新高考数学一轮复习分层提升练习第31练 基本立体几何图形及几何体的表面积与体积（含解析）

第31讲基本立体几何图形及几何体的表面积与体积（精练）刷真题明导向刷真题明导向一、单选题1．（2023·全国·统考高考真题）在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是边长为2的等边三角形，SKIPIF1<0，则该棱锥的体积为（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．3【答案】A【分析】证明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，分割三棱锥为共底面两个小三棱锥，其高之和为AB得解.【详解】取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，如图，

SKIPIF1<0是边长为2的等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：A2．（2023·全国·统考高考真题）已知圆锥PO的底面半径为SKIPIF1<0，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面积等于SKIPIF1<0，则该圆锥的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.【详解】在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，所以圆锥的体积SKIPIF1<0.故选：B3．（2023·天津·统考高考真题）在三棱锥SKIPIF1<0中，线段SKIPIF1<0上的点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0上的点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0和三棱锥SKIPIF1<0的体积之比为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】分别过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0,垂足分别为SKIPIF1<0.过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0,过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0,垂足为SKIPIF1<0.先证SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则可得到SKIPIF1<0，再证SKIPIF1<0.由三角形相似得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0即可求出体积比.【详解】如图，分别过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0,垂足分别为SKIPIF1<0.过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0,过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0,垂足为SKIPIF1<0.

因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.又因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B4．（2022·天津·统考高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为SKIPIF1<0，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（

）A．23 B．24 C．26 D．27【答案】D【分析】作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.【详解】该几何体由直三棱柱SKIPIF1<0及直三棱柱SKIPIF1<0组成，作SKIPIF1<0于M，如图，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为重叠后的底面为正方形，所以SKIPIF1<0,在直棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面BHC，则SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，设重叠后的EG与SKIPIF1<0交点为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0则该几何体的体积为SKIPIF1<0.故选：D.5．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为SKIPIF1<0，侧面积分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，体积分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】设母线长为SKIPIF1<0，甲圆锥底面半径为SKIPIF1<0，乙圆锥底面圆半径为SKIPIF1<0，根据圆锥的侧面积公式可得SKIPIF1<0，再结合圆心角之和可将SKIPIF1<0分别用SKIPIF1<0表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为SKIPIF1<0，甲圆锥底面半径为SKIPIF1<0，乙圆锥底面圆半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以甲圆锥的高SKIPIF1<0，乙圆锥的高SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.6．（2022·北京·统考高考真题）已知正三棱锥SKIPIF1<0的六条棱长均为6，S是SKIPIF1<0及其内部的点构成的集合．设集合SKIPIF1<0，则T表示的区域的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】求出以SKIPIF1<0为球心，5为半径的球与底面SKIPIF1<0的截面圆的半径后可求区域的面积.【详解】设顶点SKIPIF1<0在底面上的投影为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为三角形SKIPIF1<0的中心，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的轨迹为以SKIPIF1<0为圆心，1为半径的圆，而三角形SKIPIF1<0内切圆的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的轨迹圆在三角形SKIPIF1<0内部，故其面积为SKIPIF1<0故选：B7．（2021·天津·统考高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为SKIPIF1<0，两个圆锥的高之比为SKIPIF1<0，则这两个圆锥的体积之和为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点SKIPIF1<0，设圆锥SKIPIF1<0和圆锥SKIPIF1<0的高之比为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设球的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，这两个圆锥的体积之和为SKIPIF1<0.故选：B.8．（2021·全国·统考高考真题）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高SKIPIF1<0，下底面面积SKIPIF1<0，上底面面积SKIPIF1<0，所以该棱台的体积SKIPIF1<0.故选：D.9．（2021·全国·统考高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为SKIPIF1<0（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为SKIPIF1<0的球，其上点A的纬度是指SKIPIF1<0与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为SKIPIF1<0，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为SKIPIF1<0（单位：SKIPIF1<0），则S占地球表面积的百分比约为（

）A．26% B．34% C．42% D．50%【答案】C【分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：SKIPIF1<0.故选：C.10．（2021·北京·统考高考真题）某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：SKIPIF1<0）．24h降雨量的等级划分如下：

