新高考一轮复习导学案第32讲 正弦定理、余弦定理的应用（原卷版）

第31讲正弦定理、余弦定理的应用1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．3．方向角：相对于某一正方向的水平角．(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．区分两种角(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．4．坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．1、（2023年高考真题新高考Ⅱ卷）记SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0的对边分别为a，b，c，已知SKIPIF1<0面积为SKIPIF1<0，若D为BC中点，且SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求b，c．1、为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°．就可以计算出A，B两点的距离为____________．A．20eq\r(2)m B．30eq\r(2)m C．40eq\r(2)m D．50eq\r(2)m2、已知△ABC的面积S＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)，则角C的大小为()A.135°B.45°C.60°D.120°3、一块形状近似为三角形的草坪，若其中两角的正切值分别为eq\f(1,4)与eq\f(3,5)，且最长的边为eq\r(17)m，则最短的边为()A.eq\r(3)mB.2eq\r(3)mC.eq\r(2)mD.5m4、在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，sinB＝SKIPIF1<0，S△ABC＝SKIPIF1<0，则b的值为________．考向一利用正弦、余弦定理解决实际问题例1、云台阁，位于镇江西津渡景区，全全落于云台山北峰，建筑形式具有宋､元古建特征.如图，小明同学为测量云台阁的高度，在云台阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为12SKIPIF1<0，在它们的地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，云台阁顶部C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为30°，则小明估算云台阁的高度为（）（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，精确到1SKIPIF1<0）A.42SKIPIF1<0 B.45SKIPIF1<0 C.51SKIPIF1<0 D.57SKIPIF1<0变式1、如图，有一壁画，最高点A处离地面12m，最低点B处离地面7m.若从离地高4m的C处观赏它，若要视角SKIPIF1<0最大，则离墙的距离为（）A.SKIPIF1<0 B.3m C.4m D.SKIPIF1<0变式2、如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心，半径为10eq\r(3)m的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB(不计B离河岸的距离)，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为E．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45°，30°和60°．(1)求烟囱AB的高度；(2)如果要在CE间修一条直路，求CE的长．方法总结：(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．考向二利用正弦、余弦定理解决范围问题例2、在①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知锐角三角形SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，__________，且SKIPIF1<0．（1）求角C的值；（2）求a的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．变式1、某景区的平面图如图所示，其中AB，AC为两条公路，SKIPIF1<0，M，N为公路上的两个景点，测得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，为了拓展旅游业务，拟在景区内建一个观景台P，为了获得最佳观景效果，要求P对M，N的视角SKIPIF1<0.现需要从观景台P到M，N建造两条观光路线PM，PN.（1）求M，N两地间的直线距离；（2）求观光线路SKIPIF1<0长的取值范围.变式2、已知SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0的中点，求SKIPIF1<0的最小值．变式3、在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0SKIPIF1<0，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，且__________.（1）求角SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0是锐角三角形，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.方法总结：一边一对角问题求最值或范围问题，有两种处理方法：(1)利用正弦定理转化成角的函数．(2)利用余弦定理转化成边的函数．考向三利用正弦、余弦定理解决多边形的问题例3、已知在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）求SKIPIF1<0．变式1、重庆奉节小寨天坑景区拥有世界上深度和容积最大的岩溶漏斗，吸引橙子辅导来此参观留影.为了测量天坑边上如图1所示的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点间的距离，现在旁边取两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0测得SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（假设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点在同一平面上，则SKIPIF1<0两点的距离为______米.变式2、在平面四边形ABCD中，∠BAD＝2∠ACB＝4∠BAC，AB＝2，BC＝SKIPIF1<0－SKIPIF1<0，CD＝SKIPIF1<0．（1）求∠ACB的大小；（2）求四边形ABCD的面积．变式3、在SKIPIF1<0中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足SKIPIF1<0．（1）求角A；（2）如图，若SKIPIF1<0，点D是SKIPIF1<0外一点，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，求平面四边形SKIPIF1<0面积的最大值及相应的SKIPIF1<0值．1、在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则角SKIPIF1<0的最大值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02、某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB，先在旗杆底端的正西方点C处测得杆顶的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进20m到达点D处，在D处测得杆顶的仰角为30°，则旗杆的高为（）A．20m B．10m C．SKIPIF1<0m D．SKIPIF1<0m3、如图，SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的平分线SKIPIF1<0交边SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<04、在锐角三角形SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<05、给出以下三个条件：①SKIPIF1<0且SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．在锐角△ABC中，SKIPIF1<