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由牛顿—莱布尼兹公式知:计算定积分因用凑微分法计算不定积分时自始至终没有引入新变量,故用凑微分法计算定积分时,也应自始至终不改变积分限.下面举例说明.§6.4定积分计算方法一.凑微分法第五章知求函数原函数(即不定积分)方法有凑微分法、换元法和分部积分法.因而在一定条件下,也可用这几个方法来计算定积分.关键在于求出ƒ(x)在[a,b]上一个原函数F(x);而由1第1页例11计算2第2页3第3页(1)在[α,β]上单调连续且含有连续导数;(2)

(α)=a,

(β)=

b,则二.换元积分法定理8若ƒ(x)在[a,b]上连续,

而x=

(t)又满足证设F(x)是ƒ(x)一个原函数,4第4页——此式称为定积分换元公式.(3)求出在应用换元公式计算定积分时,

应注意以下几个问题:(1)所选择代换式x=

(t)必须满足定理中两个条件;(2)换元积分关键是换限.记住“上限对上限,下限对下限”;求不定积分那样把

(t)还原成x函数,而只须直接将t上、下限代入相减即可.后,无须象5第5页例12当a>0时,计算6第6页注1由几何意义知,此定积分即为圆7第7页在第Ι象限面积.性质1设ƒ(x)在[−a,a]上连续,则证

(1)若为ƒ(x)偶函数,则有ƒ(x)=ƒ(−x)令x=−t,则dx=−dt,且8第8页从而(2)若为ƒ(x)奇函数,则有ƒ(x)=−ƒ(−x)令x=−t,则dx=−dt,且从而9第9页注2利用此结论可简化奇函数及偶函数在对称区间上定积分计算.例13计算解(1)被积函数为奇函数.则原式=0.令x=tanu,则(2)被积函数为偶函数,故10第10页例14.设解设x=t+2,则t=x–2,dx=dt11第11页性质2设ƒ(x)在[0,1]上连续,则12第12页三.分部积分法定理9若u=u(x)及v=v(x)在[a,b]上有连续导数,则13第13页证因d(uv)=udv+vdu,两边积分得注3注4

用分部积分法计算定积分,因没有引入新变量,故在计算过程中自始至终均不变限,u、v选择与不定积分分部积分法相同.例15计算

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