2021-2022学年江西省赣州市南康三中、兴国一中高三一诊考试数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在平面直角坐标系中，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则（）A． B． C． D．2．若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数，则实数的取值范围是()A． B．C． D．3．已知的展开式中的常数项为8，则实数（）A．2 B．-2 C．-3 D．34．已知的部分图象如图所示，则的表达式是（）A． B．C． D．5．如图在一个的二面角的棱有两个点，线段分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱，且，则的长为（）A．4 B． C．2 D．6．已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若为线段中点且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A． B．3 C． D．7．水平放置的，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的，其中，则绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（）A． B． C． D．8．已知函数，对任意的，，当时，，则下列判断正确的是（）A． B．函数在上递增C．函数的一条对称轴是 D．函数的一个对称中心是9．“”是“函数的图象关于直线对称”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．双曲线的一条渐近线方程为，那么它的离心率为（）A． B． C． D．11．已知，，，若，则（）A． B． C． D．12．在中，角、、所对的边分别为、、，若，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中的系数为________.14．（5分）有一道描述有关等差与等比数列的问题:有四个和尚在做法事之前按身高从低到高站成一列，已知前三个和尚的身高依次成等差数列，后三个和尚的身高依次成等比数列，且前三个和尚的身高之和为cm，中间两个和尚的身高之和为cm，则最高的和尚的身高是____________cm．15．函数的定义域是．16．设为椭圆在第一象限上的点，则的最小值为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.18．（12分）已知函数.（1）若，求证：.（2）讨论函数的极值；（3）是否存在实数，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.19．（12分）如图，正方形是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1分钟，右转不受红绿灯影响，这样独立的循环运行.小明上学需沿街道从处骑行到处（不考虑处的红绿灯），出发时的两条路线（）等可能选择，且总是走最近路线.（1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？（2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过处，且全程不等红绿灯的概率；（3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？20．（12分）已知函数.（1）若曲线存在与轴垂直的切线，求的取值范围.（2）当时，证明：.21．（12分）[2018·石家庄一检]已知函数．（1）若，求函数的图像在点处的切线方程；（2）若函数有两个极值点，，且，求证：．22．（10分）已知函数．（1）若，求函数的单调区间；（2）若恒成立，求实数的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．C【解析】

利用诱导公式以及二倍角公式，将化简为关于的形式，结合终边所在的直线可知的值，从而可求的值.【详解】因为，且，所以.故选：C.【点睛】本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式，属于给角求值类型的问题，难度一般.求解值的两种方法：（1）分别求解出的值，再求出结果；（2）将变形为，利用的值求出结果.2．C【解析】

由题可知，设函数，，根据导数求出的极值点，得出单调性，根据在区间内的解集中有且仅有三个整数，转化为在区间内的解集中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数的取值范围.【详解】设函数，，因为，所以，或，因为时，，或时，，，其图象如下：当时，至多一个整数根；当时，在内的解集中仅有三个整数，只需，，所以.故选：C.【点睛】本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考查数形结合思想和解题能力.3．A【解析】

先求的展开式，再分类分析中用哪一项与相乘，将所有结果为常数的相加，即为展开式的常数项，从而求出的值.【详解】展开式的通项为，当取2时，常数项为，当取时，常数项为由题知，则.故选：A.【点睛】本题考查了两个二项式乘积的展开式中的系数问题，其中对所取的项要进行分类讨论，属于基础题.4．D【解析】

由图象求出以及函数的最小正周期的值，利用周期公式可求得的值，然后将点的坐标代入函数的解析式，结合的取值范围求出的值，由此可得出函数的解析式.【详解】由图象可得，函数的最小正周期为，.将点代入函数的解析式得，得，，，则，，因此，.故选：D.【点睛】本题考查利用图象求三角函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5．A【解析】

由，两边平方后展开整理，即可求得，则的长可求．【详解】解：，，，，，，．，，故选：．【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．B【解析】

设，代入双曲线方程相减可得到直线的斜率与中点坐标之间的关系，从而得到的等式，求出离心率．【详解】，设，则，两式相减得，∴，．故选：B．【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题方法是点差法，即出现双曲线的弦中点坐标时，可设弦两端点坐标代入双曲线方程相减后得出弦所在直线斜率与中点坐标之间的关系．7．B【解析】

根据斜二测画法的基本原理，将平面直观图还原为原几何图形，可得，,绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体,圆锥的侧面展开图是扇形根据扇形面积公式即可求得组合体的表面积.【详解】根据“斜二测画法”可得，，，绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体，它的表面积为.故选:【点睛】本题考查斜二测画法的应用及组合体的表面积求法,难度较易.8．D【解析】

利用辅助角公式将正弦函数化简，然后通过题目已知条件求出函数的周期，从而得到，即可求出解析式，然后利用函数的性质即可判断.【详解】，又，即，有且仅有满足条件；又，则，，函数，对于A，，故A错误；对于B，由，解得，故B错误；对于C，当时，，故C错误；对于D，由，故D正确.故选：D【点睛】本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质，熟记性质是解题的关键，属于基础题.9．A【解析】

先求解函数的图象关于直线对称的等价条件，得到，分析即得解.【详解】若函数的图象关于直线对称，则，解得，故“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件．故选：A【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，考查了学生逻辑推理，概念理解，数学运算的能力，属于基础题.10．D【解析】

