行列式乘法法则

关于行列式乘法法则1．用消元法解二元线性方程组(1)(2)§2.1引言第2页,共116页，星期六，2024年，5月原方程组有唯一解由方程组的四个系数确定第3页,共116页，星期六，2024年，5月若记则当时该方程组的解为第4页,共116页，星期六，2024年，5月2．在三元一次线形方程组求解时有类似结果即有方程组当时，有唯一解第5页,共116页，星期六，2024年，5月其中n元一次线性方程组它的解是否也有类似的结论呢？第6页,共116页，星期六，2024年，5月历史资料：17世纪末，莱布尼兹在研究线性方程组的解时,首先使用现在称为结式的一个行列式.大约1729年，马克劳林开始用行列式方法解含2-4个未知量的线性方程组，克莱姆1750年给出行列式求解线性方程组的重要结论，即克莱姆法则.这些早期工作大都是为了研究方程组而利用行列式这一工具，以求得到方程组解的简洁表达式.对行列式的系统研究第一人是法国人范德邦,而行列式这一名词则由柯西给出，现今符号是凯莱1841年引进的.东方最早给出行列式概念的是日本人关孝和（早于莱布尼兹）.第7页,共116页，星期六，2024年，5月为此，本章依次解决如下问题：2）n级行列式的性质与计算？1）怎样定义n级行列式？3）方程组(＊)在什么情况下有解？有解的情况下，如何表示此解？第8页,共116页，星期六，2024年，5月一、排列二、逆序逆序数§2.2排列三、奇排列偶排列四、对换第9页,共116页，星期六，2024年，5月一、排列定义称为一个级排列．由1，2，…，n

组成的一个有序数组123，132，213，231，312，321．如，所有的3级排列是

——共6=3！个.(

阶乘)注：所有不同级排列的总数是第10页,共116页，星期六，2024年，5月二、逆序逆序数

我们规定各元素之间有一个标准次序,n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.定义一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数．在一个排列中，如果一对数的前后位置与标准次序相反，即前面的数大于后面的数，则称这对数为一个逆序；第11页,共116页，星期六，2024年，5月①排列123称为标准排列，其逆序数为０．注：②排列的逆序数常记为③

后面比小的数的个数后面比小的数的个数.后面比小的数的个数或前面比大的数的个数前面比大的数的个数前面比大的数的个数．方法一方法二第12页,共116页，星期六，2024年，5月例1．排列

31542中，逆序有31，32，54，52，42的逆序数.

例2．求级排列解：方法一第13页,共116页，星期六，2024年，5月逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列．三、奇排列、偶排列定义标准排列

123为偶排列．注：练习：求下列排列的逆序数并讨论其奇偶性．（1）（2）第14页,共116页，星期六，2024年，5月答案:当时为偶排列；当时为奇排列.当n为偶数时为偶排列，当n为奇数时为奇排列.方法一方法二（2）τ第15页,共116页，星期六，2024年，5月四、对换1.定义把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，得到另一个排列，这一变换称为一个对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．第16页,共116页，星期六，2024年，5月证明1)特殊情形：作相邻对换对换与除外，其它元素所成逆序不改变.对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列．2.定理1设排列为第17页,共116页，星期六，2024年，5月当时，所成逆序不变;经对换后的逆序增加1个,经对换后所成逆序不变，的逆序减少1个.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为当时，现来对换与2)

一般情形第18页,共116页，星期六，2024年，5月次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.第19页,共116页，星期六，2024年，5月所有级排列中，奇、偶排列各半，均为个.

