高考数学一轮复习练案34第五章数列第三讲等比数列及其前n项和含解析新人教版

一轮复习精品资料(高中)PAGEPAGE1第三讲等比数列及其前n项和A组基础巩固一、单选题1．在等比数列{an}中，a1＝eq\f(1,2)，q＝eq\f(1,2)，an＝eq\f(1,32)，则项数n为(C)A．3 B．4C．5 D．62．在等比数列{an}中，a2a6＝16，a4＋a8＝8，则eq\f(a20,a10)等于(A)A．1 B．－3C．1或－3 D．－1或3〖〖解析〗〗由a2a6＝16，得aeq\o\al(2,4)＝16⇒a4＝±4.又a4＋a8＝8，可得a4(1＋q4)＝8，∵q4>0，∴a4＝4.∴q2＝1，eq\f(a20,a10)＝q10＝1.3．(2021·陕西西安中学六模)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，Sn是它的前n项和．若a2a6＝4，且a4＋2a7＝eq\f(5,2)，则S5＝(C)A．29 B．30C．31 D．32〖〖解析〗〗本题考查等比数列性质及基本量的运算．∵a2a6＝aeq\o\al(2,4)＝4，且an>0，∴a4＝2.又a4＋2a7＝eq\f(5,2)，∴a7＝eq\f(1,4).设{an}的公比为q，则eq\f(a7,a4)＝q3＝eq\f(1,8)，q＝eq\f(1,2)，∴an＝a4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－4)＝25－n，∴S5＝16＋8＋4＋2＋1＝31.4．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝A．12 B．13C．14 D．15〖〖解析〗〗因为数列{an}是各项均为正数的等比数列，所以a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9，a10a11a12，…也成等比数列．不妨令b1则公比q＝eq\f(b2,b1)＝eq\f(12,4)＝3.所以bm＝4×3m－1.令bm＝324，即4×3m－1＝324解得m＝5，所以b5＝324，即a13a14a15所以n＝14.5．(2021·福建漳州质检)已知数列{an}为等比数列，且a2a10＝4a6，Sn为等差数列{bn}的前n项和，且S6＝S10，a6＝b7，则b9＝(BA．eq\f(4,3) B．－eq\f(4,3)C．－eq\f(8,3) D．－4〖〖解析〗〗本题考查等比数列、等差数列的通项公式及性质．∵{an}为等比数列，且a2a10＝4a6，∴aeq\o\al(2,6)＝4a6，解得a6＝4.设等差数列{bn}的公差为d，∵S6＝S10，∴b7＋b8＋b9＋b10＝0，则b7＋b10＝0.∵a6＝b7＝4，∴b10＝－4，∴3d＝b10－b7＝－4－4＝－8，∴d＝－eq\f(8,3)，∴b9＝b7＋2d＝4＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)))＝－eq\f(4,3).故选B.6．(2021·河南省信阳高中、商丘一中高三上学期第一次联考)设等比数列{an}的公比为q>0，且q≠1，Sn为数列{an}前n项和，记Tn＝eq\f(an,Sn)，则(D)A．T3≤T6 B．T3<T6C．T3≥T6 D．T3>T6〖〖解析〗〗T6－T3＝eq\f(a6（1－q）,a1（1－q6）)－eq\f(a3（1－q）,a1（1－q3）)＝eq\f(q5（1－q）,1－q6)－eq\f(q2（1－q）,1－q3)＝eq\f(－q2（1－q）,1－q6)，由于q>0且q≠1，所以1－q与1－q6同号，所以T6－T3<0，∴T6<T3，故选D.二、多选题7．(2021·辽宁大连八中模拟改编)记等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝6，则S4＝(AC)A．－10 B．－8C．8 D．10〖〖解析〗〗设等比数列的公比为q，因为a1＝2，S3＝6，所以S3＝2＋2q＋2q2＝6，则q2＋q－2＝0，所以q＝1或q＝－2.当q＝1时，S4＝S3＋2＝8；当q＝－2时，S4＝S3＋a1q3＝6＋2×(－2)3＝－10，故选A、C.8．(2020·山西大同期中改编)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是(BDA．a＝eq\f(50,7)B．c＝eq\f(50,7)C．a，b，c依次成公比为2的等比数列D．a，b，c依次成公比为eq\f(1,2)的等比数列〖〖解析〗〗由题意得a，b，c依次成公比为eq\f(1,2)的等比数列，且c＋2c＋4c＝50，即c＝eq\f(50,7)，故选B、D.三、填空题9．