2023湘教版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-第1章 数列测评卷

第1章数列

（满分150分，考试用时120分钟）

一、单项选择题（本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

合题目要求的）

1.已知数列｛an｝是等差数列,ai+a7=-8,a2=2,则数列｛an｝的公差d等于（）

A.-lB.-2

C.-3D.-4

2.各项均为正数的等比数列｛an｝中,a6与ai2的等比中项为3,则log3a7+log3ali=（）

A.lB.2C.3D.4

3.《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学

知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”

就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多

少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（）

A.23岁B.32岁

C.35岁D.38岁

11

4.已知数列｛a“中,ai=7，an=l--（n，2）,则aioo=（）

4an-i

A.5B.-41

4

44

C亏D-5

5.设等比数列｛a”的前n项和为Sn,若:m，则兽=（）

“3316

6.若等差数列｛a"的公差为d,前n项和为Sn,记悦=知，则（）

A.数列｛bn｝是公差为d的等差数列

B.数列｛bn｝是公差为2d的等差数列

C.数歹U｛an+bn｝是公差为|d的等差数列

D.数歹U｛an-bn｝是公差为|d的等差数列

7.设等差数列｛an｝的前n项和为Sn,数列｛bn｝的前n项和为Tn,已知a=ll,Sio=12O,bn=--—，若

5an*an+l

Tk。则正整数k的值为（）

A.9B.8

C.7D.6

1

8.已知数歹U｛an｝满足ai=l,a2=而,anan+2=4a"i，则an的最小值为（）

40

A.2-12B.2

C.2-5D.2-6

二、多项选择题（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要

求.全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.设d,Sn分别为等差数列｛a“的公差与前n项和，若Sio=S2o,则下列判断中正确的有（）

A.当n=15时,Sn取最大值

B.当n=30时,Sn=0

C.当d>0时,aio+a22>O

D.当d<0时,|aio|>|a22|

10.如图所示的数表中，第1行是从1开始的正奇数，从第2行开始，每个数是它肩上两个数之和，

则下列说法正确的是（）

1357911

48121620•••

12202836•••

A.第6行第1个数为192

B.第10行的数从左到右构成公差为21。的等差数列

C.第10行前10个数的和为95x29

D.第2021行第2021个数为6061x22020

11.在数列⑶｝中，若心碌kp（nN2,n©N+,p为常数），则称｛a“为等方差数列.下列对等方差数列

的判断正确的是（）

A.若｛an｝是等差数列，则｛成｝是等方差数列

B.｛（-l）n｝是等方差数列

C.若｛an｝是等方差数列，则｛akn｝（kGN+,k为常数）也是等方差数列

D.若｛an｝既是等方差数列,又是等差数列，则该数列为常数列

12.设正整数n=ao,2°+ai•2〔+…+ak-i•2k-1+ak•2k淇中a6｛0,1｝,记co（n）=ao+ai+,,,+ak,（）

A.3（2n）=3（n）B.co（2n+3）=co（n）+1

C.co（8n+5）=（o（4n+3）D.co（2n-l）=n

三、填空题（本题共4小题,每小题5分，共20分）

13.设｛an｝是公差为-2的等差数列，如果ai+a4+a7+…+a97=50,那么a3+a6+ag+…+a99=______.

14.已知等比数列｛a“是递增数歹U,若ai=l,且3a2,2a3,a4为等差数列，则｛aQ的前4项犷

S4=.

15.设Sn是等差数列⑶｝的前n项和，若结圣则沙=______.

3317

16.如图,Pi是一块半径为2a的半圆形纸板，在Pi的左下端剪去一个半径为a的半圆后得到图形

P2,然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得到图形P3,P4,…,Pn,…，

记第n块纸板Pn的面积为Sn,则S3=，若Vn©N+,Sn>咨必恒成立，则a的取值范围

是

RP，匕匕

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）在①Sn=2an-1,②皿=岩,a2=9,③Sn=2n+1这三个条件中任选一个，补充在下面的问题

Z7T十J.<J

中，并解答.

