高考数学一轮复习练案61第九章计数原理概率随机变量及其分布第一讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理含解析新人教版

一轮复习精品资料(高中)PAGEPAGE1第九章计数原理、概率、随机变量及其分布第一讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理A组基础巩固一、单选题1．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有(A)A．7种 B．8种C．6种 D．9种〖〖解析〗〗要完成的“一件事”是“至少买一张IC电话卡”，分3类完成：买1张IC卡、买2张IC卡、买3张IC卡，而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事．买1张IC卡有2种方法，买2张IC卡有3种方法，买3张IC卡有2种方法．不同的买法共有2＋3＋2＝7种．2．(2021·四川广安、眉山、内江、遂宁诊断)某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为(B)A．15 B．30C．35 D．42〖〖解析〗〗发言的3人来自3家不同企业且含甲企业的人的情况有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,5)＝20(种)；发言的3人来自3家不同企业且不含甲企业的人的情况有Ceq\o\al(3,5)＝10(种)．所以发言的3人来自3家不同企业的可能情况共有20＋10＝30(种)，故选B.3．(2021·辽宁省大连市模拟)把标号为1,2,3,4的四个小球分别放入标号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有(A)A．18种 B．9种C．6种 D．3种〖〖解析〗〗第一步：放1号球，有Ceq\o\al(1,3)＝3种方法；第二步：将剩余三个球分别放入剩余的三个盒子，有Aeq\o\al(3,3)＝6种方法；故符合题意的放法共有3×6＝18种．故选A.4．(2021·河南质检)从5名大学毕业生中选派4人到甲、乙、丙三个贫困地区支援，要求甲地区2人，乙、丙地区各一人，则不同的选派方法总数为(B)A．40 B．60C．100 D．120〖〖解析〗〗不同的选派方法有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝60种．5．(2011·金华模拟)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有(A)A．12种 B．18种C．24种 D．36种〖〖解析〗〗由分步乘法计数原理，先排第一列，有Aeq\o\al(3,3)种方法，再排第二列，有2种方法，故共有Aeq\o\al(3,3)×2＝12种排列方法，选A.6．(2014·山东)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(B)A．243 B．252C．261 D．279〖〖解析〗〗由分步乘法计数原理知：用0,1，…，9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个数为9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648，则组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252，故选B.7．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是(D)A．48 B．18C．24 D．36〖〖解析〗〗第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个)．8．(2021·四川省自贡市诊断)从1,3,5三个数中选两个数字，从0,2两个数中选一个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为(C)A．6 B．12C．18 D．24〖〖解析〗〗由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇，因此总共有Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(1,2)＋Aeq\o\al(2,3)＝18种．故选C．9．从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为(D)A．56 B．54C．53 D．52〖〖解析〗〗在8个数中任取2个不同的数共有8×7＝56个对数值；但在这56个数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即满足条件的对数值共有56－4＝52(个)．10．(2021·金安区模拟)2016里约奥运会期间，小赵常看的6个电视频道中有2个频道在转播奥运比赛．若小赵这时打开电视，随机打开其中一个频道，若在转播奥运比赛，则停止换台，否则就进行换台，那么，小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有(B)A．6种 B．24种C．36种 D．42种〖〖解析〗〗4×3×2＝24，故选B.11．(2020·定州期末)将“福”“禄”“寿”填入到如图所示的4×4小方格中，每格内只填入一个汉字，且任意的两个汉字即不同行也不同列，则不同的填写方法有(C)A.288种 B．144种C．576种 D．96种〖〖解析〗〗依题意可分为以下3步：(1)先从16个格子中任选一格放入第一个汉字，有16种方法；(2)任意的两个汉字即不同行也不同列，第二个汉字只有9个格子可以放，有9种方法；(3)第三个汉字只有4个格子可以放，有4种方法．根据分步乘法计数原理可得不同的填写方法有16×9×4＝576(种)．12．(2021·河北省唐山市一中冲刺)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(B)A．4种 B．10种C．18种 D．