设在全部

阶排列中，有个奇排列，个偶排列，下证．

将

个奇排列的前两个数对换，则这

个奇排列全变成偶排列，并且它们彼此不同，

同理，将

个偶排列的前两个数对换，则这

个偶排列全变成奇排列，并且它们彼此不同，推论1证明故第20页,共116页，星期六，2024年，5月一系列对换互换，并且所作对换的次数与这个任意一个排列与标准排列都可经过排列的奇偶性相同．3.定理2

由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,因此知结论成立.证明而标准排列是偶排列（逆序数为0）,第21页,共116页，星期六，2024年，5月一、行列式定义二、n

级行列式的等价定义§2.3n级行列式第22页,共116页，星期六，2024年，5月一、行列式的定义1.二级行列式2.三级行列式第23页,共116页，星期六，2024年，5月沙路法对角线法第24页,共116页，星期六，2024年，5月3.n

级行列式的定义等于所有取自不同行不同列的n

个元素的乘积(1)每一项（1）都按下列规则带有符号：当为奇排列时（1）带负号；当为偶排列时（1）带正号；n级行列式的代数和，这里为的排列.第25页,共116页，星期六，2024年，5月即这里表示对所有1、2、…、n的n级排列求和．第26页,共116页，星期六，2024年，5月2)中的数称为行列式D处于注:第i行第j列的元素，i称为行指标，j称为列指标.3)n级行列式定义展开式中共有n！项．1)行列式常简记为或主对角线副对角线第27页,共116页，星期六，2024年，5月例1计算行列式第28页,共116页，星期六，2024年，5月例2.第29页,共116页，星期六，2024年，5月一般地,对角形行列式第30页,共116页，星期六，2024年，5月类似可得：上三角形行列式下三角形行列式第31页,共116页，星期六，2024年，5月例3.

已知

,求的系数

.由n级行列式定义，是一个的多项式函数，且最高次幂为,显然含的项有两项:与即与中的系数为-1.解:第32页,共116页，星期六，2024年，5月这里表示对所有1、2、…、n的n级排列和．二、n

级行列式的等价定义第33页,共116页，星期六，2024年，5月证明：按行列式定义有记对于D中任意一项总有且仅有中的某一项与之对应并相等;第34页,共116页，星期六，2024年，5月反之，对于中任意一项也总有且仅有D中的某一项与之对应并相等．于是D与中的项可以一一对应并相等,从而第35页,共116页，星期六，2024年，5月类似地，有第36页,共116页，星期六，2024年，5月一、行列式的性质二、应用举例§2.4行列式的性质第37页,共116页，星期六，2024年，5月转置行列式行列式设称为D的转置行列式，记作或第38页,共116页，星期六，2024年，5月行列互换，行列式不变，即一、行列式的性质性质1第39页,共116页，星期六，2024年，5月记另一方面，按行列式的等价定义Ｄ可表成证：其中按行列式的定义第40页,共116页，星期六，2024年，5月行列式某行（列）元素的公因子可提到行列式符号之外．即推论

行列式中某一行（列）为零，则行列式为零．

性质2或者说，以一数乘行列式的一行（列）就相当于用这个数乘此行列式．记为或第41页,共116页，星期六，2024年，5月若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则行列式可按此行（列）拆成两个行列式之和，即性质3第42页,共116页，星期六，2024年，5月思考：？第43页,共116页，星期六，2024年，5月如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为0．（所谓两行相同指的是两行元素对应都相等）．性质4设行列式证：中第

i行与第

k

行相同，第44页,共116页，星期六，2024年，5月即，于是，第45页,共116页，星期六，2024年，5月行列式中两行（列）成比例，则行列式为0.证：由性质2、性质4即得．把行列式的某一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变.记为或证：由性质3、性质5即得．性质5性质6性质7对换行列式中两行（列）位置，行列式反号．记为或第46页,共116页，星期六，2024年，5月性质证：第47页,共116页，星期六，2024年，5月性质性质第48页,共116页，星期六，2024年，5月例1.计算行列式说明：计算行列式时可多次利用行列式的性质把它化为上三角形或下三角形，从而算得行列式的值．第49页,共116页，星期六，2024年，5月例2.计算行列式解：第50页,共116页，星期六，2024年，5月例3.计算行列式解：第51页,共116页，星期六，2024年，5月第52页,共116页，星期六，2024年，5月例4.若

n级行列式满足证明：当

n

为奇数时，的每行提取-1，得证：由有设第53页,共116页，星期六，2024年，5月∴当

n为奇数时，故第54页,共116页，星期六，2024年，5月一、矩阵二、矩阵的初等行变换§2.5行列式的计算三、行列式的计算四、矩阵的初等列变换第55页,共116页，星期六，2024年，5月一、矩阵1.定义由s×n个数排成

