2023-2024学年福建省泉州市科技中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省泉州市科技中学高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−1,0,1,2}，B={x|x>0}，则下列结论不正确的是(

)A.1∈A∩B B.⌀⊆A∩B

C.{2}⊆A∩B D.{x|x>0}=A∪B2.已知a，b∈{−2,−1,1,2}，若向量m=(a,b)，n=(1,1)，则向量m与n所成的角为锐角的概率是(

)A.14 B.38 C.3163.若非零向量a，b满足|a|=|b|=|a+b|A.2b B.32b C.b4.若lnx−lny>y2−xA.ex−y>1 B.ex−y<1 C.5.已知函数为f(x)=−x2−2ax−a,x<0,ex+lnA.(−∞,0] B.[−1,0] C.[−1,1] D.[0,+∞)6.若正数x，y满足4x+y=4，则1x+1yA.2 B.94 C.3 D.7.已知直三棱柱ABC−A1B1C1的各个顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=3A.32 B.1 C.12 8.在△ABC中，已知A=60°，BC=2，D为BC的中点，则线段AD长度的最大值为(

)A.1 B.2 C.3 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知z是复数，z−是其共轭复数，则下列命题中正确的是(

)A.z2=|z|2

B.若z=(1−2i)2，则复平面内z−对应的点位于第二象限

C.若|z|=1，则|z−1−i|的最大值为2+1

10.某学校为了解同学们某天上学的交通方式，在高一年级开展了随机调查，将学生某天上学的交通方式归为四类：A一家人接送，B一乘坐地铁，C一乘坐公交，D一其他方式，学校把收集到的数据整理绘制成条形图和扇形图，如图只给出了其中部分信息，根据图中信息，下列说法正确的是(

)

A.若该校高一年级有学生1300人，则高一年级约有780人乘坐公共交通工具上学

B.估计该校高一年级有13的学生某天家人接送上学

C.扇形图中B的占比为40%

D.11.如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为正方形C1CDDA.记C1D1的中点为N，CC1上存在一点P，使得面NPB1//面BEA1

B.动点F轨迹的长度为3

C.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图，在△ABC中，已知AB=2,AC=4，∠BAC=45°，D为线段AC上一动点，则CD13.已知α，β∈(0,π2)，sin(2α+β)=2sinβ，tanα=2314.已知函数f(x)的定义域为R，f(x)+f(1−x)=1，f(x)=2f(x7)，且对于0≤x1≤x2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b−ac=sinC−sinAsinB+sinA．

(1)求角B；

(2)若△ABC为锐角三角形，AC=2，D是线段AC的中点，求16.(本小题15分)

对于函数f(x)=log2(2x+a)．

(1)若a=2，求f(x)在[13,1]上的值域；

17.(本小题15分)

某市高一年级数学期末考试，满分为100分，为做好分析评价工作，现从中随机抽取100名学生成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40和100之间，将数据按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成6组，制成如图所示的频率直方图．

(1)求频率直方图中m的值，并估计这100名学生的平均成绩；

(2)若成绩在[90,100]的为A等级，[70,90)的为B等级，其他为C等级，

①在这100名学生中用分层抽样的方法在A，B，C三个等级中抽取25人，求从B等级中抽取的人数．

②以样本估计总体，用频率代替概率，从该市所有参加考试的高一年级学生中随机抽取3人，求至少有一人为B等级的概率.(注：当总体数比较大时，不放回抽取可视为有放回抽取)18.(本小题17分)

如图1，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=2，E为CD上一点且CE=2DE.现将△ADE沿着AE折起，使点D到达点P的位置，且PE⊥BE，得到的图形如图2．

(1)证明△BPA为直角三角形；

(2)设动点M在线段AP上，判断直线EM与平面PCB的位置关系，并说明理由；

(3)若Q为PB中点，求三棱锥Q−ABE的体积．19.(本小题17分)

已知函数f(x)=x2+ax+b，x∈[0,2]．

(1)若f(x)为单调函数，求a的取值范围；

(2)设函数g(x)=|f(x)|，记g(x)的最大值为M(a,b)．

(i)当a=0时，求M(b)的最小值；

(ii)证明：对∀a，b∈R，M(a,b)≥1参考答案1.D

2.A

3.B

4.A

5.B

6.B

7.A

8.C

9.BCD

10.AD

11.ACD

12.−913.2

14.11615.解：(1)△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b−ac=sinC−sinAsinB+sinA．