等级24h降雨量（精确到0.1）…………小雨0.1~9.9中雨10.0~24.9大雨25.0~49.9暴雨50.0~99.9…………在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200mm，高为300mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨【答案】B【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.【详解】由题意，一个半径为SKIPIF1<0的圆面内的降雨充满一个底面半径为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0的圆锥，所以积水厚度SKIPIF1<0，属于中雨.故选：B.11．（2021·全国·统考高考真题）已知圆锥的底面半径为SKIPIF1<0，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】设圆锥的母线长为SKIPIF1<0，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得SKIPIF1<0的值，即为所求.【详解】设圆锥的母线长为SKIPIF1<0，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：B.二、多选题12．（2022·全国·统考高考真题）如图，四边形SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，记三棱锥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的体积分别为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CD【分析】直接由体积公式计算SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0计算出SKIPIF1<0，依次判断选项即可.【详解】设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，易得四边形SKIPIF1<0为矩形，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A、B错误；C、D正确.故选：CD.三、填空题13．（2021·全国·高考真题）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为SKIPIF1<0则该圆锥的侧面积为.【答案】SKIPIF1<0【分析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.【详解】∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.14．（2023·全国·统考高考真题）在正四棱台SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则该棱台的体积为．【答案】SKIPIF1<0【分析】结合图像，依次求得SKIPIF1<0，从而利用棱台的体积公式即可得解.【详解】如图，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0为四棱台SKIPIF1<0的高，

因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以所求体积为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.15．（2023·全国·统考高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为．【答案】SKIPIF1<0【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：根据台体的体积公式直接运算求解.【详解】方法一：由于SKIPIF1<0，而截去的正四棱锥的高为SKIPIF1<0，所以原正四棱锥的高为SKIPIF1<0，所以正四棱锥的体积为SKIPIF1<0，截去的正四棱锥的体积为SKIPIF1<0，所以棱台的体积为SKIPIF1<0.方法二：棱台的体积为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【A组

在基础中考查功底】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知某圆锥的高为SKIPIF1<0，体积为SKIPIF1<0，则该圆锥的侧面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由圆锥的体积和高，得到底面半径，勾股定理得母线长，由圆锥的侧面积公式计算结果.【详解】设该圆锥的底面半径与母线长分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，从而该圆锥的侧面积SKIPIF1<0．故选：B2．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）灯罩的更新换代比较快，而且灯具大部分都是设计师精心设计，对于灯来说，不用将灯整个都换掉，只需要把灯具的外部灯罩进行替换就可以改变灯的风格.杰斯决定更换卧室内的两个灯罩来换换氛围，已知该灯罩呈圆台结构，上下底皆挖空，上底半径为10SKIPIF1<0，下底半径为18SKIPIF1<0，母线长为17SKIPIF1<0，侧面计划选用丝绸材质布料制作，若不计做工布料的浪费，则更换两个灯罩需要的丝绸材质布料面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】运用圆台的侧面积公式计算即可.【详解】由题意可得更换两个灯罩需要的丝绸材质布料面积SKIPIF1<0.故选：B.3．（2023·全国·高三专题练习）如图，将一个圆柱SKIPIF1<0等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，SKIPIF1<0越大，重新组合成的几何体就越接近一个“长方体”．若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】新几何体的表面积比原几何体的表面积多了原几何体的轴截面面积，列出方程求解即可.【详解】显然新几何体的表面积比原几何体的表面积多了原几何体的轴截面面积，设圆柱的底面半径为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以圆柱的侧面积为SKIPIF1<0．故选：A.4．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考开学考试）石碾子是我国传统粮食加工工具，如图是石碾子的实物图，石碾子主要由碾盘、碾滚（圆柱形）和碾架组成．碾盘中心设竖轴（碾柱），连碾架，架中装碾滚，以人推或畜拉的方式，通过碾滚在碾盘上的滚动达到碾轧加工粮食作物的目的．若推动拉杆绕碾盘转动2周，碾滚的外边缘恰好滚动了5圈，碾滚与碾柱间的距离忽略不计，则该圆柱形碾滚的高与其底面圆的直径之比约为（

