2022年江苏新高二数学暑假教材知识点讲练（苏教版2019选择性必修第一册）第02讲 玩转立体几何中的角度、体积、距离问题（解析版）

第02讲玩转立体几何中的角度、体积、距离问题

酸

刁【学习目标】

1.掌握各种角的定义，弄清异面直线所成的角与两直线所成的角，二面角与二面角的平面角，直线与平面所

成的角和斜线与平面所成的角，二面角与两平面所成的角的联系与区别，弄清他们各自的取值范围。

2.细心体会求空间角的转化和数形结合思想。

3.掌握各种距离和距离的求解方法.

【基础知识】

知识点1.求点线、点面、线面距离的方法

(1)若P是平面a外一点，a是平面a内的一条直线，过P作平面a的垂线PO,。为垂足，过。作

OALa,连接以，则以以_La.则线段山的长即为P点到直线a的距离(如图所示).

(2)一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直

线与平面的距离.

(3)求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来

求解.

②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解.

③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解.

知识点2.异面直线所成角的常用方法

求异面直线所成角的一般步骤：

(1)找(或作出)异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线.

(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角.

(3)结论——设⑵所求角大小为。.若0。＜6490。，则。即为所求：若90。＜夕＜180。，则180。“即为所

知识点3.直线与平面所成角的常用方法

求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤(1)确定斜线与平面的交点(斜足)；

(2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线

和射影所成的锐角即为所求的角；

(3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形.

知识点4.作二面角的三种常用方法

(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①，则NAOB

为二面角a-//的平面角.

图①图②图③(2)垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面

与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.如图②，NA08为二面角a-1-p

的平面角.

(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点4向另一个平面作垂线，垂足为8,由点8向二面角

的棱作垂线，垂足为O,连接A0,则NAO8为二面角的平面角或其补角.如图③，NAO8为二面角

的平面角.

知识点5.求体积的常用方法

选择合适的底面，再利用体积公式求解.

拳【考点剖析】

考点一：异面直线所成的角

例1.在空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,D4的中点，若AC=8£)=2,

且AC与所成的角为60。，则EG的长为()

A.1或夜B.夜或百C.1或6D.；或也

【答案】C

【解析】

【分析】

连接EF,FG,EG,根据异面直线所成角的意义，在中分情况计算作答.

【详解】

A.

连接EF,FG,EG,如图,

依题意，EF//AC,FG//BD,且EF=1AC=1,FG='3。=1,

22

因AC与8£）所成的角为60°,则NEFG=60,或NEFG=120，

当N£FG=60。时，A£FG是正三角形，EG=\,

当ZEFG=120"时，EG=2EFcosNFEG=2cos30=下＞,

所以EG的氏为1或

故选：C

考点二：线面角

例2.如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，底面ABC是正三角形，底面A5C,且4J=1,AA=2,

则直线BC与平面ABB'A'所成角的正弦值为

【解析】

【分析】

取A'B'的中点0,连接OC；OB,则CC±平面AB'C',CO，AE,由AV〃C,C,得CO，AA'，从而ZC'BO

是宜线BC'与平面/WB'A所成角，由此能求出直线BC'与平面他区4'所成角的正弦值.

【详解】

解：取的中点O,连接。C',08,

因为在二棱柱ABC-AFC'中，底面A8C是等边三角形，且A4'_L底面A8C,

所以C'C，平面AB'C',COLAB：,

因为AA〃C'C，所以COJLA4',

所以ZC'BO是直线BC与平面ABB'A所成角，

因为A8=1,4V=2,

所以8。'=炉方=石，C'O=/^=#，

73r-

所以sinZC'BO=£2=T=VJ5.所以直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值为,

一8C一6一1010

故答案为：—.

10

考点三:二面角

住1例3.在四棱锥P—A3c£＞中，底面A8CD是菱形，z7U3C=60°,PA_L平面A8CD,PA=AB=2.