(2021·四川南充一诊)数列{an}满足：log2an＋1＝1＋log2an，若a3＝10，则a8＝320．〖〖解析〗〗由题意知log2an＋1＝log2(2an)，∴an＋1＝2an，∴{an}是公比为2的等比数列，又a3＝10，∴a8＝a3·25＝320.10．(2021·北京东城区期末)已知{an}是各项均为正数的等比数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a2＋2a3＝6，则公比q＝eq\f(1,2)，S4＝eq\f(45,4)．〖〖解析〗〗本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式．由题意，数列{an}是各项均为正数的等比数列，由a1＝6，a2＋2a3＝6，可得a1q＋2a1q2＝6q＋12q2＝6，即2q2＋q－1＝0，解得q＝eq\f(1,2)或q＝－1(舍去)．由等比数列的前n项和公式，可得S4＝eq\f(6×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(4))),1－\f(1,2))＝eq\f(45,4).11．等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝eq\f(7,4)，S6＝eq\f(63,4)，则a8＝32．〖〖解析〗〗由题意知S3＝a1＋a2＋a3＝eq\f(7,4)，a4＋a5＋a6＝S6－S3＝eq\f(63,4)－eq\f(7,4)＝14＝eq\f(7,4)·q3，∴q＝2.又a1＋2a1＋4a1＝eq\f(7,4)，∴a1＝eq\f(1,4)，∴a8＝eq\f(1,4)×27＝32.12．(此题为更换后新题)(2021·长春市高三一检)等比数列{an}的首项为a1＝－1，前n项和为Sn，若eq\f(S10,S5)＝eq\f(242,243)，则公比q＝－eq\f(1,3)．〖〖解析〗〗由eq\f(S10,S5)＝eq\f(242,243)，a1＝－1，知公比q≠1，eq\f(S10－S5,S5)＝－eq\f(1,243).由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－eq\f(1,243)，所以q＝－eq\f(1,3).12．(此题为发现的重题，更换新题见上题)(2021·长春市高三一检)等比数列{an}的首项为a1＝－1，前n项和为Sn，若eq\f(S10,S5)＝eq\f(31,32)，则公比q＝－eq\f(1,2)．〖〖解析〗〗由eq\f(S10,S5)＝eq\f(31,32)，a1＝－1，知公比q≠1，eq\f(S10－S5,S5)＝－eq\f(1,32).由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－eq\f(1,32)，所以q＝－eq\f(1,2).四、解答题13．(2021·安徽联考)已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4.(1)证明：{Sn－n＋2}为等比数列；(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.〖〖解析〗〗(1)证明：由题意知Sn－2(Sn－Sn－1)＝n－4(n≥2)，即Sn＝2Sn－1－n＋4，所以Sn－n＋2＝2〖Sn－1－(n－1)＋2〗，又易知a1＝3，所以S1－1＋2＝4，所以{Sn－n＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．(2)由(1)知Sn－n＋2＝2n＋1，所以Sn＝2n＋1＋n－2，于是Tn＝(22＋23＋…＋2n＋1)＋(1＋2＋…＋n)－2n＝eq\f(4（1－2n）,1－2)＋eq\f(n（n＋1）,2)－2n＝eq\f(2n＋3＋n2－3n－8,2).14．(2021·陕西榆林一模)已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，b1＝eq\f(1,2)，2an＋1＝an＋eq\f(1,2)bn，2bn＋1＝eq\f(1,2)an＋bn.(1)证明：数列{an＋bn}，{an－bn}为等比数列；(2)记Sn为数列{an}的前n项和，证明：Sn<eq\f(10,3).〖〖解析〗〗本题考查等比数列的证明，前n项和公式，放缩法证明不等式．(1)证明：依题有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2an＋1＝an＋\f(1,2)bn，,2bn＋1＝\f(1,2)an＋bn，))两式相加得an＋1＋bn＋1＝eq\f(3,4)(an＋bn)，又a1＋b1＝eq\f(3,2)，∴{an＋bn}是首项为eq\f(3,2)，公比为eq\f(3,4)的等比数列．