2023北师大版新教材高中数学选择性必修第二册同步练习-第一章 数列综合拔高练

2023北师大版新教材高中数学选择性必修第二册

第一章数列

综合拔（W）练

五年高考练

考点1等差数列及其应用

1.（2022新高考n,3）图1是中国古代建筑中的举架结构,AA',BB，,CC',DD'是桁相

邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，

其中DDi,CCi,BBi,AAi是举QDi,DCi,CBi,BAi是相等的步相邻桁的举步之比分

别为黑=05察=ki,等=k2,箸=k3.已知ki,k2,k3成公差为0.1的等差数列，且直

UU\L/CIGDI

线OA的斜率为0.725厕1<3=（）

图1图2

A.0.75B.0.8

C.0.85D.0.9

2.（2022新高考1,17）记Sn为数列0｝的前n项和，已知ai=L恃是公差为驹等

差数列.

Q）求｛an｝的通项公式；

（2）证明:工+工+...+!<2.

。2an

3.(2021全国甲理,18)已知数列&｝的各项均为正数记Sn为&｝的前n项和，从下

面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.

①数列｛an淀等差数列;②数列｛房｝是等差数列;③d2=3ai.

注:若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

4.(2021全国乙理,19)记Sn为数列同｝的前n项和,bn为数列0｝的前n项积，已

知卷+止=2.

Snbn

(1)证明:数列｛&｝是等差数列；

(2)求｛an｝的通项公式.

考点2等比数列及其应用

全国乙理已知等比数歹」面｝的前项和为启厕

5.(2022,8)131682a=42a6=()

A.14B.12

C.6D.3

6.(2022北京,15)已知数列0｝的各项均为正数其前n项和Sn满足

an£=9(n=L2,...).给出下列四个结论:

①&｝的第2项小于3;

②｛an｝为等比数列；

③｛加｝为递减数列；

④｛an｝中存在小于击的项.

其中所有正确结论的序号是.

全国设&｝是公比不为的等比数列为的等差中项.

7.(20201,17)1J,aia2,a3

(1)求｛aj的公比;

⑵若ai=l,求数列｛naj的前n项和.

课标全国已知数歹」｛和｛｝满足

8.(2019n,19)iajbnai=l,bi=0,4an+i=3an-

bn+4,4bn+i=3bn-an-4.

⑴证明:｛an+bn淀等比数列｛a「bn｝是等差数列；

(2)求｛an｝和｛bn｝的通项公式.

考点3数列的综合应用

9.（2021全国新高考1,16）某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿

纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dmxl2dm的长方形纸，对折1次共可以

得至I」10dmxl2dm,20dmx6dm两种规格的图形，它们的面积之和Si=240

dm"对折2次共可以得到5dmxl2dm,10dmx6dm,20dmx3dm三种规

格的图形它们的面积之和S2=180dm2以此类推.则对折4次共可以得至怀同规

n

格图形的种数为；如果对折n次，那么ISk=dm2.

k=l

an+l,n为奇数,

10.（2021全国新高考1,17）已知数歹i」｛an｝满足ai=lzan+i=

an+2,n为偶数.

⑴记bn=a2n,写出bl,b2,并求数列｛bn｝的通项公式；

（2）求｛an｝的前20项和.

11.（2020全国新高考1,18）已知公比大于1的等比数列3｝满足

32+34=20,33=8.

Q）求｛an｝的通项公式；

（2）记bm为｛an｝在区间（0,m］（m£N+）中的项的个数求数列｛bm｝的前100项和

Sioo.

12.(2021全国乙文,19)设&｝是首项为1的等比数列，数列｛&｝满足bn=等.已知

ai,3a2,9a3成等差数列.

(1)求同｝和｛bn｝的通项公式;

(2)记Sn和Tn分别为｛加｝和｛bn｝的前n项和.证明:Tn嘤

考点4数学归纳法*

13.(2020全国印,17)设数列｛an｝满足ai=3,an+i=3an-4n.

⑴计算a"为猜想同｝的通项公式并加以证明；

(2)求数列｛2昭/的前n项和Sn.