PC工BD；

(2)求二面角P-CD-A的正弦值.

【答案】(I)证明见解析

⑵毡

7

【解析】

【分析】

(1)作辅助线，证明AC_LBD,PA±BD,即证明8。J•平面B4C,根据线面垂直的性质及可证明结论；

(2)取CZ)中点为点F,连接AF,PF,证明CD_L平面PAF,从而说明HP是二面角P-CD-A的平面角.解

直角三角形APF,即可求得答案.

(1)

证明：连接AC交于点0,

因为底面A8C。是菱形，

所以AC_LB"

又因为E4_L平面ABC。，B£>u平面ABC。,

PALBD,

又因为PAn4C=A,

所以8O_L平面B4C,PCu平面以C,

所以8OJ_PC.

(2)

取CO中点为点F,连接AF,PF,

因为底面A8CC是菱形，ZABC=ZA£>C=60\

所以48是等边三角形，

所以AELCO.

因为R4_L平面ABCD,CDu平面ABC。，

所以P4_LC£>,

而E4cAF=A，

所以C£)_L平面B4F,PFu平面抬「，

所以CZ)J_P尸，

所以NAFP是二面角P-CD-A的平面角.

因为4)=弘=2,则AF="

因为24_LAF，

所以PF=,22+3=77,

2_277

所以sinNAFP=

所以二面角P-CD-A的正弦值为毡.

7

考点四：距离问题

例4.如图，在直三棱柱ABC-4及6中,AB1BC,AA,=AC,AB=2BC=2,E,F分别是年卜入台

的中点.

(1)证明：AE〃平面BC，.

(2)求点C到平面SC尸的距离.

【答案】(1)详见解析.

⑵叵

6

【解析】

【分析】

(1)取8c的中点G,连接EG,FG,易得四边形EG"是平行四边形，从而AE//FG,再利用线面平行

的判定定理证明；

(2)根据％=匕-sqc,利用等体积法求解.

(1)

证明：如图所示:

取5c的中点G,连接EG,FG,

则£G7/AF,且EG=AF,

所以四边形EGFA是平行四边形，

所以AE//FG,又AEa平面AGF,FGu平面8。尸，

所以AE〃平面8c/；

(2)

因为A8_LBC,四_L8C,又AB?网B,

所以8cL平面A84A，因为SG//BC,

所以B£1平面ABB.A,，则B©IZJ.F,

因为AAj=AC,AB=2BC=2,

所以AC=右，BF=ylBB；+BF?=瓜，

则S=l4Gx21F=渔,Snrr=-B.C,xCC,=—,

AI>IVIr2।।2，|C2ii2

因为Vc-%GF=VF-BJQC♦

所以，xSaB|C|F=|fiFxS遇GC，

解得〃=画，

6

即点c到平面4c尸的距离为：—.

考点五：体积问题

例5.如图，在四棱锥尸-ABCD中，平面ABCD,四边形ABCC为正方形，点F为线段PC上

的点，过A,D,尸三点的平面与P8交于点E.

(1)证明：EF〃平面ABCD；

(2)若E为PB中点,且A8=A4=2,求四棱锥P-的体积.

【答案】(1)证明见解析；

⑵1.

【解析】

【分析】

(1)利用线面平行的判定证明AD〃平面PBC,再利用线面平行的性质、判定推理作答.

(2)利用线面垂直的性质、判定证明平面幺8,进而证得依J_平面AD尸E,再借助锥体体积公式计

算作答.