两式相减得an＋1－bn＋1＝eq\f(1,4)(an－bn)，又a1－b1＝eq\f(1,2)，∴{an－bn}是首项为eq\f(1,2)，公比为eq\f(1,4)的等比数列．(2)由(1)可得an＋bn＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(n－1)①，an－bn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(n－1)②，两式相加得an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(n)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(n)，故Sn＝eq\f(\f(1,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4n))),1－\f(1,4))＋eq\f(\f(3,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3n,4n))),1－\f(3,4))<eq\f(\f(1,4),1－\f(1,4))＋eq\f(\f(3,4),1－\f(3,4))＝eq\f(10,3).B组能力提升1．(2021·安徽六安一中调研)已知1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则eq\f(a1＋a2,b2)的值是(C)A．eq\f(5,2)或－eq\f(5,2) B．－eq\f(5,2)C.eq\f(5,2) D．eq\f(1,2)〖〖解析〗〗由题意得a1＋a2＝5，beq\o\al(2,2)＝4，又b2与第一项的符号相同，所以b2＝2.所以eq\f(a1＋a2,b2)＝eq\f(5,2).故选C.2．(2021·湖北省部分重点中学高三调考)《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍，问几何日而长等？”意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍，若蒲、莞长度相等，则所需时间约为(C)参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，结果精确到0.1.A．2.2天 B．2.4天C．2.6天 D．2.8天〖〖解析〗〗设蒲每天的长度构成等比数列{an}，其首项为a1＝3，公比为eq\f(1,2)，前n项和为An.设莞每天的长度构成等比数列{bn}，其首项为b1＝1，公比为2，前n项和为Bn.则An＝eq\f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))，Bn＝eq\f(1－2n,1－2).设蒲、莞长度相等时所需时间为x天，则eq\f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2x))),1－\f(1,2))＝eq\f(1－2x,1－2)，化简得2x＋eq\f(6,2x)＝7，计算得出2x＝6，2x＝1(舍去)．所以x＝eq\f(lg6,lg2)＝1＋eq\f(lg3,lg2)≈2.6.则估计2.6天后蒲、莞长度相等．故选C.3．(多选题)(2021·海南海口模拟)已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3.若设其公比为q，前n项和为Sn，则(ABDA．q＝2 B．an＝2nC．S10＝2047 D．an＋an＋1<an＋2〖〖解析〗〗本题考查等比数列基本量的计算．因为a1＝2，a4＝2a2＋a3，公比为q，所以2q3＝4q＋2q2，得q2－q－2＝0，解得q＝2(负值舍去)，故A正确；an＝2×2n－1＝2n，故B正确；Sn＝eq\f(2×（2n－1）,2－1)＝2n＋1－2，所以S10＝2046，故C错误；an＋an＋1＝2n＋2×2n＝3an，而an＋2＝4an>3an，故D正确．故选ABD.4．(多选题)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a9a10>1，eq\f(a9－1,a10－1)<0，则下列结论正确的是(AD)A．0<q<1 B．a10a11>C．Sn的最大值为S10 D．Tn的最大值为T9〖〖解析〗〗由题意得a9>1>a10>a11…，∴0<q<1，a10a11<1，Sn没有最大值，Tn最大，故选AD5．(2020·3月份北京市高考适应性测试)已知{an}是公比为q的无穷等比数列，其前n项和为Sn，满足a3＝12，．是否存在正整数k，使得Sk>2020？