三年模拟练

应用实践

1.（2021广东深圳翠园中学月考）设a>0,b>0,lga是lg4a与lg2b的等差中项,

贝！J|+梆］最小值为（）

A.2V2B.3

C.9D.3V2

2.侈选）（2021湖北部分重点中学期末）设数列｛an｝,｛>｝的前n项和分别为

Sn,Tn,ai=LSn+l=WSn,且bn=3-，则下列结论正确的是（）

nanan-i-2

2

A.a2020=2020B.SB”

C.bn=l--^—D.|<Tn-n<^

n（n+2）34

3.（多选）（2022福建福州第一中学期末）已知等差数列｛an｝与等比数列｛&｝的前n

项和分别为Sn,Tn,则下列结论正确的有（）

A.数列｛2而｝一定是等比数列

B.Tn可能为2n+2

C.数列｛?｝一定是等差数列

D.数列｛购｝一定是等比数列

4.（多选）（2020广东中山期末）意大利数学家列昂纳多•斐波那契是第一个研究了

印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为最美的数列，斐波那契数列

｛an｝满足ai=La2=l,an=an-i+an-2（n23,ri£N+）若将该数列中的每一项按照如图

所示的方法放进格子里,每个小格子的边长为L记前n项所占的格子的面积之和

为Sn,每段螺旋线与其所在的正方形围成的扇形面积为金,则下列结论正确的是

()

A・Sn+i=W+i+an+ian

B.ai+a2+a3+.・・+an=加+2-1

C.ai+a3+as+...+a2n-i—a2n-l

D.4(Cn-Cn-i)=TTan-2an+i(n>3)

5.(2021安徽示范高中培优联盟联考)已知^ABC中,tanA,sinB,cosB成公比为g

的等比数列，则tanC的值为.

6.(2022安徽芜湖期末)已知数列斜｝满足an虫;?eN定义:使

ara203•…6(定N+)为整数的k叫作"幸福数"，则区间［L2整2］内所有"幸福

数"的和为.

7.(2021广东汕头金山中学南区学校期末)已知等差数列｛an｝的公差为d(dwO),前

n项和为Sn,且满足.

⑴求an；

⑵设bn=—数列｛bn｝的前n项和为Tn,求证:Tn<1.

anan+lJ

从①Sio=5(aio+1)；②a皿2,a6成等比数列;③S5=35这三个条件中任选两个补充

到题干中的横线处，并作答.

8.(2021浙南名校联盟期末)已知数列｛an｝的各项均为正数,记数列｛an｝的前n项和

为Sn,数歹I」｛忌｝的前n项和为Tn,且3Tn=S/+2Sn,n£N+.

⑴求ai的值及数列｛an｝的通项公式；

(2)若bn=-^77,求证:b2+b3+...+bn碍

an+1+l21

迁移创新

9.

张敏同学利用暑假时间到一家手机卖场勤工俭学，该手机卖场向她提供了三种

付酬方案：

方案一，每天支付50元，没有奖金；

方案二，每天底薪32元，另有奖金，第一天没有奖金，第二天奖金2元，以后每天支

付的薪酬中奖金比前一天的奖金多2元；

方案三，每天无底薪，只有奖金，第一天奖金0.4元，以后每天支付的奖金是前一天

奖金的1.5倍.

⑴工作n(nw[L61],n£N+)天,记三种方案所得钱数依次为An、Bn、品,写出An、

Bn、Cn关于n的表达式；

(2)若张敏同学决定从前两种方案中选择一种，则她选择哪种方案所得薪酬更高？

(3)若张敏同学在暑假期间共工作20天,则她选择哪种方案更合适？

20

©*3325.26.

答案与分层梯度式解析

综合拔高练

五年高考练

l.Pv,ODi=DCi=CBi=BAi=a,

则CCi=kia,BBi=k2a,AAi=k3a,DDi=0.5a,

所以A的坐标为(4a,kia+k2a+k3a+0.5a),

所以koA_Zcia+Zc2a+^3a+0-5a-的+*2+矽+0.5_0725

所以ki+k2+k3+0.5=2.9.