）A．3：2 B．5：4 C．5：3 D．4：3【答案】B【分析】绕碾盘转动2周的距离等于碾滚滚动5圈的距离，列出方程即可求解.【详解】由题意知，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0故选：B.5．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）转子发动机采用三角转子旋转运动来控制压缩和排放．如图，三角转子的外形是有三条侧棱的曲面棱柱，且侧棱垂直于底面，底面是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆构成的曲面三角形，正三角形的顶点称为曲面三角形的顶点，侧棱长为曲面棱柱的高，记该曲面棱柱的底面积为S，高为h，已知曲面棱柱的体积SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则曲面棱柱的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据题意和图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成的，其面积等于三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，进而求解.【详解】扇形ACB的面积SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则底面积SKIPIF1<0，所以曲面棱柱的体积SKIPIF1<0，故选：A．6．（2023·全国·高三专题练习）《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，不易之率也.”我们可以翻译为：取一长方体，分成两个一模一样的直三棱柱，称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得一个四棱锥和一个三棱锥，这个四棱锥称为阳马，这个三棱锥称为鳖臑.现已知某个鳖臑的体积是1，则原长方体的体积是（

）A．8 B．6 C．4 D．3【答案】B【分析】根据柱体和锥体体积公式求得正确答案.【详解】如图所示，原长方体SKIPIF1<0，设矩形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，鳖臑SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即原长方体的体积是SKIPIF1<0.故选：B7．（2023春·宁夏银川·高三宁夏育才中学校考开学考试）已知侧棱长为SKIPIF1<0的正四棱锥各顶点都在同一球面上．若该球的表面积为SKIPIF1<0，则该正四棱锥的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】作图，分外接球的球心在锥内和锥外2种情况，运用勾股定理分别计算.【详解】设四棱锥为SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0的中心为O，设外接球的半径为R，底面正方形的边长为2a，四棱锥的高为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当外接球的球心在锥内时为SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0…①，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0…②，联立①②，解得SKIPIF1<0（舍）；当外接球的球心在锥外时为SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0…③，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0…④，联立③④解得SKIPIF1<0，四棱锥的体积SKIPIF1<0；故选：D.8．（2023春·湖南长沙·高三校联考阶段练习）为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥的高与底面边长的比为SKIPIF1<0，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】设出相关棱长，利用面积公式求出正六棱锥与正六棱柱的侧面积，然后可得答案.【详解】设正六边形的边长为SKIPIF1<0，由题意正六棱柱的高为SKIPIF1<0，因为正六棱锥的高与底面边长的比为SKIPIF1<0，所以正六棱锥的高为SKIPIF1<0，正六棱锥的母线长为SKIPIF1<0，正六棱锥的侧面积SKIPIF1<0；正六棱柱的侧面积SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B.9．（2023·云南·高三校联考阶段练习）拟柱体（所有顶点均在两个平行平面内的多面体）可以用辛普森（Simpson）公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0求体积，其中h是高，SKIPIF1<0是上底面面积，SKIPIF1<0是下底面面积，SKIPIF1<0是中截面（到上、下底面距离相等的截面）面积，如图所示，在五面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为4的正方形，SKIPIF1<0，且直线EF到底面ABCD的距离为3，则该五面体的体积为（

）A．18 B．20 C．24 D．25【答案】B【分析】根据题意，利用辛普森（Simpson）公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0求解.【详解】解：如图所示：分别取边AE，BF，CF，DE的中点G，H，J，K，由题意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：B10．（2023·全国·校联考三模）如图为一个火箭的整流罩的简单模型的轴截面，整流罩是空心的，无下底面，由两个部分组成，上部分近似为圆锥，下部分为圆柱，则该整流罩的外表面的面积约为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据题意分上部分为圆锥，利用其侧面积公式求出其侧面积；下部分为圆柱，利用其侧面积公式求出其侧面积，最后得到正面外表面面积.【详解】根据题意，上部分圆锥的母线长为SKIPIF1<0，所以圆锥的侧面积为SKIPIF1<0，下部分圆柱的侧面积为SKIPIF1<0，所以该整流罩的外表面的面积约为SKIPIF1<0．故选：B.11．（2023·北京通州·统考模拟预测）如图，某几何体的上半部分是长方体，下半部分是正四棱锥，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该几何体的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】先利用勾股定理求出正四棱锥SKIPIF1<0的高，再根据棱柱与棱锥的体积公式即可得解.【详解】在正四棱锥SKIPIF1<0中，连接SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即为正四棱锥SKIPIF1<0的高，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以该几何体的体积为SKIPIF1<0.故选：B.12．（2023·全国·高三专题练习）黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器.该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足.器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收.黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径22.5cm，足径14.4cm，高3.8cm，其中底部圆柱高0.8cm，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（