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由．从①q＝2，②q＝eq\f(1,2)，③q＝－2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。〖〖解析〗〗当q＝2时，a1＝3，an＝3·2n－1，Sn＝eq\f(3－3·2n,1－2)＝3·2n－3.由3·2k－3>2020得2k>674eq\f(1,3)，∵29＝512，210＝1024，k∈N＋，kmin＝10.当q＝eq\f(1,2)时，a1＝48，an＝48·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)，Sn＝eq\f(48－48·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(n),1－\f(1,2))＝96－96·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n).由96－96·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(k)>2020得－eq\f(481,24)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(k)，不等式无解．此时不存在．当q＝－2时，a1＝3，an＝3·(－2)n－1，Sn＝eq\f(3－3·（－2）n,1－（－2）)＝1－(－2)n.由1－(－2)k>2020得(－2)k<－2019，∵(－2)9＝－512，(－2)10＝1024，(－2)11＝－2048，k∈N＋，kmin＝11.第三讲等比数列及其前n项和A组基础巩固一、单选题1．在等比数列{an}中，a1＝eq\f(1,2)，q＝eq\f(1,2)，an＝eq\f(1,32)，则项数n为(C)A．3 B．4C．5 D．62．在等比数列{an}中，a2a6＝16，a4＋a8＝8，则eq\f(a20,a10)等于(A)A．1 B．－3C．1或－3 D．－1或3〖〖解析〗〗由a2a6＝16，得aeq\o\al(2,4)＝16⇒a4＝±4.又a4＋a8＝8，可得a4(1＋q4)＝8，∵q4>0，∴a4＝4.∴q2＝1，eq\f(a20,a10)＝q10＝1.3．(2021·陕西西安中学六模)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，Sn是它的前n项和．若a2a6＝4，且a4＋2a7＝eq\f(5,2)，则S5＝(C)A．29 B．30C．31 D．32〖〖解析〗〗本题考查等比数列性质及基本量的运算．∵a2a6＝aeq\o\al(2,4)＝4，且an>0，∴a4＝2.又a4＋2a7＝eq\f(5,2)，∴a7＝eq\f(1,4).设{an}的公比为q，则eq\f(a7,a4)＝q3＝eq\f(1,8)，q＝eq\f(1,2)，∴an＝a4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－4)＝25－n，∴S5＝16＋8＋4＋2＋1＝31.4．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝A．12 B．13C．14 D．15〖〖解析〗〗因为数列{an}是各项均为正数的等比数列，所以a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9，a10a11a12，…也成等比数列．不妨令b1则公比q＝eq\f(b2,b1)＝eq\f(12,4)＝3.所以bm＝4×3m－1.令bm＝324，即4×3m－1＝324解得m＝5，所以b5＝324，即a13a14a15所以n＝14.5．(2021·福建漳州质检)已知数列{an}为等比数列，且a2a10＝4a6，Sn为等差数列{bn}的前n项和，且S6＝S10，a6＝b7，则b9＝(BA．eq\f(4,3) B．－eq\f(4,3)C．－eq\f(8,3) D．－4〖〖解析〗〗本题考查等比数列、等差数列的通项公式及性质．∵{an}为等比数列，且a2a10＝4a6，∴aeq\o\al(2,6)＝4a6，解得a6＝4.设等差数列{bn}的公差为d，∵S6＝S10，∴b7＋b8＋b9＋b10＝0，则b7＋b10＝0.∵a6＝b7＝4，∴b10＝－4，∴3d＝b10－b7＝－4－4＝－8，∴d＝－eq\f(8,3)，∴b9＝b7＋2d＝4＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)))＝－eq\f(4,3).故选B.6．(2021·河南省信阳高中、商丘一中高三上学期第一次联考)设等比数列{an}的公比为q>0，且q≠1，Sn为数列{an}前n项和，记Tn＝eq\f(an,Sn)，则(D)A．