已知数列｛an｝的前n项和为Sn,，数列｛bn｝满足bn=anan+l,求数列｛bn｝的前n项和Tn.

18.（12分）在等差数列｛an｝中,25=-10趣+27+28=-电其前n项和为Sn.

⑴求Sn的最小值及此时n的值；

（2）求数列｛同｝的前n项和Tn.

19.（12分）已知数列｛an｝,｛bn｝满足an-bn=2n.

（1）若｛an｝是等差数列,b2=l,b4=-7,求数列｛bn｝的前n项和Sn;

⑵若｛bn｝是各项均为正数且公比为q的等比数列,是否存在实数q,使｛an｝为等比数列?若存在，求

出q的值;若不存在,请说明理由.

20.(12分)已知数列｛an｝的前n项和Sn满足tSn+i-Sn=t(an+i+an-l),tGR且t(t-l)W0,n©N+.

(1)求｛an｝的通项公式；

(2)已知｛bn｝是等差数列,bi=3ai,b2=2a2,b3=a3,求数列｛anbn｝的前n项和Tn.

21.（12分）已知数歹U｛a"满足an+i-2an+2=0,且ai=8.

⑴证明:数列｛a『2｝为等比数列；

⑵设b后再舒南记数列｛b“的前n项和为Tn,若对任意的ndN+,m，Tn恒成立，求m的取

值范围.

22.(12分)已知数列｛an｝的前n项和为Sn,2Sn=(2n+l)an-2n2(n©N+),数列｛回｝满足bi=ai,nbn+尸anbn.

(1)求数列｛an｝和｛bn｝的通项公式；

(2)设数列｛Cn｝满足ci=4,Cn+i=Cn-詈(nGN+),若不等式入+审大心GN+)恒成立，求实数X的取值

范围.

答案与解析

l.c由题意得:+-=—8,解得优1=5故选c

91+d=2,Id=-3.

2.B易知a6•ai2=9,/.Iog3a7+log3an=log3(a7•an)=log3(a6•ai2)=log39=2.故选B.

3.C设第n个儿子的年龄为an岁，由题可知｛a“是等差数列,且公差d=-3,则

S9=9ai+争x(-3)=207,解得ai=35,即这位公公的长儿的年龄为35岁，故选C.

11

4.B因为ai=--,an-1----(nN2),

4an-l

匚匚I、I.1.1^.1.14.1.1.51

所以a2=l后=「=5,a3=l-司=1年二初=1工=1篇=匕=彳

所以数列｛a“是以每3个数为一个周期的周期数列，

43

1

因为100=33x3+1,所以aioo=ai=J,故选B.

4

5.C由等比数列前n项和的性质知S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等比数列，设S4=m(mW0),因为m，

所以S8=3m,则S8-S4=2m,所以Si2-S8=4m,Si6-Si2=8m,所以Si2=7m,Si6=15m,所以普二萼■二：,故选

31615m5

C.

6.C易知an=ai+(n-l)d,Sn=nai+坐Id,故bn=&=4dn+aiWd,因止匕bn是关于n的一次函数,故数列

｛bn｝是公差为京的等差数列，故A,B错误;由an+bn,dn+2a「|d是关于n的一次函数,得数列｛an+b“

是公差为卦的等差数列，故C正确;由an-bn=|dn-|d是关于n的一次函数,得数列｛a『bn｝是公差为

|d的等差数列，故D错误.故选C.

7.A设等差数列⑸｝的公差为d,因为Sio=&殁幺Q=5(a5+a6)=5(U+a6)=120,所以a6=13,则

d=a6@=2,所以an=a5+2(n-5)=2n+l,所以bn=^7rx焉一熹),

所以Tn=lG1+93+…+JF焉)耳(I-焉)=息两，因为丁卜弓，所以君所。解得

k=9.故选A.