20种〖〖解析〗〗分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有Ceq\o\al(2,4)＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有Ceq\o\al(1,4)＝4种方法，所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．13．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值日，共有5个人，每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值日表共有多少种不同的排法．(B)A．1080 B．1280C．1440 D．2560〖〖解析〗〗完成一件事是安排值日表，因而需一天一天地排，用分步计数原理，分步进行：第一天有5种不同排法，第二天不能与第一天已排的人相同，所以有4种不同排法，依次类推，第三、四、五天都有4种不同排法，所以共有5×4×4×4×4＝1280种不同的排法．二、多选题14．(原创)下列说法正确的是(CD)A．将4封信投入到3个信箱中，共有64种不同的投法B．4只相同的小球放入3个不同的盒子，共有12种不同放法C．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有54种D．用0,1，……，9十个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为328〖〖解析〗〗第1封信可以投入3个信箱中的任意一个，有3种投法；同理，第2,3,4封信各有3种投法．根据分步乘法计数原理，共有3×3×3×3＝34＝81种投法．故A错；将4个小球放入一个盒子有3种方法，将3个小球放入一个盒子，另1小球放另一只盒子有3×2＝6种放法，将2个小球放入一个盒子，另2小球放另一只盒子有3种放法，将2个小球放入一个盒子中，另2个小球分别放入另两个盒子中，有3种方法，故共有15种放法，故B不正确；五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性．故C正确；个位为0的三位偶数有9×8＝72(个)，个位不为0的三位偶数有4×8×8＝256(个)，∴没有重复数字的三位偶数有256＋72＝328(个)．故D正确．三、填空题15．(2021·山东模拟)某元宵灯谜竞猜节目，有6名守擂选手和6名复活选手，从复活选手中挑选一名选手为攻擂者，从守擂选手中挑选1名选手为守擂者，则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有36种．〖〖解析〗〗从6名守擂选手中选1名，选法有Ceq\o\al(1,6)＝6种；复活选手中挑选1名选手，选法有Ceq\o\al(1,6)种．由分步乘法计数原理，不同的构成方式共有6×6＝36种．16．(2021·山东青岛调研)在疫情防控常态化条件下，各地电影院有序开放，某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，防疫要求选出座位的左右两边都是空位，则不同的选法有20种(用数字回答)．〖〖解析〗〗由某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，要求选出座位的左右两边都是空位，可先将其中的7个空位排成一排，其中有6个空隙，再把三个座位放在其中的3个空隙中，共有Ceq\o\al(3,6)＝20种不同方法．故〖答案〗为：20.17．(2021·柳州模拟)4张卡片的正、反面分别写有0与1,2与3,4与5,6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成168个不同的三位数．〖〖解析〗〗解法一：要组成三位数，根据首位、十位、个位应分三步：第一步：首位可放8－1＝7个数；第二步：十位可放6个数；第三步：个位可放4个数．故由分步计数原理，得共可组成7×6×4＝168个不同的三位数．解法二：0,1卡片不参加：Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)；0,1卡片参加：Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)(Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2))．故共有48＋120＝168个．18．(2021·辽宁省大连市模拟)甲、乙等五名志愿者被分配到上海世博会中国馆、英国馆、澳大利亚馆、俄罗斯馆四个不同的岗位服务，每个岗位至少一名志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有72种．(用数字作答)〖〖解析〗〗由题意知本题是一个分步计数问题，设5个志愿者为甲、乙、丙、丁、戊．甲在中国馆、英国馆、澳大利亚馆、俄罗斯馆四个地方选一个，有4种选择，乙在剩下的3个地方选一个，有3种选择，丙、丁、戊三人只能选择剩下的两个地方，每人有2个选择，总共有2×2×2＝8种，这8种里要去掉3个人都选择同一个地方的情况，即8－2＝6，∴方法数为4×3×6＝72种．B组能力提升1．(2021·贵阳模拟)现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数是(A)A．12 B．6C．8 D．16〖〖解析〗〗不同的考试安排方案共有Aeq\o\al(2,4)＝12(种)．2.(2021·江西省萍乡市模拟)如图，给7条线段的5个端点染色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的染色方法种数有(C)A．24 B．48C．96 D．120〖〖解析〗〗由表端点ABECD涂法432与A同色12与A不同色12知不同的涂色方法共有4×3×2×1×(2＋2)＝96(种)，故选C．3．(2021·湖南长沙一中月考)某公司安排甲、乙、丙、丁4人去上海、北京、深圳出差，每人仅出差一个地方，每个地方都需要安排人出差，若不安排甲去北京，则不同的安排方法共有(C)A．18种 B．20种C．24种 D．