新高考数学一轮复习知识清单+巩固练习专题19 计数原理与二项式定理（原卷版）

第第②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即SKIPIF1<0．（2）二项式系数先增后减中间项最大=1\*GB3①如果二项式的幂指数SKIPIF1<0是偶数，则中间一项SKIPIF1<0的二项式系数SKIPIF1<0最大；=2\*GB3②如果二项式的幂指数SKIPIF1<0是奇数，则中间两项SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的二项式系数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相等且最大．（3）系数的最大项求SKIPIF1<0展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为SKIPIF1<0，设第SKIPIF1<0项系数最大，应有SKIPIF1<0，从而解出SKIPIF1<0来．3、二项展开式中的系数和问题（1）二项式系数和令SKIPIF1<0，则二项式系数的和为SKIPIF1<0，变形式SKIPIF1<0．（2）奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，从而得到：SKIPIF1<0．（3）若SKIPIF1<0，则①常数项：令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．②各项系数和：令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．一、求解排列应用问题的六种常用方法1、直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；2、优先法：优先安排特殊元素或特殊位置；3、捆绑法：相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列；4、插空法：不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；5、定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列6、间接法：正难则反、等价转化的方法【典例1】贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛在黔东南苗族侗族自治州台江县台盘村开赛.该联赛由台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展演变而来，被网友称为“村BA”.村BA给全国人民展现的不仅是贵州人热爱生活的精神，更展现了如今欣欣向荣的贵州山水人文，同时给贵州的旅游带来巨大的收益.2023年8月20日晚上村BA西南大区赛总决赛落下帷幕，为庆祝比赛顺利结束，主办方设置一场扣篮表演，分别由重庆、贵州、四川、云南代表队每队各选出2名球员参加扣篮表演，贵州队作为东道主，扣篮表演必须在第一位及最后一位，那么一共有（）种表演顺序.A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】现有4男3女共7个人排成一排照相，其中三个女生不全相邻的排法种数为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例3】高三年级某班组织元旦晚会，共准备了甲、乙、丙、丁、戊五个节目，出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相邻），则这样的出场排序有（）A．24种B．40种C．60种D．84种【典例4】为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为（用数字作答）．【典例5】从甲､乙等5人中任选3人参加三个不同项目的比赛，要求每个项目都有人参加，则甲､乙中至少有1人入选的不同参赛方案共有种.二、组合问题的常见类型与处理方法（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．（2）“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．【典例1】现有红色、黄色、蓝色的小球各4个，每个小球上都标有不同的编号.从中任取3个小球，若这3个小球颜色不全相同，且至少有一个红色小球，不同取法有（）A．160种B．220种C．256种D．472种【典例2】2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游．除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（）A．1800B．1080C．720D．360三、分组分配问题的解题思路分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；②部分均匀分组，应注意不要重复；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．（2）分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解．【典例1】将5本不同的书分发给4位同学，其中甲、乙两本书不能同时发给某一位同学，每位同学都发到书，每本书只能给一位同学，则不同的分配方案数为（用数字作答）【典例2】将甲、乙、丙、丁四人安排到篮球与演讲比赛现场进行任务工作，每个比赛现场需要两人，则甲、乙安排在一起的概率为．【典例3】某高校开设了乒乓球，羽毛球，篮球，小提琴，书法五门选修课程可供学习，要求每位同学每学年至多选2门，该校学生小明想用前3学年将五门选修课程选完，则小明的不同选修方式有种.（用数字作答）【典例4】为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设SKIPIF1<0三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（）A．60种B．150种C．180种D．300种四、二项展开式中的特定项求解二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下：（1）求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr(r＝0，1，2，…，n)求通项．（2）列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．（3）求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．【典例1】二项式SKIPIF1<0的展开式中的常数项为.【典例2】SKIPIF1<0的展开式的第4项是.【典例3】SKIPIF1<0的展开式中,有理项是.（用关于x的式子表示）五、三项展开式中某些特定项的系数的求法（1）通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．（2）两次利用二项式定理的通项公式求解．（3）由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．【典例1】SKIPIF1<0的展开式中常数项为.【典例2】在SKIPIF1<0的展开式中，x2项的系数为（）A．30B．45C．60D．90【典例3】下列各式中，不是SKIPIF1<0的展开式中的项是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0六、求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路（1）若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．（2）观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.（3）分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．【典例1】SKIPIF1<0的展开式中，SKIPIF1<0的系数为（）A．200B．40C．120D．80【典例2】SKIPIF1<0的展开式中，常数项为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．180D．300【典例3】在SKIPIF1<0的展开式中，按SKIPIF1<0的升幂排列的第三项为.七、二项式系数的和与各项的系数和问题（1）系数和问题常用“赋值法”求解赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和题的关键点如下：①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1，0，1等．②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值．③求值，根据题意，得出指定项的系数和．（2）二项式系数和：(a＋b)n的展开式中二项式系数的和为Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.【典例1】若SKIPIF1<0，且奇数项二项式系数之和为512，则SKIPIF1<0.【典例2】（多选）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例3】若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.八、二项式系数最大与最小二项式系数先增后减中间项最大（1）如果二项式的幂指数SKIPIF1<0是偶数，则中间一项SKIPIF1<0的二项式系数SKIPIF1<0最大；（2）如果二项式的幂指数SKIPIF1<0是奇数，则中间两项SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的二项式系数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相等且最大．【典例1】SKIPIF1<0的展开式中二项式系数最大的项是（）A．160B．240C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】若SKIPIF1<0的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的SKIPIF1<0项为.【典例3】SKIPIF1<0展开式中二项式系数最大的项的系数为．九、二项展开式系数最大项的求法如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1，))从而解出k来，即得．【典例1】已知SKIPIF1<0的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】已知SKIPIF1<0的展开式中前三项的二项式系数和为SKIPIF1<0，则展开式中系数最大的项为第（）A．SKIPIF1<0项B．SKIPIF1<0项C．SKIPIF1<0项D．SKIPIF1<0项易错点1利用分步乘法原理计数，分步标准错误点拨：仔细区分是“分类”还是“分步”是运用两个原理的关键.两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成n个步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步乘法计数原理.【典例1】5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，且甲乙听同一个讲座，则不同选择的种数是．5．如图，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的5个区域涂色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有种.【典例2】五岳是中国汉文化中五大名山的总称，分别为东岳泰山、西岳华山、中岳嵩山、北岳恒山、南岳衡山.某旅游博主为领略五岳之美，决定用两个月的时间游览完五岳，且每个月只游览五岳中的两大名山或三大名山（五岳只游览一次），则恰好在同一个月游览华山和恒山的概率为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0易错点2数字排列中“0”的位置不明点拨：对于数字排列问题，0是特殊的数字，在解题过程中往往会忽视0不在首位的特殊要求。【典例1】从0，1，…，9中选出三个不同数字组成四位数（其中的一个数字可以出现两次），如5224．则这样的四位数共有个．【典例2】将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0任意排成一行，