(1)

正方形ABC£>中，AD//BC,而3Cu平血产BC,4)二平面PBC,4)//平面PBC,

又4)<=平面ADFE,平面P8CPI平面4)在'=在；，则有E/3/4),而">u平面ABC。，平面ABCQ,

所以所〃平面A8CD

(2)

因上AJ■平面ABC。，AZ>u平面A6CD,则4)JLR4,又A£>_LAB,ABcX4=A，A8,PAu平面

则A£>J_平面248,

P8,AEu平面243,于是得A£J_AD,PBA.AD,因AB=R4=2,E为PB中点，则PB_LA£,

PE=AE=壶,

而A£n">=A,AE,AOu平面因此，P8_L平面4)匹£,

由(1)知所〃3C,则有律=工8。=1,梯形ADFE面积S=L(E尸+4£>>AE=逑，

222

所以四棱锥P-AEED的体积=述x&=l.

332

【真题演练】

1.在正方体ABCO-ASGR中，P为8Q的中点，则直线必与A2所成的角为()

71e兀一%r兀

A.-B.-C.-D.一

2346

【答案】D

【解析】

【分析】

平移直线4■至BG，将宜线/归与4。所成的角转化为依与所成的角，解三角形即可.

【详解】

如图，连接BG，P6，PB,因为A2〃BG，

所以NPBG或其补角为直线必与4。所成的角，因为8耳，平面ABCQ,所以BgLPG，乂PCJBR,

BBqBR=Bi,

所以PC—平面PBB、，所以PC—P8,

设正方体棱长为2,则BG=2夜,PC\=；D黑坨,

prI

sinZPBC=—^=-,所以NPBG=g.

]25dZ6

故选：D

2.如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SDL底面ABCD,则下列结论中不正确的是（）

A.AC±SB

B.AB〃平面SCD

C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

【答案】D

【解析】

【详解】

试题分析：A中由三垂线定理可知是正确的；B中AB,CD平行，所以可得到线面平行；C中设AC,BD相

交与0,所以SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角分别为ZASO,NCSO•.•8!=SC所以两

角相等，D中由异面直线所成角的求法可知两角不等

考点：1.线面平行垂直的判定；2.线面角，异面直线所成角

3.已知四棱锥S-AfiCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段上的点（不含端点），设SE与

所成的角为4，SE与平面ABCD所成的角为%,二面角S-AB-C的平面角为％,则

A.“<斗工仇B.仇工%&仇C.02D.02<9,<【答案】D

【解析】

【分析】

分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系.

【详解】

设。为1E方形ABCZ）的中心，〃为A8中点，过E作8C的平行线EF,交8于尸，过。作ON垂直EF于N,

连接SO、SN、OM,则SO垂直于底面ABCD,OM垂直于AB，

因此NSEN=q,NSEO=02,ZSMO=%,

、、一cSNSNSOSO

从而tan0,==-----,tann&=,tann1----,

1ENOM2EO3OM

因为SNNSO,EO>OM,所以tanqNtanq2tan&即42”之名，选D.

a

线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.

4.在正方体ABS-AAGR中，E为棱CG的中点，则异面直线AE与C。所成角的正切值为

A.立B.BC.正D.立

2222

【答案】C

【解析】

【分析】

利用正方体ABC。-ABCQ中，CD!/AB,将问题转化为求共面直线A8与AE所成角的正切值，在A48E中

进行计算即可.

【详解】在正方体ABC£）-AB|GR中，CD//AB,所以异面直线AE与CO所成角为,

设正方体边长为2a,则由E为棱CG的中点，可得CE="，所以BE=，

则™考=器邛.故选c

求异面直线所成角主要有以下两种方法：

（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中：②利用边角关系，找到（或构造）所求角所

在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；

（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对•应的余

弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.

5.已知正方体A8CD-ABCR中，E、F分别为CQ的中点，那么异面直线AE与。尸所成角的余

如图连接QF,EF,则DF4E，所以。尸与。pF所成的角即为异面直线所成的角，设正方体的边长为2,

5+5-4

则。尸=。1尸=不，在三角形。2尸中cos，尸。

2*x而

6.如下图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，平面SA£)_L平面ABCD,SA=SD=2,AB=3.

(1)求SA与8c所成角的余弦值;

(2)求证：AB1SD.