）（附：圆台的侧面积SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为两底面半径，SKIPIF1<0为母线长，其中SKIPIF1<0的值取3，SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】首先求圆台母线长，再代入圆台和圆柱侧面积公式，即可求解.【详解】设该圆台的母线长为SKIPIF1<0，两底面圆半径分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故圆台部分的侧面积为SKIPIF1<0，圆柱部分的侧面积为SKIPIF1<0，故该黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为SKIPIF1<0.故选：B.13．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为3和4，球的表面积为SKIPIF1<0，则该圆台的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由球的表面积求出球的半径，然后通过轴截面求出圆台的高，进一步求出圆台的体积.【详解】因为圆台外接球的表面积SKIPIF1<0，所以球的半径SKIPIF1<0，设圆台的上､下底面圆心分别为SKIPIF1<0，在上､下底面圆周上分别取点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，如图，因为圆台上､下底面的半径分别为3和4，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以圆台体积SKIPIF1<0.故选：D.14．（2023·全国·高三专题练习）正多面体共有5种，统称为柏拉图体，它们分别是正四面体、正六面体（即正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体．若连接某正方体的相邻面的中心，就可以得到一个正八面体，已知该正八面体的体积为36，则生成它的正方体的棱长为（

）A．8 B．6 C．4 D．3【答案】B【分析】设正方体的棱长为SKIPIF1<0，由条件结合锥体体积公式列方程求解即可.【详解】设正方体棱长为SKIPIF1<0，可得正八面体是由两个四棱锥构成，四棱锥的底面为边长为SKIPIF1<0的正方形，高为SKIPIF1<0，则正八面体体积为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故选：B.15．（2023·全国·高三专题练习）如图①，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是球的半径，SKIPIF1<0是球缺的高.某航空制造公司研发一种新的机械插件，其左右两部分为圆柱，中间为球切除两个相同的“球缺”剩余的部分，制作尺寸如图②所示（单位：cm）.则该机械插件中间部分的体积约为（SKIPIF1<0）（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据球的截面的性质由条件求出球的半径，切除掉的“球缺”的高，结合球的体积公式和“球缺”的体积公式可得结论.【详解】过球心和“球缺”的底面圆的圆心作该几何体的截面，可得截面图如下：由已知可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由求得截面性质可得SKIPIF1<0为以SKIPIF1<0为斜边的直角三角形，所以SKIPIF1<0，即球的半径SKIPIF1<0，所以以SKIPIF1<0为球心，SKIPIF1<0为半径的球的体积SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为球的半径SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以“球缺”的高为SKIPIF1<0，所以一个“球缺”的体积SKIPIF1<0，所以该机械插件中间部分的体积约为SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：C.二、多选题16．（2023·全国·高三专题练习）用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为SKIPIF1<0，则关于上、下两空间图形的说法正确的是（

）A．侧面积之比为SKIPIF1<0 B．侧面积之比为SKIPIF1<0C．体积之比为SKIPIF1<0 D．体积之比为SKIPIF1<0【答案】BD【分析】计算出小棱锥与原棱锥的相似比，结合两个棱锥侧面积之积为相似比的平方、体积之比为相似比的立方可求得结果.【详解】依题意知，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为SKIPIF1<0，高之比为SKIPIF1<0，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为SKIPIF1<0，体积之比为SKIPIF1<0，即小棱锥与棱台的侧面积之比为SKIPIF1<0，体积之比为SKIPIF1<0.故选：BD.17．（2023·全国·高三专题练习）“阿基米德多面体”也称为半正多面体（semi-regularsolid），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体，已知SKIPIF1<0，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（

）A．该半正多面体的体积为SKIPIF1<0B．该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为SKIPIF1<0C．该半正多面体外接球的表面积为SKIPIF1<0D．该半正多面体的顶点数V、面数F、棱数E满足关系式SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】根据几何体的构成可判断A，由截面为正六边形可求面积判断B，根据外接球为正四棱柱的外接球即可判断C，根据顶点，面数，棱数判断D.【详解】如图，该半正多面体，是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的.对于A，因为由正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，所以该几何体的体积为：SKIPIF1<0，故正确；对于B，过A，B，C三点的截面为正六边形ABCFED，所以SKIPIF1<0，故正确.对于C，根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为SKIPIF1<0，侧棱长为2的正四棱柱的外接球，所以该半正多面体外接球的表面积SKIPIF1<0，故错误；对于D，几何体顶点数为12，有14个面，24条棱，满足SKIPIF1<0，故正确.故选：ABD18．（2023·重庆·二模）“端午节”为中国国家法定节假日之一，已被列入世界非物质文化遗产名录，吃粽子便是端午节食俗之一．全国各地的粽子包法各有不同．如图，粽子可包成棱长为SKIPIF1<0的正四面体状的三角粽，也可做成底面半径为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0（不含外壳）的圆柱状竹筒粽．现有两碗馅料，若一个碗的容积等于半径为SKIPIF1<0的半球的体积，则（