T3≤T6 B．T3<T6C．T3≥T6 D．T3>T6〖〖解析〗〗T6－T3＝eq\f(a6（1－q）,a1（1－q6）)－eq\f(a3（1－q）,a1（1－q3）)＝eq\f(q5（1－q）,1－q6)－eq\f(q2（1－q）,1－q3)＝eq\f(－q2（1－q）,1－q6)，由于q>0且q≠1，所以1－q与1－q6同号，所以T6－T3<0，∴T6<T3，故选D.二、多选题7．(2021·辽宁大连八中模拟改编)记等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝6，则S4＝(AC)A．－10 B．－8C．8 D．10〖〖解析〗〗设等比数列的公比为q，因为a1＝2，S3＝6，所以S3＝2＋2q＋2q2＝6，则q2＋q－2＝0，所以q＝1或q＝－2.当q＝1时，S4＝S3＋2＝8；当q＝－2时，S4＝S3＋a1q3＝6＋2×(－2)3＝－10，故选A、C.8．(2020·山西大同期中改编)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是(BDA．a＝eq\f(50,7)B．c＝eq\f(50,7)C．a，b，c依次成公比为2的等比数列D．a，b，c依次成公比为eq\f(1,2)的等比数列〖〖解析〗〗由题意得a，b，c依次成公比为eq\f(1,2)的等比数列，且c＋2c＋4c＝50，即c＝eq\f(50,7)，故选B、D.三、填空题9．(2021·四川南充一诊)数列{an}满足：log2an＋1＝1＋log2an，若a3＝10，则a8＝320．〖〖解析〗〗由题意知log2an＋1＝log2(2an)，∴an＋1＝2an，∴{an}是公比为2的等比数列，又a3＝10，∴a8＝a3·25＝320.10．(2021·北京东城区期末)已知{an}是各项均为正数的等比数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a2＋2a3＝6，则公比q＝eq\f(1,2)，S4＝eq\f(45,4)．〖〖解析〗〗本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式．由题意，数列{an}是各项均为正数的等比数列，由a1＝6，a2＋2a3＝6，可得a1q＋2a1q2＝6q＋12q2＝6，即2q2＋q－1＝0，解得q＝eq\f(1,2)或q＝－1(舍去)．由等比数列的前n项和公式，可得S4＝eq\f(6×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(4))),1－\f(1,2))＝eq\f(45,4).11．等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝eq\f(7,4)，S6＝eq\f(63,4)，则a8＝32．〖〖解析〗〗由题意知S3＝a1＋a2＋a3＝eq\f(7,4)，a4＋a5＋a6＝S6－S3＝eq\f(63,4)－eq\f(7,4)＝14＝eq\f(7,4)·q3，∴q＝2.又a1＋2a1＋4a1＝eq\f(7,4)，∴a1＝eq\f(1,4)，∴a8＝eq\f(1,4)×27＝32.12．(此题为更换后新题)(2021·长春市高三一检)等比数列{an}的首项为a1＝－1，前n项和为Sn，若eq\f(S10,S5)＝eq\f(242,243)，则公比q＝－eq\f(1,3)．〖〖解析〗〗由eq\f(S10,S5)＝eq\f(242,243)，a1＝－1，知公比q≠1，eq\f(S10－S5,S5)＝－eq\f(1,243).由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－eq\f(1,243)，所以q＝－eq\f(1,3).12．(此题为发现的重题，更换新题见上题)(2021·长春市高三一检)等比数列{an}的首项为a1＝－1，前n项和为Sn，若eq\f(S10,S5)＝eq\f(31,32)，则公比q＝－eq\f(1,2)．〖〖解析〗〗由eq\f(S10,S5)＝eq\f(31,32)，a1＝－1，知公比q≠1，eq\f(S10－S5,S5)＝－eq\f(1,32).由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－eq\f(1,32)，所以q＝－eq\f(1,2).四、解答题13．(2021·安徽联考)已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4.(1)证明：{Sn－n＋2}为等比数列；(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.