3

【答案】(1)=;(2)证明见解析.

4

【解析】

【分析】

(1)由题意可得/S4O即为SA4BC所成的角，根据余弦定理计算即可；

(2)结合面面垂直的性质和线面垂直的性质即可证明.

【详解】

【考查内容】异面直线所成的角，宜线与平面垂直的判定和性质

【解】(1)因为AD//BC,因此/S4。即为SA与8c所成的角，在ASAD中，SA=SD=2,

又在正方形ABCD中AO==3,因此cosZSAD=+"-―S-=2~+3一-2-=3,

2SAAD2x2x34

3

因此M与5c所成角的余弦值是

4

(2)因为平面SAO_L平面ABC£>,平面1s4£>c平面ABCD=A。，在正方形ASCD中，AB1AD,

因此A3_L平面SAO,又因为SL>u平面SAQ,因此A3_LS£>.

7.如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4,AB=6,

p

BC=3.C

(1)证明：BC//平面PDA；

(2)证明：BCXPD；

(3)求点C到平面PDA的距离.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)前.

2

【解析】

【详解】

试题分析：(1)由四边形ABCD是长方形可证BC〃AD,进而可证BC//平面PDA；(2)先证BCJ_CD,

再证BCJ•平面PDC,进而可证BCLPD：(3)取CD的中点E,连接AE和PE,先证PE,平面ABCD,

再设点C到平面PDA的距离为〃，利用V三棱吟PDA=V三校*ACD可得〃的值，进而可得点C到平面PDA的距

离.

试题解析：(I)因为四边形ABCD是长方形，所以BC〃AD,因为BC<Z平面PDA,ADu平面PDA，所

以BC//平面PDA

(2)因为四边形ABCD是长方形，所以BC_LCD,因为平面PDCJ■平面ABCD,平面PDCQ平面

ABCD=CD,BCu平面ABCD,所以8(2，平面PDC,因为PDu平面PDC,所以BC_LPD

C(3)取CD的中点E,连接AE和PE,因为PD=PC,所以PELCD,在

RtAPED中，PE=VPD2-DE2

=疹等=近，因为平面PDCJ■平面ABCD,平面PDCCI平面ABCD=CD,PEu平面PDC,所以PE,

平面ABCD,由(2)知：BCJ•平面PDC,由(1)知：BC〃AD,所以ADJ_平面PDC,因为PDu平面PDC,

所以AD_LPD,设点C到平面PDA的距离为/i,因为V三棱链C-PDA=V三棱锥P-ACD，所以§S"DA帝=§5板口，PE,

…SAArnPE；X3X6X4343"

即h=戈B-=J-----------=+，所以点C到平面PDA的距离是经

%>DA-x3x422

2

考点：1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离.

8.如图，在圆锥P。中，已知尸。=夜，圆。的直径4?=2,点C在A8上，且NCAB=3(r,。为AC的

中点.

(I)证明：AC,平面「。£»；

(II)求直线0C和平面P4C所成角的正弦值.

【解析】

【分析】

(I)由等腰三角形的性质可得AC，。。、PD1AC,再由线面垂直的判定即可证结论.

(II)由(D结合面面垂直的判定可得平面POD_L平面PAC,过。作S_LPD于H,连结S,易得CH是

OC在面PAC上的射影，进而找到直线和平面PAC所成角的平面角，即可求其正弦值.

【详解】

(I)因为OA=OC,PA=PC,。为AC的中点，则AC_LO£)且POLAC,

又ODnPD=。，且ODPDu平面PO。，

所以4。_1_平面尸0£).

(II)由(I),AC_L平面尸又4Cu平面PAC,

所以平面POD_L平面PAC,

在面POD中，过。作。于”，则_面PAC,连结C“，则C”是OC在面PAC上的射影,

p

所以NOCH是直线0C和平面P4C所成角的平面角.

rr1

“POODV2x2&

在必△POD中，°H=—======—

yjPO-+OD-l2+l3

则在Rt△OHC中sinZOCH=丝=也.