因为ki,k2,k3成公差为0.1的等差数列，

所以ki+k2+k3+0.5=3k3-0.3+0.5=2.9,

所以k3=09故选D.

2.解析(1)解法一:依题意得,Si=ai=l.

.,.3Sn=(n+2)an,

贝U3Sn+i=(n+l+2)an+i=(n+3)an+i,

.,.3Sn+i-3Sn=(n+3)an+i-(ri+2)an,

即3an+i=(n+3)an+i-(n+2)an,

••・r)an+i=(n+2)an很喈=彳，

由累乘法得舒=誓产，

又ai=L.a+i=^^,

.-.an=^)(n>2),Xai=l满足上式，

,-.an=^(nGN+).

解法二:同解法一求得nan+i=(n+2)an,

*'n+2-T7KI(71+1)(九+2)-.(71+1)'

••数列｛岛｝是常数列，又遂舟，

•a_1・a_n(n+l)

-n-an-~~-

⑵证明:由⑴知广岛=2(9言)，

*+看+…+广2、(冷)+2'(泊+…+2(；扁)=2(1一点)=2-亮<2.

3.解析选①②作为条件，证明③.

证明:设等差数列｛an｝的公差为d,

因为｛店｝是等差数列，所以2底=国+店，

即2j2al+[1=后+,3%+3d,两边同时平方彳导

4(2ai+d)=ai+3ai+3d+2>/a1(3a1+3d),

整理得4a1+d=2皿1(3%+3d),

两边同时平方彳导16a：+8aid+d2=4(3a：+3aid),

化简得4^-4aid+d2=0,gp(2ai-d)2=0,

所以d=2ai,则a2=ai+d=3ai.

选①③作为条件，证明②.

证明:设等差数列｛an｝的公差为d.

因为a2=3ai,BPai+d=3ai,所以d=2ai.

所以等差数列｛an｝的前n项和Sn=nai+^d=nai+^-2ai=n2ai.

又ai>0,所以离二na.

则斤？店=(n+1)何7a二师所以数列｛图｝是首项为⑸公差为何的等差数列.

选②③作为条件，证明①.

证明:设等差数列｛图｝的公差为d,

因为7^7,"/^7=迎1++3a1=287,

所以d二6-叵=2屈-病=病,

则等差数列｛后｝的通项公式为店=病+(41)后力⑸所以Sn=n2ai,

当n>2时,an=Sn-Sn-i=r12aLm-l)2ai=(2n-Dai,且当n=l时,上式也成立，

所以数列｛an｝的通项公式为30=(211-1)31,

贝!Jan+i-an=(2n+l)ai-(2n-l)ai=2ai,

所以数列｛an｝是首项为ai,公差为2al的等差数列.

4.解析⑴证明:由bn=SiS•…Sn可得,

仅i，n=1,

Sn=>,n>2.

VJn-l

由9户2知，

°n

当n=l时，9户2,即“户2,所以bi=Si=|,

当n>2时备+户2,即2bn=2bn-i+l,

党

即bn-bn-l=^,

故数列｛bn｝是首项为|,公差为;的等差数列.

⑵由Q)知,bn=|+(n-l)xA亨

故当n>2时,Sn=^二篙S1也符合该式，

即Sn二富(n£Z+),从而ai=Si=|,

当n>2时,an=Sn$-i嗤-平=-岛21不符合该式，所以an=p，nf1,

n+1n2+i)—,n>2.

kn(n+l)

5.D解法一:设｛an｝的公比为q,

则『2-。5=ai(q-q，=42,①

+g+%=%(l+q+q2)=168,②

拜陪=蛆曙沪也qQ-q)得，即4q2-4q+l=0,即(2q-l)2=0,所以q=2,代入①

得ai=96,故a6=aiq5=96xg)=3,故选D.

解法二:设数列｛an｝的公比为年前n项和为Sn.

由32-35—42,^qwl.

由题意得修=瞎=168,①

3

.a2-a5=a1q(l-q)=42,@

号得即4q2-4q+l=0,即(2q-l)2=0,所以q4代入①得ai=96,故

ae=aiq5=96xQ)=3,故选D.