根据双曲线的一条渐近线方程为，列出方程，求出的值即可.【详解】∵双曲线的一条渐近线方程为，可得，∴，∴双曲线的离心率.故选：D.【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于基础题.11．B【解析】

由平行求出参数，再由数量积的坐标运算计算．【详解】由，得，则，，，所以．故选：B．【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，考查数量积的坐标运算，掌握向量数量积的坐标运算是解题关键．12．D【解析】

利用余弦定理角化边整理可得结果.【详解】由余弦定理得：，整理可得：，.故选：.【点睛】本题考查余弦定理边角互化的应用，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．80.【解析】

只需找到展开式中的项的系数即可.【详解】展开式的通项为，令，则，故的展开式中的系数为80.故答案为：80.【点睛】本题考查二项式定理的应用，涉及到展开式中的特殊项系数，考查学生的计算能力，是一道容易题.14．【解析】

依题意设前三个和尚的身高依次为，第四个(最高)和尚的身高为，则，解得，又，解得，又因为成等比数列,则公比，故.15．【解析】解：因为，故定义域为16．【解析】

利用椭圆的参数方程，将所求代数式的最值问题转化为求三角函数最值问题，利用两角和的正弦公式和三角函数的性质，以及求导数、单调性和极值，即可得到所求最小值．【详解】解：设点，，其中，，由，，，可设，导数为，由，可得，可得或，由，，可得，即，可得，由可得函数递减；由，可得函数递增，可得时，函数取得最小值，且为，则的最小值为1．故答案为：1．【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，利用三角函数的恒等变换和导数法求函数最值的方法，考查化简变形能力和运算能力，属于难题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1），；（2）【解析】试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列前n项和．试题解析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由题意得d===1．∴an=a1+（n﹣1）d=1n设等比数列{bn﹣an}的公比为q，则q1===8，∴q=2，∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1，∴bn=1n+2n﹣1（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=1n+2n﹣1，∵数列{1n}的前n项和为n（n+1），数列{2n﹣1}的前n项和为1×=2n﹣1，∴数列{bn}的前n项和为；考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；1.数列求和．18．（1）证明见解析；（2）见解析；（3）存在，1.【解析】

（1），求出单调区间，进而求出，即可证明结论；（2）对（或）是否恒成立分类讨论，若恒成立，没有极值点，若不恒成立，求出的解，即可求出结论；（3）令，可证恒成立，而，由（2）得，在为减函数，在上单调递减，在都存在，不满足，当时，设，且，只需求出在单调递增时的取值范围即可.【详解】（1），，，当时，，当时，，∴，故.（2）由题知，，，①当时，，所以在上单调递减，没有极值；②当时，，得，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.故在处取得极小值，无极大值.（3）不妨令，设在恒成立，在单调递增，，在恒成立，所以，当时，，由（2）知，当时，在上单调递减，恒成立；所以不等式在上恒成立，只能.当时，，由（1）知在上单调递减，所以，不满足题意.当时，设，因为，所以，，即，所以在上单调递增，又，所以时，恒成立，即恒成立，故存在，使得不等式在上恒成立，此时的最小值是1.【点睛】本题考查导数综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、不等式证明，考查分类讨论思想，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.19．（1）6种；（2）；（3）.【解析】

（1）从4条街中选择2条横街即可；（2）小明途中恰好经过处，共有4条路线，即，，，，分别对4条路线进行分析计算概率；（3）分别对小明上学的6条路线进行分析求均值，均值越大的应避免.【详解】（1）路途中可以看成必须走过2条横街和2条竖街，即从4条街中选择2条横街即可,所以路线总数为条.（2）小明途中恰好经过处，共有4条路线：①当走时，全程不等红绿灯的概率；②当走时，全程不等红绿灯的概率；③当走时，全程不等红绿灯的概率；④当走时，全程不等红绿灯的概率.所以途中恰好经过处,且全程不等信号灯的概率.（3）设以下第条的路线等信号灯的次数为变量，则①第一条：，则；②第二条：，则；③另外四条路线：；；，则综上，小明上学的最佳路线为；应尽量避开.【点睛】本题考查概率在实际生活中的综合应用问题，考查学生逻辑推理与运算能力，是一道有一定难度的题.20．（1）（2）证明见解析【解析】

（1）在上有解，，设，求导根据函数的单调性得到最值，得到答案.（2）证明，只需证，记，求导得到函数的单调性，得到函数的最小值，得到证明.【详解】（1）由题可得，在上有解，则，令，，当时，单调递增；当时，单调递减.所以是的最大值点，所以.（2）由，所以，要证明，只需证，即证.记在上单调递增，且，当时，单调递减；当时，单调递增.所以是的最小值点，，则，故.【点睛】本题考查了函数的切线问题，证明不等式，意在考查学生的综合应用能力和转化能力.21．（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）分别求得和，由点斜式可得切线方程；（2）由已知条件可得有两个相异实根，，进而再求导可得，结合函数的单调性可得，从而得证.试题解析：（1）由已知条件，，当时，，，当时，，所以所求切线方程为（2）由已知条件可得有两个相异实根，，令，则，1）若，则，单调递