2023-2024学年湖南省长沙市雨花区华益中学八年级（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年长沙市华益中学八年级（下）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列关系式中，y不是x的函数的是(

)A.|y|=xB.y=x2+2x+1C.y=3x+12.若函数y=(k+2)x+k2−4是正比例函数，则k的值是A.k≠−2 B.k=±2 C.k=2 D.k=3.点A(2,y1)和B(1,y2)都在直线y=x−2上，则yA.y1≥y2 B.y1≤4.下列命题错误的是(

)A.矩形的四个内角相等

B.正方形的四条边相等，四个角相等，且有四条对称轴

C.菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角

D.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形5.下表记录了甲、乙、丙、丁四名运动员选拔赛成绩的平均数x−与方差S2.根据表中数据，要从中选择一名成绩好，又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲乙丙丁平均数x561560561560方差S15.53.53.515.6A.甲 B.乙 C.丙 D.丁6.用配方法解方程x2−6x−1=0时，配方结果正确的是(

)A.(x−3)2=10 B.(x−3)2=87.如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为x米的笔直小道，其余部分(即图中阴影部分)改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为840平方米，求x的值.根据题意，下列方程正确的是(

)A.36×25−36x−25x=840

B.36x+25x=840

C.(36−x)(25−x)+x2=840

8.对于抛物线y=3(x−2)2−1，下列说法正确的是A.y随x的增大而减小

B.当x=2时，y有最大值−1

C.若点A(3,y1)，B(1,y2)都在抛物线9.把抛物线y=−x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为A.y=−(x+3)2+1 B.y=−(x+1)2+310.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴与x轴交点的横坐标为2.下列有4个结论：①b2−4ac>0；②abc<0；③b<a+c；A.①②

B.①②③

C.①②④

D.①②③④二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.函数y=1x−1中，自变量x的取值范围是______．12.已知m，n是一元二次方程x2+x−2024=0的两个实数根，则代数式m+n的值等于______．13.如图，已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若OA=2，OB=1，则关于x的方程kx+b=0的解为______．14.抛物线y=(x−1)2+2与y15.如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于______cm．16.如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA=OB，分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C，连接AC、BC、AB、OC，若AB=4cm，四边形OACB的面积为20cm2，则OC的长为______cm．三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

计算：(−12)18.(本小题8分)

解方程：

(1)x2−4x+2=0；

(2)x(2x−5)=4x−1019.(本小题8分)

已知关于x的一元二次方程x2−2x−m=0有实数根．

(1)求m的取值范围；

(2)若两实数根分别为x1和x2，且x20.(本小题8分)

如图，▱ABCD中，点E、F分别是边BC，AD的中点，AE=AF．

(1)求证：四边形AECF是菱形；

(2)若∠ABC=60°，AB=8，则平行四边形ABCD的面积为______．21.(本小题8分)

2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情.某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：

成绩统计表组别成绩x(分)百分比A组x<605%B组60≤x<7015%C组70≤x<80aD组80≤x<9035%E组90≤x≤10025%根据所给信息，解答下列问题：

(1)本次调查的成绩统计表中a=______%，并补全条形统计图；

(2)这200名学生成绩的中位数会落在______组(填A、B、C、D或E)；

(3)试估计该校1200名学生中成绩在90分以上(包括90分)的人数．22.(本小题8分)

如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B(0,−1)，与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为(1,n)．

(1)求n、k、b的值；

(2)求C点坐标；

(3)求四边形AOCD的面积．23.(本小题8分)

2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱.商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出.由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个．

(1)若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率；

(2)市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个.那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？24.(本小题8分)

已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0)，且x1≠x2．

(1)若x1=3x2=3，求8a+2b的值；

(2)在(1)的条件下，若该函数在−1≤x≤4时，有最小值−4，求函数的表达式；

(3)若该抛物线的顶点为点P.与y轴交于点D，经过P、25.(本小题8分)

对凸四边形我们进行约定：

若四边形对角线既不垂直也不相等，叫做“线无垂等”四边形；

若四边形对角线垂直但不相等，叫做“线垂不等”四边形；

若四边形对角线相等但不垂直，叫做“线等不垂”四边形；

若四边形对角线既相等又垂直，叫做“线垂且等”四边形；

(1)判断下列说法的正确性，正确的请在括号内打“√”；错误的打“×”

①所有的平行四边形都是“线无垂等”四边形______

②内角不是90°的菱形一定是“线垂不等”四边形______

③邻边相等的矩形是“线垂且等”四边形______

(2)如图，在矩形ABCD中，P是AD边上一点，若∠APC−∠ABD=2∠PCD；

①连接BP，四边形BCDP是“______”四边形；

②若AB=4，且AP=2DP，求AD的长．

(3)二次函数y=−x2+bx+c的对称轴为直线x=1，且与x轴交于A，B两点(A在B点左侧)，且AB=4，点C(s,n)，D(t,n)(s>t)都在函数图象上，若四边形ABCD是“线垂且等”四边形，求

参考答案1.A

2.C

3.D

4.D

5.C

6.A

7.D

8.D

9.D

10.B

11.x>1

12.−1

13.x=−2

14.(0,3)

