2020-2021学年高中新教材数学第二册6 .1 平面向量的概念

6.1平面向量的概念

教材分析

本节课选自《普通高中课程标准教学教科书-必修第二册》（人

教A板）第六章《平面向量及其应用》，本节课是第1课时，本节

课内家包括向量的实际背景与概念、向量的几何表示、相等向

量与共线向量.

本节从物理学中的核移、力这些既有大小又有方向的量出发,

抽象出向量的概念，并重点说明了句量与数量的区别，然后介绍

了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单核向量、平行句

量、共线向量、相等向量等基本概念。

在“向量的物理背景与概念”中介绍向量的定义;在“向量的

几何表示”中,主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的

表示、向量与有句线段的区别与联系、向量的长度、零向量、

单核向量、平行向量；在“相等向量与共线向量”中，主要介

绍相等向量，共线向量定义等

教学目标与核心素养

课程目标学科素素

A.了解向量的实际背lo教学抽象：平面向量的概

景，理解平面向量的概念；

念和向量的几何表示；2o逻^牌推理：区分平行向量、

B.掌握向量的模、零向

量、单核向量、平行句相等向量和共线向量；

量、相等向量、共线向3.直观想象：向量的几何表示;

量等概念；

C,并会区分平行向量、

相等向量和共线向量。

D、通过对向量的学习，

使学生初步认识现实生

话中的向量和数量的本

质li别o

E、通过学生对向量与

数量的识别能力的训

练，培养学生认识客观

事物的教学本质的能

力O

教学重难点

1.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单核向量、相等向量、

共线向量的概念，会裁示向量.

2o教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联人

课前准备

多媒体

教学过程

教学过程教学设计

意图

核心素养

目标

一、情景引入通过生动

的例子及

lo老鼠以10m/s的速度向东跑，

物理知识，

猫以50m/s的速度向西道，猫能否追上

引入本节

老鼠？

新课.建立

分析:老鼠逃窜的路线、猫追逐的路线

知识间的

实际上都是有方向、有长短的量.

藤条，提高

学生概括、

2.问题：质量、力、速度这三个物理量类比推理

有什么区别？的能力。

质量只有大小；力、速度既有大

小，又有方向.

二、探亲新知

（一）向量的实际背景与概念

1.问题：在物理中，核移与路程是同一通过物理

个概念吗？为什么？量路程与

【答案】不是，核移既有大小，又有方核移引入

向，路程只有大小。向量概念,

提高学生

2.（I）向量与数量的定义：

的解决问

既有大小，又有方向的量叫做向量题、分析问

（物理学中称为矢量）；题的能力。

只有大小，没有方向的量叫做数量

(物理学中称为标量).

注意：教量只有大小，是一个代数量，

可以进行代数运算、能比较大小；向

量具有大小和方向这双重要素，由于

方向不能比较大小，故向量不能比较提高练习,

大小O进一步巩

固向量的

练习：下列量不是向量的是()

概念。

⑴质量(2J速度(3)位移C4)

力(5J加速度

(6)面积(7)年龄(8)身高

通过探究，

【答嚎】⑴(6)(7)C8)引人向量

表示，提高

r二)向量的几何表示

学生分析

探究：由于实数与教轴上的点—对

问题、才既插

应，数量常常用教轴上的一个点表示,

能力。

那么，怎么表示向量呢？

lo有向线段的定义

在线段AB的两个端点中，规定一个

顺序，假设A为超点、,B为终点、,就说

线段AB具有方向，具有方向的线段

叫做有句线段。

通过思考,

如图，以A为超点、B为终点的有句

进一步理

线段记作而O

解向量的

线段AB的长度也叫做有向线段通的表示。

长度，记作।丽.

思考：一条有向线段由哪几个基本要

素所确定？

【答案】三个要素:起点、方向、长度。

2.向量的几何表示

画图时，我们常用有向线段来表示向

量，线段按一定比例（标度）画出。

其中有向线段的长度表示向量的大小,

箭头所指的方向表示向量的方向。

3.向量的表示方法：

一般可用表示向量的有句线段的起点

和终点字母表示，如瓶丽.

若表示向量的有向线段没有标注起点

和终点、字母,向量也可用黑体字母a,

b,c,…（书写时用注意用a,b,c---表示）o

注意：CUo向量：与起点无关.用有向

线段表示向量时，起点可以取任意位

置。教学中的向量也叫自由向量.

（2）.有向线段与向量的区别：

有向线段：三要素：起点、大小、方

向。

提^局思考，

向量：可选任意志作为向量的起点、

引入特殊

有大小、有方向.

的向量，增

4.向量的模强对概念

向量诟的大小，就是向量丽的长度（或的理解，提

模人记作।画或记作.。高学生分

析问题的

思考：向量的模可以为。吗？可以为1

能力。

吗？可以为负数吗？

【答嚎】可以为0,1,不能为负教。

5.零向量：长度为。的向量，记作。.