30种〖〖解析〗〗解法一：若安排一人去北京，共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝18种；若安排两人去北京，共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝6种，总共24种，故选C．解法二：Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)－Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)－Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＝24.4．(2021·云南昆明一中摸底)数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343,12521等．两位数的回文数有11,22,33，……，99共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是(A)A．40 B．30C．20 D．10〖〖解析〗〗由题意，若三位数的回文数是偶数，则末(首)位可能为2,4,6,8.如果末(首)位为2，中间一位数有10种可能，同理可得，如果末(首)位为4或6或8，中间一位数均有10种可能，所以有4×10＝40个，故选A.5．(2021·浙江名校协作体联考)用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为20(用数字作答)．〖〖解析〗〗可用树状图求解(用1表示黑，用0表示白)第九章计数原理、概率、随机变量及其分布第一讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理A组基础巩固一、单选题1．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有(A)A．7种 B．8种C．6种 D．9种〖〖解析〗〗要完成的“一件事”是“至少买一张IC电话卡”，分3类完成：买1张IC卡、买2张IC卡、买3张IC卡，而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事．买1张IC卡有2种方法，买2张IC卡有3种方法，买3张IC卡有2种方法．不同的买法共有2＋3＋2＝7种．2．(2021·四川广安、眉山、内江、遂宁诊断)某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为(B)A．15 B．30C．35 D．42〖〖解析〗〗发言的3人来自3家不同企业且含甲企业的人的情况有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,5)＝20(种)；发言的3人来自3家不同企业且不含甲企业的人的情况有Ceq\o\al(3,5)＝10(种)．所以发言的3人来自3家不同企业的可能情况共有20＋10＝30(种)，故选B.3．(2021·辽宁省大连市模拟)把标号为1,2,3,4的四个小球分别放入标号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有(A)A．18种 B．9种C．6种 D．3种〖〖解析〗〗第一步：放1号球，有Ceq\o\al(1,3)＝3种方法；第二步：将剩余三个球分别放入剩余的三个盒子，有Aeq\o\al(3,3)＝6种方法；故符合题意的放法共有3×6＝18种．故选A.4．(2021·河南质检)从5名大学毕业生中选派4人到甲、乙、丙三个贫困地区支援，要求甲地区2人，乙、丙地区各一人，则不同的选派方法总数为(B)A．40 B．60C．100 D．120〖〖解析〗〗不同的选派方法有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝60种．5．(2011·金华模拟)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有(A)A．12种 B．18种C．24种 D．36种〖〖解析〗〗由分步乘法计数原理，先排第一列，有Aeq\o\al(3,3)种方法，再排第二列，有2种方法，故共有Aeq\o\al(3,3)×2＝12种排列方法，选A.6．(2014·山东)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(B)A．243 B．252C．261 D．279〖〖解析〗〗由分步乘法计数原理知：用0,1，…，9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个数为9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648，则组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252，故选B.7．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是(D)A．48 B．18C．24 D．36〖〖解析〗〗第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个)．8．(2021·四川省自贡市诊断)从1,3,5三个数中选两个数字，从0,2两个数中选一个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为(C)A．6 B．12C．18 D．24〖〖解析〗〗由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇，因此总共有Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(1,2)＋Aeq\o\al(2,3)＝18种．故选C．9．从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为(D)A．56 B．54C．53 D．52〖〖解析〗〗在8个数中任取2个不同的数共有8×7＝56个对数值；但在这56个数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即满足条件的对数值共有56－4＝52(个)．10．(2021·金安区模拟)2016里约奥运会期间，小赵常看的6个电视频道中有2个频道在转播奥运比赛．