OC3

9.如图，P是边长为1的正六边形ABCQEF所在平面外一点,PA=\,P在平面ABC内的射影为8尸的中

点O.

证明

(II)求面APB与面OP8所成二面角的大小的余弦值.

c3>/5457

【答案】(1)证明见解析;

1819

【分析】

(I)由已知得40为外在平面A8F内的射影，再由尸可得证；

(II)过。在平面尸08内作。“，28于“，连AH、DH,则有乙4/7£)为所求二面角平面角，解三角形可求

得答案.

【详解】

解：(I)在正六边形A8CCEF中，AABF为等腰三角形，

♦.•P在平面A8C内的射影为O,平面48尸，为以在平面48尸内的射影；

•.•。为B尸中点，二4。_18凡.,.小_L8F.(II)：POJ_平面A8F,平面P8凡L平面ABC；

而。为8F中点，ABC0EF是正六边形，，A、0、。共线，且直线A0LBF,平面PBFc平面ABC=3F,

则AO_L平面PBF；

又•.•正六边形ABCQEF的边长为1,

**•A。=—•,DO=—,BO=

222

过0在平面POB内作OHLPB于H,连44、DH,则A”_L尸8,DH1PB,

所以NA/7D为所求：面角平面角.

1

在M中,所哼，―嚼人击

7

3

在A£)HO中，tanNOH0=^=*r="

On>/212

~1~

7V21

4x28160?

而tanZAHD=tan(ZAHO+ZDHO)=

1；叵一道一二

2V212

所以cosNAHD=--457

1819

所以面AP3与面DPB所成二面角的大小的余弦值为一码豆.

1819

10.在四棱锥P-ABC。中，底面ABC。为正方形，平面PAD，平面A8CD,

点M在线段PB上，PD〃平面MAC,

(1)判断加点在PB的位置并说明理由;

Q)记直线3例与平面以C的交点为K求说的值;

(3)若异面直线CM与AP所成角的余弦值为，，求二面角M-8-A的平面角的正切值.

【答案】(1)M为P8中点，理由见解析

入DK>

⑵诙=2

⑶;或述

39

【解析】

【分析】

(1)连接8。交AC于0,连0M,山平面平行的性质可得答案;

(2)连接0P,则K=0Pc£>M,可得点K为重心，由三角形重心的性质，可得答案;

(3)取AD5点H,连接取中点G,连接MG,GC,可得MG〃PH,取AB中点N,可知MN〃尸4,

NCMN或其补角就是异面直线CM与AP所成角，由面面垂直的性质可得P”_L平面A8CC,MGJ_平面

ABCD,令PH=t,AD=2,由余弦定理可得CG,在直角△MCG中，求出CM,MN=；PA,由余弦定

理得cos/CVW,从而得到3「-28产+25=0,解方程求出，，过G作G。CQ交8于。，连接M。，可

得CQ_L平面MGQ,CDA.MQ,在宜角AMQG中可得tanNMQG.

⑴

连接8。交AC于0,连接OM,

因为PD〃平面MAC,OMu平面PBD,

平面M4CC平面P8D=OM,则P£>〃QM,

又因为。为8。中点，所以例为P8中点.

⑵

如图所示，连接。尸，则平面PACCI平面=K=0PcDM,

p

M

因为。为80的中点，M为P8的中点，所以点K

为APB〃重心

由三角形重心的性质，可得―=2.

(3)

取4)中点“，连接尸”，HB,取”8中点G,连接MG,GC,可得MG〃PH.