单核向量：长度等于1个单核的向量。

说明：（1）零向量、单位向量的定义都

是只F艮制大小，不确定方向。

故零向量的方向是任意的，通过例题

单核向量的方向具体而定.进一步理

解向量的

（2）注意：向量是不能比概念，提高

较大小的，但向量的模学生用向

（是正教或零）是可以进量解决问

行大/」、比子交的O题的能力。

例lo在图中，分别用向量表示A地至

B、C两地的住移，并根据图中的比例

尺，并求出A地至B、C两地的实际

距离（精确到1km）

解：荏表示A地至B地的位移，且I获I*j通过思考，

前表示A地至C地的位移，且|衣1%.

引人平行

（三）。相等向量与共线向量向量，提高

学生的理

思考1：向量由其模和方向所确定。对

解问题的

于两个向量茄，就其模等与不等，

能力。

方向同与不同而言，有哪几种可能情

形？

【答案】模相等，方向相同；模相等，

方向不相同；

模不相等，方向相同；模不相等,

方向不相同；

1O平行向量定义：

①方向相同或相反的非零

向量叫平行向量；②我们视之/

定0与任~向量平行。

说明：C1J综合①、②才是平行向

量的完整定义；（2）向量力、6、。平

行，记作///bIIc.

2.相等向量定义:

长度相等且方向相同的向量叫相

等向量.

说明：（1J向量。与乡相等，记作/

=6,C2J零向量与零向量相等；（3）

任意两个相等的非零向量，都可用同

一条有句线段来表示，并且与•有•曲•线•

段的起点无关.通过练习，

进I步巩

3o共线向量与平行向量关系：

固所学的

平行向量就是共线向量，这是因为

向量有关

任

知识，提高

学生解决

£COAB组

问题的能

平行向量都可移到同一直线上（与有

••

力O

向线段的起点无关）.

说明：门)平行向量可以在同一直线

上，要区别于两平行线的核置关系；

(2)共线向量可以相互平行，要区别于

在同一直线上的线段的核置关人

通过例题

牛刀小试；

的讲解，让

填空:学生进一

(1J平行向量是否一定方向相同？步理解共

()线向量、相

(2)不相等的向量是否一定不平等向量，提

行？()高学生解

决与分析

(3)与零向量相等的向量必定是什

问题的能

次向量？()

力O

(4J与任意向量都平行的向量是什

会向量？()

(5)若两个向量在同一直线上，则

这两个向量一定是什么向量？

()

(6)两个非零向量相等的当且仅当什

()

(7)共线向量一定在同一直线上

吗？()

【答案】门)不一定(2)不一定(3

零向量

(4；零向量(5)平行向量(6)长度

相等且方向相同

C7J不一走

例2.如图，设O是正六边形

ABCDEF的中心，

门)写出图中的共线向量；

(2)分别写出图中与向量苏、丽、de

相等的向量.

解：(1)OA,CB.DO.屋是共线向量；

OB,DC,EO.第是共线向量；

OC.AB.ED,R5是共线向量.

(2)OA=CB=DOt

OB=DC=EO;

OC=AB^ED=Fd.

三、达标检测

1、下列说法中正确的个数是()

①身高是一个向量；通过练习

巩固本节

②NAQB的两条边都是向量；

所学知识，

③温度含零上和零下温度，所以温

提高学生

度是向量；

解决问题

④物理学中的加速度是向量.的能力，感

传其中蕴

A.0B.1

含的教学

C、2D、3

思想，增强

【解析】只有④中物理学中的加学生的应

速度既有大小又有方向是向量，①②用意识。

③错误.④正确.

【答案】B

2、在下列判断中，正确的是()

①长度为0的向量都是零向量；

②零向量的方向都是相同的；

③单核向量的长度都相等；

④单核向量都是同方向；

⑤任意向量与零向量都共线.

A、①②③B.②③④

C、①②⑤D.①③⑤

【解析】由定义知①正确，②由

于零向量的方向是任意的，故两个零

向量的方向是否相同不确定，故不正

确,显然③、⑤正确，④不正确，故

选D、

【答案】D

3、设切⑼是两个单住向量，则下列结

论中正确的是()

Akei-£2B.eiIIC2

C、|ei\=\e2/D、以上都不

对

【解析】单核向量的模都等于1

个单核，故C正确.

【答案】c

4・在下列命题中：①平行向量一定相

等;②不相等的向量一定不平行；③共

线向量一定相等；④相等向量一定共

线；⑤长度相等的向量是相等向量；

⑥平行于同一个非零向量的两个向量

是共线向量.正确的命题是_________.

【解析】由向量的相关概念可知

④⑥正确,

【答案】④⑥

5.如图所示，=边形ABCD是平行四边

形，四边形ABDE是矩形，找出与向量

错误!相等的向量.

AB

上

EDC

【解】由四边形A3CZ）是平行四边

形,四边形ABDE是矩形，知错误!,错误!与

错误!的长度相等且方向相同，所以与向

量错误!相等的向量为错误!和错误!.

8、小结通过总

结，让学生

1o向量及向量的有关概念、表示方法；

进~步风

2还知道有两个特殊向量；固本节所

学内叁，提

3.学了