6.答案①③④*

解析当n=l时,a「ai=9,由ai>0,得ai=3,

当n=2时,a2,S2=a2(a2+3)=9,即说+3a2-9=0,

解得a2=哼I又a2>0,所以a2二蜉,所以a2<3,故①正确.

an+l-an=^V=等留，又&｝的各项均为正数所以Sn+l>Sn,所以Sn$+l<0,即

>n+l3n+l3n

加+广加<0,

所以an+l<an,所以数列｛an｝为递减数列故③正确.

由a-Sn=9得Sn=2,当n>2时,an=Sn$-l=2-2,两边同乘an得4=9-我若&｝

nananan-lan-l

为等比数列，设公比为q,则B-q(n22)为常数则a池为常数由③知｛an｝是递减数

列，所以&｝不为等比数列，故②错误.

假设&｝中所有项均大于或等于击，即a仑击取n>90000厕

Sn=ai+a2+...+an>击x90000=900,「.an・Sn>击x900=9,与已知an-Sn=9相矛盾,

所以④正确.

故正确结论的序号为①③④.

7.解析Q)设｛an｝的公比为q,且qwl,

由题设得2al=a2+a3,即2ai=aiq+aiq2,

所以q2+q-2=0,解得qi=l倍去),q2=-2.

故｛an｝的公比为-2.

(2)记Sn为｛naj的前n项和.

由(1)及题设可得,an=(-2)z.

所以Sn=l+2x(-2)+...+nx(-2)n-i,①

-2Sn=-2+2x(-2)2+...+m-l)x(-2)n-i+nx(-2)n,②

①一②可得3Sn=l+(-2)+(-2)2+...+(-2)nT-nx(-2)n=W£rix(-2)n.

所以Sn得-殁厘.

8.解析Q)证明:由题意知4an+i=3an-bn+4①，

4bn+i=3bn-an-4②，①+②得4(an+l+bn+l)=2(an+bn),

即an+l+bn+l=|(an+bn).

又因为ai+bi=L所以｛an+bn｝是首项为1,公比为扫勺等比数列.

①-②彳导4(an+l-bn+l)=4(an-bn)+8,

即an+l-bn+l=an-bn+2.

又因为a”bi=l,所以｛arbn｝是首项为L公差为2的等差数列.

(2)由⑴知,an+bn=3,arrbn=2n-L

所以an=1[(an+bn)+(an_bn)]=^+n-p

bn=1[(an+bn)-(an-bn)]=^~n+1.

9.答案5;240x(3—要)

解析对折3次可以得到与dmxl2dm擀dmx竽dm,勺dmx竽dm,20dmx^

o4224o

dm,共四种不同规格的图形，

对折4次可以得到粤dmxl2dm,与dmx竽dm泮dmx号dm,^dmx^dm,20

dmxijdm,共五种不同规格的图形，

由此可以归纳出对折n次可得到(n+1)种不同规格的图形每种规格的图形的面

积均为等dm2,

/.iSk=120x12x[lx2+Jx3+^x4+.„+^x(n+l)3<dm2,

k=l

记Tn=|+'+...+竽厕弟=|+计…+段，

•TIT-1"T一1上(111I,1\n+l_31n+l_3n+3

--ln--ln--ln-l+^+-+-+川-尹一广再产7一厂科,

「.Tn=3-嘿,iSk=[24ox(3-^)1dm2.

k=l

10.解析Q)由题意得a2n+l=a2n+2,a2n+2=a2n+l+L

所以a2n+2=a2n+3,即bn+l=bn+3,

又bi=a2=ai+l=2,

所以数列｛&｝是以2为首项,3为公差的等差数列，

所以bi=2,b2=5,bn=2+(n-l)x3=3n-l.

(2)当n为奇数时,an=an+”l.

设数列⑸｝的前n项和为Sn,

贝US2o=ai+a2+...+a2o

=(31+33+...+319)+(32+34+...+320)

=[(82-1)+(34-1)+...+(320-1)]+(32+34+...+320)

=2(32+34+...+320)-10,

由⑴可知a2+a4+...+a2o=bi+b2+...+bio=lOx2+等x3=155,故$20=2x155-

10=300,

即&｝的前20项和为300.