取AB中点N,连接MMNC,可知MN〃PA,

所以NCMN或其补角就是异面直线CM勺AP所成角，如图所示，

因为平面PADJL平面A8C£>,平面PAOn平面

ABCD=AD,又PA=PD,所以P”_LA£),

所以P〃_L平面ABC。，因此MG_L平面ABC。，&PH=t,AD=2,

由P”〃同G,且M为PB的中点，可得MG=lP”=!f,

22

在ABCG中，可得BC=2,BG=—,cosZCSG=—,由余弦定理，可得CG=巫,

13+产

在直角ZkMCG中，CM=y/CG2+MG2=

又由M,N分别是P8,A8的中点，可得MN=-PA=

2

解得3/-28/+25=0,解得尸=1或与，即f=l或也,

33

过G作GQJ_8交C。于Q,连接M。，由MGJ_CD,且

可得CZ)_L平面MGQ,所以COLMQ,

所以NMQG就是所求二面角的平面角，如图所示，

5G

丁

II.如图，在长方体ABCD-AgCQi中，AD=],AB=AA,=2,H,尸分别是棱GA，BB1的中点.

(1)判断直线"尸与平面48c2的位置关系，并证明你的结论；(2)求直线HF与平

面ABC。所成角的正弦值;

(3)在线段HF上是否存在一点。，使得点。到平面48cA的距离是正，若存在，求出坐的值；若不存在,

Hr

说明理由.

【答案】⑴印:7/面ABCq,证明见解析;

⑵乌

3

(3)不存在，理由见解析.

【解析】

【分析】

(1)。为CR,£>6的交点，连接“0,8。，易得B/7/O为平行四边形，根据平行四边形性质、线面平行判

定即可证m3/面ABCR.

(2)由(I)只需求8。与面A8CO所成角的正弦值，根据已知条件求值即可.

(3)由(1)知"F上一任意一点到面ABC。的距离都相等，只需求F到面ABC。的距离，利用长方体的结构

特征求距离即可.

(1)

若。为CA，Z)G的交点，连接以0,8。，又”，尸分别是棱G。，BB1的中点,

由长方体的结构特征知：尸且"0=3/,故3FHO为平行四边形,

所以HK//BO,称'仁面A8CA，8Ou面ABC。，则〃尸//面A8CR.

(2)

由(1)知：HF勺面A8CO所成角，即为80勺面A8c。所成角，

长方体中，。到面ABC。的距离为尊=1,BOf+f+f=百，

所以8。与面ABC。所成角正弦佰为立，即H尸与面4B8所成角的正弦值为且.

33

(3)由(1)知:HF“面ABCR,即“产上任意一点到面ABC"的距离都相等,

所以只需求户到面A,BCD,的距离d,而用到面ABCD、的距离为2d=近,

所以F到面ABC。的距离故HF上不存在Q,使得。到平面A8cA的距离是0.

关检测】

1.在长方体ABCO-ABC2中，AB=AAi=2,AD=3,点E、尸分别是棱A8、A4的中点，E、F

Ge平面。，直线平面。=P,则直线8P与直线C。所成角的余弦值为()

7「6D.叵

B,也Vx.--

399

【答案】B

【解析】

【分析】

利用平行定理对直线进行平移、从而实现在三角形内求解角度.

【详解】

___Ci

Fl如图，连接石尸并延长，交线段gA的延长线于点G,连接GC交AA于

•\x

I\X\——z--

AEB

点、P.

则易知4尸=：4。.连接8A，

因为C。〃BA,所以异面直线成与cq所成的角为ZPBAt.

在MAPBA中，易得AP=1,A3=2五，BP=3,

贝|JcosZPBA.=纯=.

'PB3

故选：B.2.在正方体ABCO-A4GA中，E,F分别为棱AD,A田的中点，则异面直线EF与CR夹角

的余弦值为（）

A.3B.BC.—D.凡

6363

【答案】A

【解析】

【分析】

设棱8片的中点为G,连接FG,EG,BE,A1,根据4出〃尸6,,CD、//邓'得到CR〃尸G,进而得到

NEPG为异面直线EF与CQ所成的角求解.