〖〖解析〗〗(1)证明：由题意知Sn－2(Sn－Sn－1)＝n－4(n≥2)，即Sn＝2Sn－1－n＋4，所以Sn－n＋2＝2〖Sn－1－(n－1)＋2〗，又易知a1＝3，所以S1－1＋2＝4，所以{Sn－n＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．(2)由(1)知Sn－n＋2＝2n＋1，所以Sn＝2n＋1＋n－2，于是Tn＝(22＋23＋…＋2n＋1)＋(1＋2＋…＋n)－2n＝eq\f(4（1－2n）,1－2)＋eq\f(n（n＋1）,2)－2n＝eq\f(2n＋3＋n2－3n－8,2).14．(2021·陕西榆林一模)已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，b1＝eq\f(1,2)，2an＋1＝an＋eq\f(1,2)bn，2bn＋1＝eq\f(1,2)an＋bn.(1)证明：数列{an＋bn}，{an－bn}为等比数列；(2)记Sn为数列{an}的前n项和，证明：Sn<eq\f(10,3).〖〖解析〗〗本题考查等比数列的证明，前n项和公式，放缩法证明不等式．(1)证明：依题有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2an＋1＝an＋\f(1,2)bn，,2bn＋1＝\f(1,2)an＋bn，))两式相加得an＋1＋bn＋1＝eq\f(3,4)(an＋bn)，又a1＋b1＝eq\f(3,2)，∴{an＋bn}是首项为eq\f(3,2)，公比为eq\f(3,4)的等比数列．两式相减得an＋1－bn＋1＝eq\f(1,4)(an－bn)，又a1－b1＝eq\f(1,2)，∴{an－bn}是首项为eq\f(1,2)，公比为eq\f(1,4)的等比数列．(2)由(1)可得an＋bn＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(n－1)①，an－bn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(n－1)②，两式相加得an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(n)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(n)，故Sn＝eq\f(\f(1,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4n))),1－\f(1,4))＋eq\f(\f(3,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3n,4n))),1－\f(3,4))<eq\f(\f(1,4),1－\f(1,4))＋eq\f(\f(3,4),1－\f(3,4))＝eq\f(10,3).B组能力提升1．(2021·安徽六安一中调研)已知1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则eq\f(a1＋a2,b2)的值是(C)A．eq\f(5,2)或－eq\f(5,2) B．－eq\f(5,2)C.eq\f(5,2) D．eq\f(1,2)〖〖解析〗〗由题意得a1＋a2＝5，beq\o\al(2,2)＝4，又b2与第一项的符号相同，所以b2＝2.所以eq\f(a1＋a2,b2)＝eq\f(5,2).故选C.2．(2021·湖北省部分重点中学高三调考)《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍，问几何日而长等？”意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍，若蒲、莞长度相等，则所需时间约为(C)参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，结果精确到0.1.A．2.2天 B．2.4天C．2.6天 D．2.8天〖〖解析〗〗设蒲每天的长度构成等比数列{an}，其首项为a1＝3，公比为eq\f(1,2)，前n项和为An.设莞每天的长度构成等比数列{bn}，其首项为b1＝1，公比为2，前n项和为Bn.则An＝eq\f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))，Bn＝eq\f(1－2n,1－2).设蒲、莞长度相等时所需时间为x天，则eq\f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2x))),1－\f(1,2))＝eq\f(1－2x,1－2)，化简得2x＋eq\f(6,2x)＝7，计算得出2x＝6，2x＝1(舍去)．所以x＝eq\f(lg6,