s行

n列的表称为一个

s×n矩阵，j为列指标.简记为数

称为矩阵A的

i

行j

列的元素，其中i为行指标，第56页,共116页，星期六，2024年，5月若矩阵则说A为数域

P上的矩阵．当

s=n时，称为n级方阵．由n级方阵定义的

n级行列式称为矩阵A的行列式，记作或detA．第57页,共116页，星期六，2024年，5月2.矩阵的相等则称矩阵A与B相等，记作

A=B．设矩阵如果第58页,共116页，星期六，2024年，5月1)以P中一个非零数k乘矩阵的一行；2)把矩阵的某一行的k倍加到另一行，；3)互换矩阵中两行的位置．注意：二、矩阵的初等行变换1.定义数域P上的矩阵的初等行变换是指：矩阵A经初等行变换变成矩阵B，一般地A≠B．第59页,共116页，星期六，2024年，5月如果矩阵A的任一行从第一个元素起至该行的2.阶梯形矩阵第一个非零元素所在的下方全为零；若该行全为0，则它的下面各行也全为0，则称矩阵A为阶梯形矩阵．

第60页,共116页，星期六，2024年，5月任意一个矩阵总可以经过一系列初等行变换化成阶梯形矩阵．性质1第61页,共116页，星期六，2024年，5月第62页,共116页，星期六，2024年，5月第63页,共116页，星期六，2024年，5月

例1

计算行列式

三、行列式的计算方法：阶梯阵，从而算得行列式的值．对行列式中的A作初等行变换，把它化为第64页,共116页，星期六，2024年，5月1)以P中一个非零数k乘矩阵的一列；2)把矩阵的某一列的k倍加到另一列，；3)互换矩阵中两列的位置．四、矩阵的初等列变换定义数域P上的矩阵的初等列变换是指：矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．第65页,共116页，星期六，2024年，5月注意：把它化成列阶梯阵，从而算得行列式的值．计算行列式时，也可对A作初等列变换，也可同时作初等行变换和列变换，有时候这样可使行列式的计算更简便．第66页,共116页，星期六，2024年，5月一、余子式、代数余子式二、行列式按行(列)展开法则§2.6行列式按一行（列）展开第67页,共116页，星期六，2024年，5月引入可见，三级行列式可通过二级行列式来表示．第68页,共116页，星期六，2024年，5月一、余子式、代数余子式定义在

n

级行列式中将元素

所在的第

i

行与第

j

列划去，剩下个元素按原位置次序构成一个级的行列式，称之为元素的余子式,记作．第69页,共116页，星期六，2024年，5月令称之为元素的代数余子式．注：①

行列式中每一个元素分别对应着一个余子式和代数余子式．无关，只与该元素的在行列式中的位置有关．②

元素的余子式和代数余子式与的大小第70页,共116页，星期六，2024年，5月元素除外都为

0，则1.引理二、行列式按行(列)展开法则若n

级行列式

D=的中第

i

行所有第71页,共116页，星期六，2024年，5月证：先证的情形，即由行列式的定义，有第72页,共116页，星期六，2024年，5月结论成立。一般情形：第73页,共116页，星期六，2024年，5月结论成立。第74页,共116页，星期六，2024年，5月2.定理行列式

D等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即或行列式按行（列）展开法则第75页,共116页，星期六，2024年，5月证：第76页,共116页，星期六，2024年，5月例1.计算行列式解：第77页,共116页，星期六，2024年，5月例2.证明范德蒙行列式

第78页,共116页，星期六，2024年，5月证：用数学归纳法.