若小赵这时打开电视，随机打开其中一个频道，若在转播奥运比赛，则停止换台，否则就进行换台，那么，小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有(B)A．6种 B．24种C．36种 D．42种〖〖解析〗〗4×3×2＝24，故选B.11．(2020·定州期末)将“福”“禄”“寿”填入到如图所示的4×4小方格中，每格内只填入一个汉字，且任意的两个汉字即不同行也不同列，则不同的填写方法有(C)A.288种 B．144种C．576种 D．96种〖〖解析〗〗依题意可分为以下3步：(1)先从16个格子中任选一格放入第一个汉字，有16种方法；(2)任意的两个汉字即不同行也不同列，第二个汉字只有9个格子可以放，有9种方法；(3)第三个汉字只有4个格子可以放，有4种方法．根据分步乘法计数原理可得不同的填写方法有16×9×4＝576(种)．12．(2021·河北省唐山市一中冲刺)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(B)A．4种 B．10种C．18种 D．20种〖〖解析〗〗分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有Ceq\o\al(2,4)＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有Ceq\o\al(1,4)＝4种方法，所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．13．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值日，共有5个人，每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值日表共有多少种不同的排法．(B)A．1080 B．1280C．1440 D．2560〖〖解析〗〗完成一件事是安排值日表，因而需一天一天地排，用分步计数原理，分步进行：第一天有5种不同排法，第二天不能与第一天已排的人相同，所以有4种不同排法，依次类推，第三、四、五天都有4种不同排法，所以共有5×4×4×4×4＝1280种不同的排法．二、多选题14．(原创)下列说法正确的是(CD)A．将4封信投入到3个信箱中，共有64种不同的投法B．4只相同的小球放入3个不同的盒子，共有12种不同放法C．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有54种D．用0,1，……，9十个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为328〖〖解析〗〗第1封信可以投入3个信箱中的任意一个，有3种投法；同理，第2,3,4封信各有3种投法．根据分步乘法计数原理，共有3×3×3×3＝34＝81种投法．故A错；将4个小球放入一个盒子有3种方法，将3个小球放入一个盒子，另1小球放另一只盒子有3×2＝6种放法，将2个小球放入一个盒子，另2小球放另一只盒子有3种放法，将2个小球放入一个盒子中，另2个小球分别放入另两个盒子中，有3种方法，故共有15种放法，故B不正确；五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性．故C正确；个位为0的三位偶数有9×8＝72(个)，个位不为0的三位偶数有4×8×8＝256(个)，∴没有重复数字的三位偶数有256＋72＝328(个)．故D正确．三、填空题15．(2021·山东模拟)某元宵灯谜竞猜节目，有6名守擂选手和6名复活选手，从复活选手中挑选一名选手为攻擂者，从守擂选手中挑选1名选手为守擂者，则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有36种．〖〖解析〗〗从6名守擂选手中选1名，选法有Ceq\o\al(1,6)＝6种；复活选手中挑选1名选手，选法有Ceq\o\al(1,6)种．由分步乘法计数原理，不同的构成方式共有6×6＝36种．16．(2021·山东青岛调研)在疫情防控常态化条件下，各地电影院有序开放，某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，防疫要求选出座位的左右两边都是空位，则不同的选法有20种(用数字回答)．〖〖解析〗〗由某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，要求选出座位的左右两边都是空位，可先将其中的7个空位排成一排，其中有6个空隙，再把三个座位放在其中的3个空隙中，共有Ceq\o\al(3,6)＝20种不同方法．故〖答案〗为：20.17．(2021·柳州模拟)4张卡片的正、反面分别写有0与1,2与3,4与5,6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成168个不同的三位数．〖〖解析〗〗解法一：要组成三位数，根据首位、十位、个位应分三步：第一步：首位可放8－1＝7个数；第二步：十位可放6个数；第三步：个位可放4个数．故由分步计数原理，得共可组成7×6×4＝168个不同的三位数．解法二：0,1卡片不参加：Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)；0,1卡片参加：Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)(Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2))．故共有48＋120＝168个．18．(2021·辽宁省大连市模拟)甲、乙等五名志愿者被分配到上海世博会中国馆、英国馆、澳大利亚馆、俄罗斯馆四个不同的岗位服务，每个岗位至少一名志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有72种．(用数字作答)〖〖解析〗〗由题意知本题是一个分步计数问题，设5个志愿者为甲、乙、丙、丁、戊．甲在中国馆、英国馆、澳大利亚馆、俄罗斯馆四个地方选一个，有4种选择，乙在剩下的3个地方选一个，有3种选择，丙、丁、戊三人只能选择剩下的两个地方，每人有2个选择，总共有