函数,又是的一个周期,所以可以只考虑时,的值域.当时,,在上单调递增,所以,的值域为,③错误;综上,正确的个数只有一个,故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的性质应用.10.D【解析】
令,求,利用导数判断函数为单调递增,从而可得,设,利用导数证出为单调递减函数,从而证出,即可得到答案.【详解】时,令,求导,,故单调递增:∴,当,设,,又,,即,故.故选:D【点睛】本题考查了作差法比较大小,考查了构造函数法,利用导数判断式子的大小,属于中档题.11.B【解析】
化简复数,由它是纯虚数,求得,从而确定对应的点的坐标.【详解】是纯虚数,则,,,对应点为,在第二象限.故选:B.【点睛】本题考查复数的除法运算,考查复数的概念与几何意义.本题属于基础题.12.C【解析】
采用逐一验证法,根据线线、线面之间的关系以及四面体的体积公式,可得结果.【详解】A错误由平面,//而与平面相交,故可知与平面相交,所以不存在EF//BC1B错误,如图,作由又平面,所以平面又平面,所以由//,所以,平面所以平面,又平面所以,所以存在C正确四面体EMAC的体积为其中为点到平面的距离,由//,平面,平面所以//平面,则点到平面的距离即点到平面的距离,所以为定值,故四面体EMAC的体积为定值错误由//,平面,平面所以//平面,则点到平面的距离即为点到平面的距离,所以为定值所以四面体FA1C1B的体积为定值故选:C【点睛】本题考查线面、线线之间的关系,考验分析能力以及逻辑推理能力,熟练线面垂直与平行的判定定理以及性质定理,中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.①③④【解析】
先利用导数求得曲线在点处的切线方程,由此求得与的递推关系式,进而证得数列是等比数列,由此判断出四个结论中正确的结论编号.【详解】∵,∴曲线在点处的切线方程为,则.∵,∴,则是首项为1,公比为的等比数列,从而,,.故所有正确结论的编号是①③④.故答案为:①③④【点睛】本小题主要考查曲线的切线方程的求法,考查根据递推关系式证明等比数列,考查等比数列通项公式和前项和公式,属于基础题.14.【解析】
建立平面直角坐标系,设,可得,进而可得出,,由此将转化为以为自变量的三角函数,利用三角恒等变换思想以及正弦函数的有界性可得出结果.【详解】根据题意建立平面直角坐标系如图所示,设,,以、为邻边作平行四边形,则,设,则,,且,在中,由正弦定理,得,即,在中,由正弦定理,得,即.,,则,当时,取最大值.故答案为:.【点睛】本题考查了向量的数量积最值的计算,将问题转化为角的三角函数的最值问题是解答的关键,考查计算能力,属于难题.15.【解析】
求导,得到和,利用点斜式即可求得结果.【详解】由于,,所以,由点斜式可得切线方程为.故答案为:.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程,属基础题.16.【解析】
先确定球心的位置,结合勾股定理可求球的半径,进而可得球的面积.【详解】取的外心为,设为球心,连接,则平面,取的中点,连接,,过做于点,易知四边形为矩形,连接,,设,.连接,则,,三点共线,易知,所以,.在和中,,,即,,所以,,得.所以.【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题,外接球的半径的求解一般有两个思路:一是确定球心位置,利用勾股定理求解半径;二是利用熟悉的模型求解半径,比如长方体外接球半径是其对角线的一半.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(Ⅰ)(t为参数);(Ⅱ)或或.【解析】
试题分析:本题主要考查极坐标方程、参数方程与直角方程的相互转化、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,用,化简表达式,得到曲线的极坐标方程,由已知点和倾斜角得到直线的参数方程;第二问,直线方程与曲线方程联立,消参,解出的值.试题解析:(1)即,.(2),符合题意考点:本题主要考查:1.极坐标方程,参数方程与直角方程的相互转化;2.直线与抛物线的位置关系.18.(1);(2).【解析】
(1)分类讨论,,,即可得出结果;(2)先由题意,将问题转化为即可,再求出,的最小值,解不等式即可得出结果.【详解】(1)由得,若,则,显然不成立;若,则,,即;若,则,即,显然成立,综上所述,的取值范围是.(2)由题意知,要使得不等式恒成立,只需,当时,,所以;因为,所以,解得,结合,所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法,以及由不等式恒成立求参数的问题,熟记分类讨论的思想、以及绝对值不等式的性质即可,属于常考题型.19.(1)见解析;(2)最大值为.【解析】
(1)将函数表示为分段函数,利用函数的单调性求出该函数的最小值,进而可证得结论成立;(2)由可得出,并将代数式与相乘,展开后利用基本不等式可求得的最小值,进而可得出实数的最大值.【详解】(1).当时,函数单调递减,则;当时,函数单调递增,则;当时,函数单调递增,则.综上所述,,所以;(2)因为恒成立,且,,所以恒成立,即.因为,当且仅当时等号成立,所以,实数的最大值为.【点睛】本题考查含绝对值函数最值的求解,同时也考查了利用基本不等式恒成立求参数,考查推理能力与计算能力,属于中等题.20.(1)直线的普通方程,圆的直角坐标方程:.(2)【解析】
(1)直接利用转换关系的应用,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.(2)将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程,利用一元二次方程根和系数关系式即可求解.【详解】(1)直线l的参数方程为(t为参数),转换为直角坐标方程为x+y﹣3=0.圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ=3,转换为直角坐标方程为x2+y2﹣4x﹣3=0.(2)把直线l的参数方程为(t为参数),代入圆的直角坐标方程x2+y2﹣4x﹣3=0,得到,所以|PA||PB|=|t1t2|=6.【点睛】本题考查参数方程极
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