11.解析⑴设｛an｝的公比为q,则q>l.

由题设得=201

解得|泊2或舍去)，

所以｛an｝的通项4式为an=2n.

(2)由于21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,所以由题设及⑴可得，

bi对应的区间为（0,1],则bi=0;

b2h对应的区间分别为Q2],（0,3]厕b2=b3=l,即有2个1;

54处5出6力7对应的区间分别为。4],。5],。6],。刀,则b4=b5=b6=b7=2,即有22

个2;

b8,b9，…,也5对应的区间分别为Q8],（0,9]，…,（0,15]厕b8=b9=...=bi5=3,即有2^

个3;

也6血7,…,b3i对应的区间分别为则bi6=bi7=...=b3i=4,BP

有24个4;

532力33,...北63对应的区间分别为。32],。33],...,。63],则b32=b33=...=b63=5,即

有25个5;

b64,b65,...,bioo对应的区间分别为（0,64],（0,65],...,（0,100],则b64=b65=...=bioo=6,

即有37个6.

所以Sioo=lx2+2x22+3x23+4x24+5x25+6x37=48O.

12.解析⑴设等比数列&｝的公比为q.

..ai,3a2,9a3成等差数歹!）/.6a2=ai+9a3,

又•「&｝是首项为1的等比数列,

-■-6aiq=ai+9aiq2,

・••9q2-6q+l=0解得qi=q2=1,

・•・an=arqn-i=（；y：

,.,bn=^,.-.bn=n-Qy.

（2）证明:•0为｛an｝的前n项和，

・0=畔=虫-即

,「Tn为｛bn｝的前n项和，

「.Tn=bl+b2+…+bn=lx（°+2x（。+—+"；），①

沁=以＞2哨:..+©：②3

①・②可彳新甲©+...+（＞（片

二陪（丁+M

・•・格-⑸+洸）兄,

••*沪56）"＜°，1咚

13.解析（1）由题意可得a2=3ai-4=9-4=5,

33=332-8=15-8=7,

由数列⑸｝的前三项可猜想数列&｝是以3为首项,2为公差的等差数列，即

an=2n+l,nG/\/+.

证明如下：

当n=l时,ai=3成立；

假设n=k(k>l,keM+)0tak=2k+l成立.

那么n=k+l时,ak+i=3ak-4k=3(2k+l)-4k=2k+3=2(k+l)+l也成立.

则对任意的n£N+,都有an=2n+l成立

而以⑸｝的通项公式为an=2n+l,neN+.

(2)由(1)得2nan=(2n+l)2n,

所以Sn=3x2+5x22+7x23+...+(2n+l)x2n,(D

从而2Sn=3x22+5x23+7x24+...+(2n+l)x2n+i,②

①-②得4=3x2+2x22+2x23+…+2x2n-(2n+l)*2n+i=Q-2n)2n+1-2.

所以Sn=(2n-l)2^i+2.

知识拓展

解决数列的求和问题，首先要得到数列的通项公式有了通项公式，再根据其特

点选择相应的求和方法.数列求和的方法有以下几类：(1)公式法:等差或等比数列

的求和用公式法;(2)裂项相消法:形如而二/而，可裂项为2B软；-强);(3)错位相减

法:形如Cn=an-bn,其中｛an提等差数列,｛bn｝是等比数列;⑷分组求和法形如

Cn=an+bn,其中｛an｝是等差数列,｛bn｝是等比数列;(5)并项求和法.

三年模拟练

l.C-/a>Ozb>O,lg应是lg4a与lg2b的等差中项，

/.21gV2=lg4a+|g2b,.Jg2=lg22a+b,.,.2=22a+b,/.2a+b=l,

・、i+户C+J2a+b)=5+与+胃25+2言=9,当且仅当胃二彳,即a=bW时取等号.故

选C.

