七年级数学下册 9.2一元一次不等式（解析版）

七年级下册数学《第九章不等式与不等式组》9.2一元一次不等式知识点一知识点一一元一次不等式◆一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．【概念解析】（1）一元一次不等式必须具备的4个条件：①不等式左右两边都是整式；②只含一个未知数；③未知数的次数都是1；④未知数的系数不为0.（2）它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．（3）它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式．知识点二知识点二一元一次不等式的解法◆1、一个较复杂的一元一次不等式，利用不等式的性质逐步转化为x＞a或x＜a的形式的过程叫做解一元一次不等式．◆2、根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．【注意】（1）在以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到不等式的性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．（2）符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．知识点三三知识点三三一元一次不等式的应用◆1、列不等式解决实际问题是一元一次不等式的重要应用，应根据实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．◆2、列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．◆3、列一元一次不等式解实际问题的步骤：（1）审题：弄清题意及题目中的不等关系.（2）设未知数：可直接设，也可间接设.（3）列出不等式.（4）解不等式，并检验解（集）的合理性.（5）写出答案.题型一一元一次不等式的识别题型一一元一次不等式的识别【例题1】（2022春•临汾期中）在数学表达式：﹣3＜0，a+b，x＝3，x2+2y+y2，x≠5，x+2＞y+3中，是一元一次不等式的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据不等式的定义，用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式，依次判断6个式子即可．【解答】解：根据不等式的定义，依次分析可得：﹣3＜0，a+b，x＝3，x2+2y+y2，x≠5，x+2＞y+3，这些不等式中只有1个式子x≠5符合一元一次不等式定义，而x＝3是等式，x2+2xy+y2是代数式，故选：A．【点评】本题考查不等式的定义，根据不等式的定义判断即可，难度不大．解题技巧提炼判断一个不等式是否为一元一次不等式，必须化简整理后再判断，如果化简后不等号两边都是整式且含有一个未知数，未知数的次数为1且系数不为0，那么此不等式为一元一次不等式.【变式1-1】（2022秋•道县期末）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（）A．4＞1 B．x＜y C．3x﹣3＞2 D．1【分析】根据一元一次不等式的定义逐个判断即可．【解答】解：A．4＞1没有含未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；B．x＜y含有两个未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；C．3x﹣3＞2是一元一次不等式，故本选项符合题意；D．1x故选：C．【点评】本题考查了一元一次不等式的定义，能熟记一元一次不等式的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的左右两边都是整式，这样的不等式叫一元一次不等式．【变式1-2】（2022•南京模拟）下列式子①x＞0；②1x＜−1；③2x＜﹣2+x；④x+y＞﹣3；⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就可以．【解答】解：是一元一次不等式的有：x＞0，2x＜﹣2+x，共有2个．故选：B．【点评】本题考查一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为1次，还要注意未知数的系数不能是0．【变式1-3】（2022春•五华区校级期中）若（3﹣m）x|m|﹣2﹣8＜0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（）A．±3 B．﹣3 C．3 D．2【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．【解答】解：根据题意得：3﹣m≠0且|m|﹣2＝1，解得：m＝﹣3．故选：B．【点评】本题考查了一元一次不等式的定义，掌握含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式是解本题的关键．【变式1-4】（2022秋•天元区校级期末）若（k﹣1）x|k|+3≥0是关于x的一元一次不等式，则k的值为．【分析】根据一元一次不等式的定义可得|k|＝1且k﹣1≠0，分别进行求解即可．【解答】解：∵（k﹣1）x|k|+3≥0是关于x的一元一次不等式，∴|k|＝1且k﹣1≠0，解得：k＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是0．【变式1-5】（2022秋•萨尔图区校级月考）当k＝时，不等式（k﹣2）xk2−3【分析】根据一元一次不等式的定义可得k2﹣3＝1且k﹣2≠0，分别进行求解即可．