）（参考数据：SKIPIF1<0）A．这两碗馅料最多可包三角粽35个B．这两碗馅料最多可包三角粽36个C．这两碗馅料最多可包竹筒粽21个D．这两碗馅料最多可包竹筒粽20个【答案】AC【分析】分别求出一个正四面体状的三角粽的体积，一个圆柱状竹筒粽得体积及两碗馅料得体积，即可得出答案.【详解】解：两碗馅料得体积为：SKIPIF1<0，如图，在正四面体SKIPIF1<0中，CM为AB边上得中线，O为三角形ABC的中心，则OD即为正四面体的高，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以正四面体的体积为SKIPIF1<0，即一个正四面体状的三角粽的体积为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以这两碗馅料最多可包三角粽35个，故A正确，B错误；一个圆柱状竹筒粽得体积为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以这两碗馅料最多可包竹筒粽21个，故C正确，D错误.故选：AC.19．（2023·全国·高三专题练习）已知某圆锥的母线长为SKIPIF1<0，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中正确的有（

）A．圆锥的体积为SKIPIF1<0B．圆锥的表面积为SKIPIF1<0C．圆锥的侧面展开图是圆心角为SKIPIF1<0的扇形D．圆锥的内切球表面积为SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】根据勾股定理求出圆锥的底面半径，再由圆锥的体积公式以及表面积公式可判断A、B、C；根据球的表面积公式可判断D.【详解】

由题意圆锥的底面半径SKIPIF1<0，圆锥的高SKIPIF1<0，所以圆锥的体积SKIPIF1<0，故A正确；圆锥的表面积SKIPIF1<0，故B错误；圆锥的侧面展开图是圆心角SKIPIF1<0，故C正确；

，作出圆锥内切球的轴截面，设圆锥的内切球半径为SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0为正方形，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，圆锥的内切球表面积SKIPIF1<0，故D正确.故选：ACD20．（2023·全国·高三专题练习）《九章算术》是中国古代张苍､耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，其中将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为“羡除”，则（