2.ABP由题意得蜉=・〃•.当n>2时噜51=詈台..41二用显然

当n=l时,上式也成立,「&=卓，易得an=n,.-.32020=2020,故AZB均正确；

••・bn=S^=l+^5=l+Y9击)3,Tn=n+XiV++状+…+—击+~

+户n+Yi+9+-+户n+制(击+专)<n+%.Tn-n<a

又％-n随着n的增加而增加，

・•.Tn-n2Ti-lW，.•.梦T『nq故C错误,D正确.故选ABD.

易错警示

使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项，切

不可漏写未被消去的项•未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是

此法的根源与目的.

3.AC设等差数列｛an｝的公差为d.

对于A,翼=2%…=2*为常数厕数列｛/｝一定是等比数列故A正确;

对于B,若仆=2~2,则当n=l时,Ti=bi=2i+2=4,当n>2时,Tn-i=2n-i+2,所以

nnn

bn=Tn-Tn-i=2+2-(2-i+2)=2-i^n=l时,bi=4不满足京22,所以

=2故心｝不是等比数列，与已知矛盾，故心不可能为2n+2,故B错误；

对于CS仔邈抖，则沪*ai+an)厕鬻得W(ai+an+i-a「an)Wd,为常数，故数列闺

一定是等差数列，故C正确；

对于D,令bn=2n*则仆=2门口则则海=L1=反1二8,酒=侨1=泞

显然那X海工(伤)2,故数列｛霭｝不一定是等比数列，故D错误.故选AC.

4.ABD前(n+1)项所占格子组成长为am+an,宽为an+i的矩形，其面积为

Sn+i=(an+i+an)an+i=4+i+an+ran〃，A正确；

依题意得,a3=a2+ai,a4=a3+a2,,an+2=an+i+an,以上各式相加

得,a3+a4+...+an+2=(a2+a3+...+an+i)+(ai+a2+...+an),，an+2-a2=ai+a2+...+an,

BPai+a2+...+an=an+2-l;.,.B正确；

依题意得,21=22=1启3=214=3a5=516=8,

.,.31+33+35=8,36-1=7,/.C不正确；

易知CnWTl*Cn-l=；T[a3，/.4(Cn-Cn-l)=Tl(aKa3)=TI(an-an-l)(an+an-l)=Tian-

2an+i(nN3),:D正确.故选ABD.

5.答案-g

解析因为^ABC中,tanA,sinB,cosB成公比为g的等比数列，

所以黑书篝带，则WnB=|,

因为B为三角形内角，所以sinB>0,

cosB_4/3

据;。B=l,解得Fl'

｛sinB>0,ms.，

所以tanA呼胃，

3

所以tanC…n(A+B)=$=-||.

6.答案2036

解析当时,an=logn(n+l)=喘，

所以ara2；.・ak=l慑修…•曙=管=1。92«+1).

若ara2；.・ak为正整数,

则1<+1=2,即k=2n-l.

n

令2-l<2022,nWN+厕n<10,neN+/

所以在[L2022]内的所有"幸福数”的和为21-1+22-1+…+21°-1二笔善-

10=2036.

7.解析(1)由①Sio=5(aio+1》得10ai+等d=5(ai+9d+l),即ai=l;

由②ai,a2,a6成等比数歹I」,得起二aiaa即A+2aid+d2=4+5aid,即d=3ai；

由③S5=35彳嬖殁®=5a3=35,即a3=ai+2d=7.

易知选择①②、①③、②③均能得到ai=l,d=3,

故an=l+3(n-l)=3n-2.

⑵证明:由Q)知bn=止;=(3n-2)；3n+l)W岛-Wl)，

.,.Tn=bi+b2+b3+...+bn=1[(i-i)+Q-i)+g-^)+•,•+(套*]W(i-高),

.：nWN

8.解析Q)因为3Tn=%+2Sn①，

所以令n=L得3嫉=嫉+2ai,即2al(ai-l)=0,

因为ai>0,所以ai=l.

易知3Tn+l=S：+i+2Sn+l②，

②-①得3a„+1=an+l(Sn+l+Sn)+2an+l,

因为an+l>0,所以3an+l=Sn+l+Sn+2③，

所以3an=Sn+Sn-i+2(n>2)(4),

③-④得3an+i-3an=an+i+an(n>2),

所以n22时，学=2,