17

8.Dai=1,a2=—,anan+2=4a^+,

.,.an^0,^=^±i,

。几+1。九

署=2,公比为4的等比数歹U,

n1n3

...En±l=J_x4-=4-.

a九16

1

当n》2时,an=2•—.....—•ai=4n-4x4n-5x•••x4-2x1=42(n-1)(n-6),

an-lan-2

11

n=1时,42»l)(n-6)=1=ai,...an=42(n”)(n-6).

・•.当n=3或n=4时,an取得最小值，最小值为4-3=2-6,故选D.

9.BC因为Sio=S2o,所以10ai+竽d=20ai+2°,9d,解得ai=,^d.

因为无法确定ai和d的正负，所以无法确定Sn是否有最大值，故A错误.

S3o=3Oai+^1^d=3Ox(§d)+15x29d=0,故B正确.

aio+a22=2ai6=2(ai+15d)=2(-与d+15d)=d>0,故C正确.

29112913

aio=ai+9d=-—d+9d=--d,a22=ai+21d=--d+21d=—d,

因为d<0,所以|ai()|=-爹&忖22|=下£1,

所以|aio|<|a22|,故D错误.

故选BC.

10.ABD数表中，第1行的数构成首项为1,公差为2的等差数列;第2行的数构成首项为4,公差

为4的等差数列;第3行的数构成首项为12,公差为8的等差数列;……;故第n行的数构成首项

是an=nx2n」,公差为dn=2n的等差数列.故第6行第1个数为a6=6x2&i=192,故A正确;第10行的

数从左到右构成公差为210的等差数列，故B正确;第10行的第1个数为aio=lOx2lo-1=lOx29>

以第10行前10个数的和为10x10x29+嗒x21°=190x29,故C错误;第2021行第1个数为a202i=

2021x22027=2021X22°2。,第2021行的公差为2202\故第2021行第

2021个数为2021X22020+Q021-l)x22021=6061x2?吗故D正确.故选ABD.

11.BCD在选项A中，取an=n,则｛a"是等差数列，且磷=R则a"1-成=(n+l)2-n2=2n+l,不是常数,

所以｛成｝不是等方差数列，故A错误.

在选项B中，设an=(-l)n,则哈碌尸[(-1)呼-[(-1)叩2=1_1=0,是常数，所以｛(-1尸｝是等方差数歹(],故

B正确.

在选项C中，由｛an｝是等方差数列，得哈Wu=p,从而若=c^+(n-l)p,所以

硫n+i)-扁=[a什(kn+k-l)p]-[a什(kn-l)p]=kp,是常数，所以｛akn｝(k@N+,k为常数)是等方差数列，

故C正确.

在选项D中,由⑶｝是等差数列,可设其公差为d,则an-a»i=d,又⑶｝是等方差数列，所以哈脸尸p,

所1以a:-a/_]=(an+an-i)(an-an-i)=(an+an-i)d=pCD,^Affif(an+i+an)d=p②).

②-①，得(d+d)d=O,所以d=0,所以｛a“是常数列，故D正确.故选BCD.

12.ACD对于A选项,3(n)=ao+ai+…+ak,2n=ao•2x+ai,2?+…+ak-i•2k+ak,2卜+1,所以

w(2n)=ao+ai+,,,+ak=w(n),A选项正确；

对于B选项，取n=2,2n+3=7=lx2°+lx21+lx22,co(7)=3,

而2=0x20+lx2\则3(2尸1,即3(7)WS(2)+1,B选项错误；

对于C选项,8n+5=ao•23+ai,24H--卜ak,2k+3+5=lx2°+lx22+ao,23+ai,24+—i-ak,2k+',所以

3(8n+5尸2+ao+ai+…+ak,

23k+2123

4n+3=ao•2+ai•2+-+ak.2+3=lx2°+lx2+ao•2+ai•2+-+ak•2k+2,所以

3(4n+3)=2+ao+ai+…+ak,因此3(8n+5)=3(4n+3),C选项正确；

对于D选项,2工1=20+21+…+211],故co(2n-l)=n,D选项正确.