【解答】解：根据题意得：k2﹣3＝1且k﹣2≠0，解得：k＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是0．题型二解一元一次不等式题型二解一元一次不等式【例题2】（2022春•景泰县校级期中）解下列不等式：（1）2（x﹣1）≥x﹣5；（2）1−3x2【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式；（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式即可求解．【解答】解：（1）2x﹣2≥x﹣5，2x﹣x≥﹣5+2，解得：x≥﹣3；（2）1﹣3x＞2﹣4x，﹣3x+4x＞2﹣1，x＞1．【点评】本题考查了解一元一次不等式，正确的计算是解题的关键．解题技巧提炼1、解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．2、解一元一次不等式时有两步可能会改变不等号的方向；一是去分母；二是系数化为1，为了使不等式简化，可以在“去分母”这一步里，两边同乘一个正数.【变式2-1】（2022春•陈仓区期中）解不等式x3【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．【解答】解：去分母得：2x＜6﹣（x﹣3），去括号得：2x＜6﹣x+3，移项、合并同类项得：3x＜9，系数化为1得：x＜3．该不等式的解集在数轴上表示如下：【点评】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示出不等式的解集，正确的计算是解题的关键．【变式2-1】（2022秋•西湖区校级期中）解下列不等式：（1）3x+1≥﹣5；（2）1−8+x【分析】（1）移项，合并同类项，系数化为1即可；（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可．【解答】解：（1）3x+1≥﹣5，3x≥﹣5﹣1，3x≥﹣6，x≥﹣2；（2）1−8+x6−(8+x)×2≥x6﹣16﹣2x≥3x，﹣2x﹣3x≥﹣6+16，﹣5x≥10，x≤﹣2．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式，掌握求解一元一次不等式的方法是解答本题的关键．【变式2-3】（2022春•南关区校级期中）解下列不等式：（1）3（x+1）＜x﹣1；（2）1−x3＜3【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：（1）去括号，得：3x+3＜x﹣1，移项，得：3x﹣x＜﹣1﹣3，合并同类项，得：2x＜﹣4，系数化为1，得：x＜﹣2；（2）去分母，得：4（1﹣x）＜36﹣3（x+2），去括号，得：4﹣4x＜36﹣3x﹣6，移项，得：﹣4x+3x＜36﹣6﹣4，合并同类项，得：﹣x＜26，系数化为1，得：x＞﹣26．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．【变式2-4】（2022春•龙文区校级期中）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来：（1）4x﹣2＞（3x﹣1）；（2）2x−13【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，求出x的取值范围在数轴上表示出来即可；（2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，求出x的取值范围在数轴上表示出来即可．【解答】解：（1）去括号得，4x﹣2＞3x﹣1，移项得，4x﹣3x＞﹣1+2，合并同类项得，x＞1，在数轴上表示为：（2）去分母得，2（2x﹣1）﹣3（5x+1）≥6，去括号得，4x﹣2﹣15x﹣3≥6，移项得，4x﹣15x≥6+2+3，合并同类项得，﹣11x≥11，x的系数化为1得，x≤﹣1．在数轴上表示为：【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．【变式2-5】（2022春•宣州区校级期中）解不等式，并把解集表示在数轴上：2x−13【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，然后在数轴上表示不等式的解集即可求解．【解答】解：2x−134（2x﹣1）≤3（3x+2）﹣12，8x﹣4≤9x+6﹣12，8x﹣9x≤6﹣12+4，﹣x≤﹣2，解得x≥2．在数轴上表示不等式的解集，如图，【点评】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．题型三求一元一次不等式的特殊解题型三求一元一次不等式的特殊解【例题3】（2023春•定远县校级月考）不等式4x≤10+x的所有正整数解的和为．【分析】首先解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数，求它们的和即可．【解答】解：不等式移项得：4x﹣x≤10，合并得：3x≤10，系数化为1得：x≤10∴不等式的所有正整数解为1，2，3，则不等式的所有正整数解的和是1+2+3＝6．故答案为：6．【点评】此题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．解题技巧提炼求一元一次不等式的特殊解分两步来解答：一是求解一元一次不等式，得出解集；二是根据问题的条件，在求出的范围内确定满足条件的解.【变式3-1】（2023•韩城市一模）求不等式3x−13【分析】根据解一元一次不等式的步骤：去分母、去考号、移项、合并同类项、化系数为1，依次计算求出x的解集，在解集中找出符合要求的正整数解即可．