【详解】

解：如图，

1）

'__________11G

\F\1设棱B用的中点为G,连接尸G,EG,BE

rc

B

因为AB〃尸G,CD,//AtB,

所以CR〃/G,

故NEFG为异面直线EF与C"所成的角.

设正方体ABCD-ABCQ的棱长为2,

则FG=&，A^E=BE=45,EF=EG=R.

FG

在等腰三角形后和中，C°S/EFG=E=@・

EF6

故异面直线EF与CR夹角的余弦值为正.

6

故选：A

3.如图所小,二棱锥P-ABC的底面ABC是等腰直角二角形，Z.ACB=90,且PA-PB-AB—2，PC=2&，

则PC与平面所成角的余弦值等于（）

B./C.乎D.¥

12

【答案】A

【解析】

【分析】

取A3的中点F,连尸尸、CF,过C作PF的垂线，垂足为E,可证CEL平面则NCPF是PC与平

面均8所成的角.在APCF中，用余弦定理可求出结果.

【详解】

取A8的中点尸，连尸尸、CF,过C作尸尸的垂线，垂足为E,

因为以=48=24=2,所以尸尸=6,

因为AC=BC,AF=BF，所以A8_LCF,

因为R4=P8,AF=BF,所以A8_L尸尸，

因为P/nb=F,所以ABJ_平面PC/,

因为CEu平面PC尸，所以他八3,

因为CEJ.PF,CEA.AB,PF^AB=F,

所以CE_L平面丛8,所以NCPE是PC与平面用8所成的角.在dCF中,

PC1+PF--CF18+3-15屈

cosDCPF=

2PCPF4万石一12

故选：A.

4.在空间四边形A8CD中，E,F,G,”分别是A8,BC,CD,D4的中点，若AC=BD=2,且AC与

BO所成的角为60。，则EG的长为（）

A.1或0B.0或百C.1或/D.、或必

【答案】C

【解析】

【分析】

连接ERFG,EG,根据异面直线所成角的意义，在AEFG中分情况计算作答.

【详解】

连接EF,FG,EG,如图,

A.

依题意，EF//AC,FG//BD,HEF=-AC=\,FG=-BD=\,

22

因AC与瓦）所成的角为60°，则/EFG=600或NEFG=120,

当NEFG=60。时，AEFG是正三角形，EG=l,

当NEFG=120。时，EG=2EFcosZ.FEG=2cos30=6，

所以EG的长为1或6.

故选：C

5.在棱长为1的正方体A8CO-AEGR中，。为正方形ASG。的中心，则下列结论错误的是（）

A.BOVAC

B.30〃平面AC。

C.点8到平面ACQ的距离为白

D.直线BO与直线A"的夹角为?

【答案】CD

【解析】

【分析】

根据线面垂直的判定定理证明ACJL平面，可判断A;连接B£>,交AC于£连接RE,证明8O〃RE,根据线

面平行的判定定理，可判断B：利用等体积法，求得点8到平面ACR的距离，判断C;采用作平行线的方法,

求出宜线BO与宜线ADt的夹角，可判断D.

【详解】

对于A,如图，连接B0RAC,则4A，AC交于点o,

正方体ABCD_A£CR中，AC//A,CX,BB,±

平面44CQ，AC|U平面ABIGR,

故AC18旦,而耳=综80,叫u平面BBQ,

故AG±平面明4,故AC_L平面BBR,而BOu平面BBR,

故ACJ_80,即BOLAC,故A正确;