故选ACD.

13.答案-82

解析•••｛an｝是公差为-2的等差数列,...

a3+a6+ag+…+a99=(ai+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+…+(a97+2d)=ai+a4+a7+…+a97+33x2d=50-132=-82.

14.答案40

解析由题意知数列｛an｝的各项均为正数.设｛an｝的公比为q(q>l),因为3a2,2a3,a4为等差数列，所

以4a3=3a2+a4.因为ai=l,所以4q2=3q+q3,BPq2-4q+3=0,解得q=l(舍去)或q=3,所以

的(1曾4)=1-34=

S4=1-q~1-3-4U-

15.答案1

勺+。)

15(1515(ai+ai5)_15x2a8_15

解析在等差数列｛an｝中华=圣所以盥=•2臭1

317。1+勺7)-1791+。17)-17义22—17。9

172

16.答案等a?;[逐而,+到)

O

-1

解析依题意得,Si=^x(2a)2=2兀

Si-S2=，ia2,

S2-S3=5xg)21a2,

/.53=52-，兀22=51片兀22-：兀22=^^@2.

oZoo

以此类推,{Sn+1$}是以S2s=-%2为首项3为公比的等比数列,

Z4

1

记S2-S1--7ia2=S,

1/1\n-2

则S3-S2苦s,……,Sn-Sn-i=(yS(nN2),

Azq\71-11n9zq\71-1

/.Sn=Si+-Sx1-(-)=27ia2--7ia2+^7ia2x(-)

3\4/J33\4/

=^a2+|jra2Q)(n>2),

经检验，当n=l时,上式也成立，

47ziX71-1

•二Sn=-7ia2+^7ia2(7)(n£N+).

33\4/

•.•Sn>2对任意n©N+恒成立，且Sn>ya2,

只需融2三咨叨即可，解得a2>505,

又..飞〉。,，a三同^即a的取值范围是［同5+oo).

17.解析选条件①Sn=2a『l,

(Sn=2an-l,

W《导an=2an-2an-i,

Un-i=2aM-l(n22),

所以an=2an-i(n22),(3分)

又因为Si=2ai-1,所以ai=l,

所以数列｛a“是以1为首项,2为公比的等比数歹(J,

n1

所以an=2-.(5分)

n1n2n1

因此bn=anan+i=2-•2=2-,(7分)

所以Tn=21+23+…+22~1=笑孚=练2(10分)

选条件②皿=驾,a2=]

an2n+l3

解法一:由皿=等■，得"4又a2=9,所以ai=l.

an2n+la133

当n三2时3="x^x…x-^=ix-x…x—=—,

a1«2an-i352n-l2n-l

1

所以a=3—7（n^2）,

nZ71-1

又因为ai=l也符合an=J1,所以an=J1.（5分）

2n-l2n-l

因止匕bn=ana+i=-7zQ11_n[J。分）

n（2n-l）（2n+l）2\2n-l2n+l/

所以Tn=l[（1-I）+G4）+…+（+-焉）KO一焉卜舟0°分）

解法二:由皿=算，得（2n+l）an+i=（2n-l）an,

Q■八^iL~iA.

所以数列｛（2n-l）an｝是常数列,（3分）

1

所以（2n-l）an=（2x2-l）a2=l,所以an=^^-.（5分）

下同解法一.（10分）

选条件③Sn=2n+1,

当n>2时,an=Sn-Sn-l=（2n+l）-（2n1+l）=2n-l,（3分）

又因为ai=Si=3,显然不符合上式，

所以2,（5分）

则bn=an,an+i=[鬻；o（7分）

[21,n>2.