由正弦定理得b−ac=c−ab+a，

所以a2+c2−b2=ac，

由余弦定理得cosB=a2+c2−b22ac=ac2ac=12，

又B∈(0,π)，所以B=π3；

(2)△ABC为锐角三角形，AC=2，D是线段AC的中点，

因为a2+c2−b2=ac，所以a2+c216.解：(1)当a=2时，f(x)=log2(2+2x)，

因为y=2+2x在[13,1]上单调递减，

所以当x∈[13,1]时，4≤2+2x≤8，

则f(x)=log2(2+2x)∈[2,3]，

故当a=2时，函数f(x)在[13,1]上的值域为[2,3]；

(2)方程log2(2x+a)=log2[(a−6)x+2a−8]，

所以2x+a=(a−6)x+2a−8①2x+a>0②，

由①可得，(a−6)x2+(a−8)x−2=0，即[(a−6)x−2](x+1)=0，

当a=6时，方程有唯一解x=−1，满足②2x+a=−2+6>0，所以a=6符合条件；

当a=4时，方程有两相等解x=17.解：(1)由频率直方图知(0.004+0.022+0.030+0.028+m+0.004)×10=1，

∴m=0.012，

∴100名同学的平均成绩估计值为：

0.04×45+0.22×55+0.30×65+0.28×75+0.12×85+0.04×95=68.4(分)；

(2)①由(1)知A等级的频率为0.04，A等级的人数为100×0.04=4人，

B等级的频率为(0.28+0.12)=0.4，B等级的人数为100×0.4=40人，

C等级的频率为(0.04+0.22+0.30)=0.56，C等级的人数为100×0.56=56人，

∴抽取25人中B等级中的人数为25×404+40+56=10人；

②用频率代替概率，所以抽取一次，B等级被抽中的概率为0.4，

抽取三次都没有抽中B等级的概率为(1−0.4)3=0.216，

所以随机抽取318.(1)证明：在折叠前的图中，连接BE，如图：

由题意可得：ED=1，CE=2，则BE=6，AE=3，

折叠后PE⊥BE，所以PB=7，

又AP=2，所以PB2+PA2=AB2，即PB⊥PA，

所以△BPA为直角三角形．

(2)解：当动点M在线段AP上，设PMPA=λ，同样在线段PB上取N，使得PNPB=λ，则MN//AB，

当λ=23时，则MN=23AB=2，

又CE/​/AB且CE=2，所以MN//CE，且MN=CE，

则四边形CEMN为平行四边形，所以ME/​/CN，EM⊄平面PBC，CN⊂平面PBC，

所以ME/​/平面PBC；

当λ≠23时，此时MN//CE，但MN≠CE，所以四边形CEMN为梯形，

所以ME与CN必然相交，则ME与平面PBC必然相交．

综上所述：当动点M满足PMPA=23时，ME/​/平面PBC；

当动点M满足PMPA≠23时，ME与平面PBC相交．

(3)解：若Q为PB中点，

由(1)可得BE⊥AE，PE⊥BE，19.解：(1)函数f(x)=x2+ax+b，x∈[0,2]，

开口向上，对称轴方程为x=−a2，

要使函数单调，则−a2≤0或−a2≥2，

解得a≥0或a≤−4，

所以a的范围为{a|a≥0或a≤−4}；

(2)(i)当a=0时，g(x)=|x2+b|，

所以M(b)=max{g(0),g(2)}=max{|b|,|4+b|}，

当b≤−2时，|b|≥|4+b|，M(b)=|b|=−b≥2，

当且仅当b=−2时，等号成立；

当b>−2时，|b|<|4+b|，M(b)=|4+b|=4+b>2；

所以M(b)的最小值为2；

(ii)下面根据对称轴对a进行讨论：

当−a2≤0时，a≥0，M(a,b)=max{g(0)，g(2)}=max{|b|，|4+2a+b|}，

①若|b|≥12，显然M(a,b)≥12，

②若|b|<12，则M(a,b)=|4+2a+b|=4+2a+b>4+0−12>12，

当−a2≥2时，a≤−4，则M(a,b)=max{g(0)，g(2