AB

对于B,连接BQ,交AC于E,连接"E,则8片〃。。,86=。£）|,

故四边形BOD\E是平行四边形，故,BO〃D\E,D\Eu平面ACDt,B0不在平面ACR,

故30〃平面ACR,故B正确；

对于C,设点8到平面ACR的距离为a因为=%一48,

故gxgxlxlxl=gx；xV^x夜xsin6（pxd,解得d=,故C错误；

对于D,连接,则AR〃BGN05G即为直线80与直线A"的夹角或其补角,

在△BOG中，BQ=§,30=Jl+（¥）2=4,BC、=y/i，所以

3j_

cosNOBG=B。蓝、。C=5后E=等，则NO8c，故D错误

2B°BC,2x@x026

2

故选：CD

6.在正方体ABC。-ABC"中，E,F,G分别为BC,CG，BB1的中点，则下列结论中正确的是（）

B.二面角F-M-C的正切值为正C.异面直线4G与所所成角的余弦值为巫

210

D.点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍

【答案】BCD

【解析】

【分析】

由于在正方体中，D、D//A\A,RA与所不垂直，故QQ与AF不垂直，判断选项A；过点C作CMLAE,

pc

交AE的延长线于"，连接尸设正方体的棱长为2,，判断选项B；取与G的中点”，

CM

连接A4,GH,则G/7//EF,AG与防所成角即为直线AQ与G”所成角N4GH,在△AGG中用余弦定

GN

理，判断选项C；连接CG交所于点N,则点G到平面AE尸的距离与点C到平面AE尸的距离之比为由，

而AGNFs4E,判断选项D.

【详解】

在正方体ABC。-ABO中，显然有RD//AA,且在正方体ABC。-44G2中，A.A与的不垂直，

故0,0与诙不垂直，选项A错误；

DiG

匕f过点C作CMLAE,交AE的延长线于M,连接由二面角的定义

AB

JCF=1,CM=,1X2=^-

可知，ZFMC即为二面角F-AE-C的平面角，不妨设正方体的棱长为2,贝

FC_1_45

..tanX-TMC=---=—尸"=—......

CM2加2，选项B正w确；

r

取的中点“，连接4",G”，则G////EF,

故异面直线AG与EF所成角即为直线AQ与GH所成角^GH而其〃=亚币=石，=>/F7T=后,

GH=五+1。=0

故在△AGG中，由余弦定理可得

,…，A,G2+GH2-A.H25+2-5710

cosZAGH=—------------——=---r=_T==----选项C正确;

2A.GGH2x>/5xV210

连接CG交所于点N，则点G到平面AEF的距离与点C到平面AEF的距离之比为G木N，而4GNF-KNE

取£=a=2,选项D正确.

CNCE

故选：BCD.

7.如图，A8是半球的直径,。为球心，48=4,M,N依次是半圆AB上的两个三等分点，户是半球面上一

点，且PNJ_M8,

(1)证明：平面平面尸ON；

(2)若点P在底面圆内的射影恰在BM上，求二面角A-P8-N的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

吗

【解析】

【分析】

(I)连接OM,MN,证明ONLMB,再利用线面、面面垂直的判定推理作答.

(2)确定点P在底面圆内的射影点位置，再作出二面角A-F5-N的平面角，然后解三角形作答.

⑴

连接OM,MN,如图，M,N是半圆AB上的两个三等分点，则有NMON=NNOB=6(T,

而OM=ON=OB=2,即有AMON,ANO8都为正三角形，因此，MN=NB=BO=OM,

四边形。MVB是菱形，ONLMB,而PN1.MB,PNC\ON=N,PN,ONu平面PON,

因此，MB_L平面PON,BWu平面

所以平面PBM±平面PON.

(2)

由(1)知，平面PO/VJ"平面OMNB,平面尸。VC平面OMNB=ON,则点尸在底面圆内的射影在QV上,

因点P在底面圆内的射影在BM上，因此，点尸在底面圆内的射影是ON与MB的交点。，

即尸Q_L平面有PQ1ON,PN=PO=2=BO=BN,

PQ=^PO1-OQ1=>/3.而BQ=JJ,即有尸8=JPQ。+BC=娓,

取总的中点C,连CMC。，于是得CNLPB,COLPB,则有NO&V是:面角A-PB—N的平面角,

22

在AOCN中,