111

当心2时,Tn=6+23+25+…+22、-I=6+8（|-，）=|X4+学,

1—4DD

又因为Tl=6,符合Tn=|x4n+y,

所以Tn=|x4n+y.（10分）

18.解析⑴设｛an｝的公差为d.

*/a6+a7+as=-18=3a7,/.a7=-6.

;a5=-10,/.d=-6；（-：0）=2,/.ai=a5-4d—18,（3分）

Sn=nai+g罗L18n+n2-n=n2-19n=（n-当）-岑

/.当n=9或n=10时,Sn取得最小值，且最小值为-90.（6分）

⑵由⑴得an=2n-20,则当nW10时,anWO,当nN11时,an>0,

.,.当nW10时,Tn=|ai|+|a2|+…+|an|=-ai-a2-a3-…-an=-迎电受上»=19n-n2,（9分）

当nN11时,Tn=|a[+|a2|+…+|an|=-ai-a2-a3-…-aio+a“+ai2+…+an=90+（"1°）（?2n2°）=n2-i9n+180.

综上,Tn=4霁f詈，，(12分)

lnz-19n+180,n>11.

n

19.解析⑴由an-bn=2,b2=1,b4=-7,

得a2=b2+22=5,a4=b4+24=9,

设｛a“的公差为d,贝lja4=a2+2d=5+2d=9,解得d=2,

所以an=a2+(n-2)d=5+2(n-2)=2n+l,(3分)

nn

所以bn=an-2=2n+1-2,

所以Sn=bi+b2+b3+・・・+bn=[3+5+・・・+(2n+l)]-(2+22+・・・+2n)

(3+2n+l)n2(1-2n)2।onn+1衣八、

=----------\-nz+2n+2-2n1.(6分)

L1—QL

(2)因为｛bn｝是各项均为正数且公比为q的等比数列，

所以bn=biqnl(q>0),

nn111

由an-bn=2n,得an=bn+2=2+biq-.

若｛an｝是等比数列，则谴=aia3,即S2+4)2=(bi+2)(ba+8),

整理得西+8b2+16=bib3+8bi+2b3+I6,所以4b2=4bi+b3,

所以4biq=4bi+biq2,解得q=2.(9分)

当q=2时,ai+bi•2~i=(bi+2)•2%

因为bi>0,所以皿=2,为常数，故⑶｝是等比数列.

an

所以存在实数q=2,使｛a“为等比数列.(12分)

20.解析⑴当n=l时,tS2-Si=t(a2+ai-l),即-Si=-ai=-t,解得ai=t.

当n》2时，由tSn+l-Sn=t(an+l+an-l),①

得tSn-Sn-尸t(an+an-l-l),②(3分)

tcln+1-3.n=t(an+1-cln-1),an=tfln-l,

由于ai=tW0,所以2"=t,

an-l

所以数列｛an｝是以t为首项,t为公比的等比数列，即an=tn.(6分)

(2)由｛bn｝是等差数列，得2b2=bi+b3,即4a2=3ai+a3,所以4t2=3t+t3,

n

又因为t(t-l)WO,所以t=3,故an=3.(8分)

设等差数列｛bn｝的公差为d,

贝Ibi=3ai=3x3=9,b2=2a2=2x32=18,

所以d=b2-bi=9,所以bn=9+9(n-l)=9n,

nn+2

所以anbn=3,9n=n•3,（9分）

贝ijTn=lx33+2x34+3x35+-+n•3班①

3Tn=lx34+2x35+3x36+-+n•3H3,②

2几+377

n+3n+3

①-②，得-2Tn=33+34+35+…+3n+2-n•3=2-n•3,

所以Tn。'）1+3+27.（12分）

4

21.解析⑴证明:因为an+i-2an+2=0,所以an+i=2an-2,

即an+i-2=2（a『2）,则％±4=2,

an-^

所以数列｛a『2｝是以ai-2=6为首项,2为公比的等比数列.（4分）

n

（2）由⑴知an