时，

假设对于级范德蒙行列式结论成立．即结论成立．第79页,共116页，星期六，2024年，5月把从第

n

行开始，后面一行减去前面一行的倍，得下证对于

n

级范德蒙行列式结论也成立.第80页,共116页，星期六，2024年，5月第81页,共116页，星期六，2024年，5月范德蒙行列式中至少两个相等．注：第82页,共116页，星期六，2024年，5月3.推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即第83页,共116页，星期六，2024年，5月证第84页,共116页，星期六，2024年，5月相同∴当时,同理可证,第85页,共116页，星期六，2024年，5月综合定理及推论，有关于代数余子式的重要性质：第86页,共116页，星期六，2024年，5月例3.设求

解：和第87页,共116页，星期六，2024年，5月第88页,共116页，星期六，2024年，5月例4.证明：

对k用数学归纳法第89页,共116页，星期六，2024年，5月一、非齐次与齐次线性方程组的概念二、克兰姆法则及有关定理§2.7克兰姆法则第90页,共116页，星期六，2024年，5月一、非齐次与齐次线性方程组的概念设线性方程组非齐次线性方程组．若常数项不全为零，则称为简记为第91页,共116页，星期六，2024年，5月则称为齐次线性方程组．若常数项即简记为第92页,共116页，星期六，2024年，5月(1)非齐次线性方程组(m=n时的情况)．(2)齐次线性方程组(m=n时的情况)．第93页,共116页，星期六，2024年，5月线性方程组（1）(2)的系数行列式

第94页,共116页，星期六，2024年，5月对于齐次线性方程组除零解外的解（若还有的话）称为非零解．注：一定是它的解，称之为零解．第95页,共116页，星期六，2024年，5月二、克莱姆法则定理4如果线性方程组（1）的系数行列式

则方程组(１)有唯一解第96页,共116页，星期六，2024年，5月其中是把行列式中第列所得的一个n阶行列式，即的元素用方程组（1）的常数项代换

第97页,共116页，星期六，2024年，5月资料：克莱姆是瑞士数学家，1704年7月31日生于日内瓦，1752年1月4日去世于法国塞兹河畔的巴尼奥勒.早年在日内瓦读书，1724年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授.他一生未婚，专心治学，平易近人，德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会成员.1750年，他在专著《线性代数分析导论》中提出了克莱姆法则.(其实莱布尼兹（1693年）和马克劳林（1748年）也给出了该法则，但他们的记法不如克莱姆，故流传下来).第98页,共116页，星期六，2024年，5月第99页,共116页，星期六，2024年，5月第100页,共116页，星期六，2024年，5月注：在第三章中还将证明这个条件也是充分的．即有非零解第101页,共116页，星期六，2024年，5月．例2：问取何值时，齐次线性方程组有非零解?解:若方程组有非零解，则∴当时，方程组有非零解．第102页,共116页，星期六，2024年，5月评论：

cramer法则给出一类线性方程组的公式解，明确了解与系数的关系，这在以后的许多问题的讨论中是重要的，同时便于编成程序在计算机上进行计算.但作为一种计算方法而言要解一个n个未知量、n个方程的线性方程组，要计算n+1个n阶行列式，计算量较大.另一方面该公式对n个未知量，m个方程的一般线性方程组的求解就无能为力。第103页,共116页，星期六，2024年，5月一、k

级子式余子式代数余子式二、拉普拉斯(Laplace)定理§2.8拉普拉斯定理行列式乘法法则三、行列式乘法法则第104页,共116页，星期六，2024年，5月拉普拉斯（749-1827）：法国数学家，物理学家,16岁入开恩大学学习数学，后为巴黎军事学院教授.曾任拿破仑的内政部长,后被拿破仑革职.也曾担任过法兰西学院院长.写了《天体力学》（共5卷）,《关于几率的分析理论》的不朽著作，赢得“法兰西的牛顿”的美誉.拉普拉斯的成就巨大，现在数学中有所谓的拉普拉斯变换、拉普拉斯方程、拉普拉斯展开式等.他正好死于牛顿死亡的第100年，他的最后一句话是‘我们知之甚少，不知道的却甚多’.第105页,共116页，星期六，2024年，5月一、k

级子式与余子式、代数余子式定义在一个n级行列式D中任意选定k行k列按照原来次序组成一个k级行列式M，称为行列()，位于这些行和列的交叉点上的个元素式D的一个k级子式；在D中划去这k行k列后式，称为

k级子式M的余子式；