）A．“羡除”有且仅有两个面为三角形； B．“羡除”一定不是台体；C．不存在有两个面为平行四边形的“羡除”； D．“羡除”至多有两个面为梯形.【答案】ABC【分析】画出图形，利用新定义判断A；通过SKIPIF1<0，判断“羡除”一定不是台体，判断B；利用反证法判断C；通过SKIPIF1<0两两不相等，则“羡除”有三个面为梯形，判断D．【详解】由题意知：SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0为梯形，如图所示：对于A：由题意知：“羡除”有且仅有两个面为三角形，故A正确；对于B：由于SKIPIF1<0，所以：“羡除”一定不是台体，故B正确；对于C：假设四边形SKIPIF1<0和四边形BCDF为平行四边形，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0为平行四边形，与已知的四边形SKIPIF1<0为梯形矛盾，故不存在，故C正确；对于D：若SKIPIF1<0，则“羡除”三个面为梯形，故D错误．故选：ABC．三、填空题21．（2023·全国·高三专题练习）若圆锥的轴截面是边长为1的正三角形，则圆锥的侧面积是.（结果用含SKIPIF1<0的式子表示）【答案】SKIPIF1<0【分析】根据题意可得圆锥的底面半径和母线长，进而根据圆锥侧面积公式SKIPIF1<0求得结果．【详解】解：SKIPIF1<0圆锥的轴截面是边长为1的正三角形，SKIPIF1<0圆锥的底面半径SKIPIF1<0，母线SKIPIF1<0，故圆锥的侧面积SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．22．（2023·上海·高三专题练习）已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，圆柱的体积为SKIPIF1<0，则球的表面积为．【答案】SKIPIF1<0【分析】设球的半径为SKIPIF1<0,根据圆柱的体积可求得SKIPIF1<0，利用球的表面积公式即可求得答案.【详解】设球的半径为SKIPIF1<0,则圆柱的底面直径和高皆为SKIPIF1<0，故圆柱的体积为SKIPIF1<0，故球的表面积为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<023．（2023·全国·高三专题练习）若长方体的对角线的长为SKIPIF1<0，其长、宽、高的和是SKIPIF1<0，则长方体的全面积是．【答案】SKIPIF1<0【分析】设长方体的长、宽、高分别为SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0可构造方程求得SKIPIF1<0，即为所求的全面积.【详解】设长方体的长、宽、高分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即长方体的全面积为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.24．（2023·全国·高三专题练习）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则堆放的米约有斛（结果精确到个位）．【答案】SKIPIF1<0【详解】依题意有体积为SKIPIF1<0，故一共有SKIPIF1<0（斛）米.25．（2023·全国·高三专题练习）如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为.【答案】SKIPIF1<0【分析】求出长方体体积与三棱锥的体积后即可得到棱锥的体积与剩下的几何体体积之比.【详解】设长方体长宽高分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以长方体体积SKIPIF1<0，三棱锥体积SKIPIF1<0，所以棱锥的体积与剩下的几何体体积的之比为：SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【点睛】本题主要考查了长方体体积公式，三棱锥体积公式，属于基础题.26．（2023·上海·高三统考学业考试）如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是等腰直角三角形.若SKIPIF1<0，则该直三棱柱的体积为.【答案】24【分析】根据直三棱柱的体积公式直接求解即可.【详解】因为在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为直角，故可得：SKIPIF1<0，故答案为：2427．（2023·青海西宁·统考一模）若甲、乙两个圆柱形容器的容积相等，且甲、乙两个圆柱形的容器内部底面半径的比值为2，则甲、乙两个圆柱形容器内部的高度的比值为．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据体积相等列方程，由此求得高度比.【详解】设甲的底面半径为SKIPIF1<0，则乙的底面半径为SKIPIF1<0，设甲的高为SKIPIF1<0，乙的高为SKIPIF1<0，依题意，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<028．（2023秋·江苏镇江·高三江苏省镇江第一中学校考阶段练习）若一个正四棱台的上下底面的边长分别为2和4，侧棱长为SKIPIF1<0，则这个棱台的体积为．【答案】28【分析】先根据侧棱长和上下底面的对角线长算出棱台的高，再根据棱台的体积公式计算即可.【详解】因为上下底面的对角线长分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，求得正四棱台的高为SKIPIF1<0，所以棱台的体积为SKIPIF1<0．故答案为：28.29．（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，则三棱锥SKIPIF1<0的体积为.【答案】10【分析】由题意可得SKIPIF1<0，然后分别求出SKIPIF1<0的值，从而可求得答案.【详解】由题意可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：10.30．（2023·全国·高三专题练习）周总理纪念馆是由正方体和正四棱锥组合体建筑设计，如图所示，若该组合体接于半径R的球O（即所有顶点都在球上），记正四棱锥侧面SKIPIF1<0与正方体底面SKIPIF1<0所成二面角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【分析】利用正方体的性质及球的性质可得组合体的外接球的球心为正方体的中心，设正方体底面SKIPIF1<0的中心为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，进而可得SKIPIF1<0，即得.【详解】由正方体的性质可知该组合体的外接球的球心为正方体的中心，设正方体底面SKIPIF1<0的中心为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设正方体的棱长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【B组

在综合中考查能力】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）陀螺又称陀罗，是中国民间最早的娱乐健身玩具之一，在山西夏县新石器时代的遗址中就发现了石制的陀螺.如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其中圆柱的底面半径为1，圆锥与圆柱的高均为1，若该陀螺由一个球形材料削去多余部分制成，则球形材料体积的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】依题意当该陀螺中圆锥的顶点及圆柱的下底面圆周都在球形材料表面上时，球形材料体积的最小，设此时球形材料的半径为SKIPIF1<0，由勾股定理求出外接球的半径，即可求出其体积.【详解】依题意当该陀螺中圆锥的顶点及圆柱的下底面圆周都在球形材料表面上时，球形材料体积的最小，设此时球形材料的半径为SKIPIF1<0，由题意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以球形材料的体积最小值为SKIPIF1<0.故选：D.2．（2023·广东汕头·统考三模）将一个体积为SKIPIF1<0的铁球切割成正三棱锥的机床零件，则该零件体积的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】设正三棱锥的底面边长为SKIPIF1<0，高为S