15.14

16.10

17.解：(−12)−2+|3−2|+18.解：(1)x2−4x+2=0，

∴x2−4x+4=2，

∴(x−2)2=2，

∴x−2=2或x−2=−2，

解得x1=2+2,x2=2−19.解：(1)∵关于x的一元二次方程

x2−2x−m=0有实数根，

∴Δ=b2−4ac=(−2)2+4m≥0，

解得m≥−1．

故m的取值范围是m≥−1；

(2)根据根与系数的关系得x1+x2=2，x1x2=−m，20.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，AD=BC，

∵点E、F分别是边BC、AD的中点，

∴AF=EC，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵AE=AF，

∴平行四边形AECF是菱形；

(2)解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，

由(1)得：四边形AECF是菱形，

∴AE=EC，

∵点E是边BC的中点，

∴BE=EC，

∴AE=BE，

∵∠ABC=60°，

∴△ABE是等边三角形，

∴AB=BE=8，

∴BC=2BE=16，

AH=sin∠ABC⋅AB=sin60°×AB=321.(1)20．

补全条形统计图如图所示．

(2)D．

(3)1200×25%=300(人)．

∴估计该校1200名学生中成绩在90分以上(包括90分)的人数约300人．

22.解：(1)对于直线y=x+1，令x=0，得到y=1，即A(0,1)，

把B(0,−1)代入y=kx+b中，得：b=−1，

把D(1,n)代入y=x+1得：n=2，即D(1,2)，

把D坐标代入y=kx−1中得：2=k−1，即k=3，

故答案为：2，3，−1；

(2)由(1)得y=3x−1，

∵C点在直线得y=3x−1上，

令y=0，则3x−1=0，则x=13，

∴C(13,0)；

(3)由(1)知，D(1,2)，

∵函数y=kx+b

的图象经过点B(0,−1)、D(1,2)，

∴b=−1k+b=2，

解得：k=3b=−1，

∴直线BD解析式为y=3x−1，

易知A(0,1)，令y=0，得x=13，

∴C(13,0)23.解：(1)由题意，设每次上涨的百分率为m，

依题意，得：80(1+m)2=125，

解得：m1=0.25=25%，m2=−2.25(不合题意，舍去)．

答：每次上涨的百分率为25%．

(2)由题意，设每个售价为x元，

∴每天的利润w=(x−70)[75+5(125−x)]

=(x−70)(700−5x)

=−5x2+1050x−49000

=−5(x−105)2+6125．

∴当x=105时，每天的最大利润为6125．

24.解：(1)解：∵x1=3x2=3，

∴点A(3,0)、B(1,0)，

∴抛物线的解析式为y=a(x−3)(x−1)=ax2−4ax+3a，

∵抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，

∴−4a=b，

∴8a+2b=8a+2×(−4a)=0；

(2)解：由(1)得：y=ax2−4ax+3a=a(x−2)2−a，

∴抛物线的对称轴为直线x=2，

∵该函数在−1≤x≤4时，有最小值−4，

若a>0，

∴当x=2时，有最小值−4，

∴−a=−4，即a=4，

∴函数的表达式为y=4x2−16x+12；

若a<0，

∵2−(−1)>4−2，

∴此时当x=−1时，有最小值−4，

∴a(−1−2)2−a=−4，即a=−12，

∴函数的表达式为y=−12x2+2x−32．

综上所述，函数的表达式为y=4x2−16x+12或y=−12x2+2x−32；

(3)解：∵y=ax2+bx+c=a(x+b2a)2+4ac−b24a，

∴顶点P的坐标为(−b2a,4ac−b24a)，

当x=0时，y=c，

∴点D的坐标为(0,c)，即OD=−c，

设直线PD的解析式为y=kx+m，

∴4ac−b24a=−b2ak+mm=c，解得：k=b2m=c，

∴直线PD的解析式为y=b2x+c，

对于y=b2x+c，当y=0时，【答案】(1)×；√；√；

(2)①如图，设CP，BD交于点E，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°，

∴∠ABD+∠CBD=90°，∠BCE+∠PCD=90°，

∵∠APC−∠ABD=2∠PCD，∠APC=∠ADC+∠PCD=90°+∠PCD，

∴90°+∠PCD−∠ABD=2∠PCD，

∴∠ABD+∠PCD=90°，

∴∠CBD=∠PCD，

∴∠BCE+∠CBD=90°，

∴∠BEC=90°，

即PC⊥BD，

∴四边形BCDP是“线垂不等”四边形；

②∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=∠ADC=∠A=90°，AB=CD=4，

设PD=x，则AP=2x，AD=3x，

由①得PC⊥BD，

∴∠ADB+∠BDC=90°=∠PCD+∠BDC，

∴∠ADB=∠PCD，∠A=∠ADC=90°，

∴△ABD∽△DPC，

∴ABDP=ADCD，

即4x=3x4，

解得x=433，

∴AD=43；

(3)∵二次函数y=−x2+bx+c的对称轴为直线x=1，与x轴交于A，B两点(A在B点左侧)，且AB=4，

∴−b2×(−1)=1，

∵点A(−1,0)，B(3,0)，

∴b=2，

把A(−1,0)代入y=−x2+bx+c得0=−1