【解答】解：3x−13去分母得：2（3x﹣1）﹣3（x+1）≤6，去括号得：6x﹣2﹣3x﹣3≤6，移项得：6x﹣3x≤6+2+3，合并同类项得：3x≤11，化系数为1得：x≤11∴原不等式的正整数解为1，2，3．【点评】本题主要考查解一元一次不等式、一元一次不等式的整数解，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．【变式3-2】（2023•秦都区校级二模）解不等式：x−42【分析】根据解一元一次不等式的方法，求出该不等式的解集，然后写出相应的最大整数解即可．【解答】解：x−42去分母，得：3（x﹣4）≤6﹣2（7﹣x），去括号，得：3x﹣12≤6﹣14+2x，移项及合并同类项，得：x≤4．∴原不等式的解集为x≤4，∴不等式的最大整数解为4．【点评】本题考查解一元一次不等式、一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解答本题的关键．【变式3-3】（2023•秦都区校级二模）解不等式：9x+86【分析】根据解一元一次不等式的方法，可以求得该不等式的解集，然后写出最小整数解即可．【解答】解：9x+86去分母，得：9x+8﹣2x≥﹣6，移项及合并同类项，得：7x≥﹣14，系数化为1，得：x≥﹣2，∴该不等式的最小整数解是﹣2．【点评】本题考查解一元一次不等式、一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．【变式3-4】（2023春•胶州市期中）已知关于x的方程2x﹣a＝3的解是不等式1−x−22＜【分析】根据一元一次不等式的解法以及一元一次方程的解法即可求出答案．【解答】解：∵1−x−2∴6﹣3x+6＜2+2x，∴﹣5x＜﹣10，∴x＞2，∴x的最小整数为3，把x＝3代入2x﹣a＝3得，6﹣a＝3，∴a＝3．【点评】本题考查一元一次不等式，解题的关键是熟练运用一元一次方程以及一元一次不等式的解法，本题属于基础题型．【变式3-5】已知关于x的不等式−x−a3＞0的最大整数解为3aA．x＜23或x＜34 B．x＜34 C．【分析】由x的不等式x﹣a＜0，得x＜a，因为x的不等式x﹣a＜0的最大整数解为3a+5，所以3a+5≤a≤3a+6，因此a＝﹣3或−8【解答】解：关于x的不等式−x−ax＜a，∵关于x的不等式−x−a3＞∴3a+5＜a≤3a+6，∴﹣3≤a＜−5∵3a+5为整数，可设m＝3a+5，则a=m−5即﹣3≤m−5解得﹣4≤m＜−5∵m为整数，∴m＝﹣4或﹣3，∴a＝﹣3或−8当a＝﹣3时，不等式为﹣3x+7＞5，解得x＜2当a=−83时，不等式为−83故选：A．【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．题型四列一元一次不等式解决代数问题题型四列一元一次不等式解决代数问题【例题4】（2022春•琼山区校级月考）已知y1＝x+2，y2＝3x﹣4，解答下列问题：（1）当x取何值时，y1＝y2？（2）x取何值时，y1不小于y2？【分析】（1）根据y1＝x+2，y2＝3x﹣4，若y1＝y2，列出关于x的方程，解方程即可；（2）根据y1不小于y2，列出关于x的不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）由题意得x+2＝3x﹣4．∴x＝3．（2）由题意得：x+2≥3x﹣4，∴x≤3．【点评】本题考查解一元一次方程以及一元一次不等式，关键根据y1和y2的关系，可列出关于x的方程和不等式求解．解题技巧提炼列不等式解决代数问题时，要先分析题意，列出不等式，求出不等式的解，再取符合要求的解.【变式4-1】当代数式2x+1的值小于代数式x−42的值时，xA．x＜﹣2 B．x＞﹣2 C．x＞2 D．x＜2【分析】由代数式2x+1的值小于代数式x−42的值列出不等式，求出不等式的解集即可得到x【解答】解：根据题意，得2x+1＜x−4去分母，得2（2x+1）＜x﹣4，去括号，得4x+2＜x﹣4，移项、合并同类项，得3x＜﹣6，系数化为1，得x＜﹣2，故选：A．【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．【变式4-2】（2022•河北二模）m的3倍与−12m+1的差不大于13，则A．9 B．6 C．5 D．3【分析】根据文字表述得到题中存在的关系为：3m﹣（−1【解答】解：根据题意，得3m﹣（−1解得m≤4，故选：D．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键．【变式4-3】（2022春•东方校级期中）当代数式2x+1的值小于代数式x−42的值时，下列数值中在xA．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【分析】利用已知条件列出不等式，解出x的范围可知答案．【解答】解：依题意得，2x+1＜x−4两边同时乘以2，得：4x+2＜x﹣4，移项合并得：3x＜﹣6，系数化为1得：x＜﹣2，故选：D．【点评】本题考查解一元一次不等式，根据题意列出不等式是解题的关键．【变式4-4】要使式子x−92+1的值不小于式子x+13A．x≥29 B．x≤17 C．x≥17 D．x≤29【分析】先根据题意列出不等式，再根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：根据题意，得x−92+1去分母，得3（x﹣9）+6≥2（x+1）﹣6，去括号，得3x﹣27+6≥2x+2﹣6，移项，得3x﹣2x≥2﹣6+27﹣6，合并同类项，得x≥17，故选：C．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．【变式4-5】若代数式x−93+1的值不大于代数式2x+13A．x≤﹣4 B．x＜﹣4 C．x≥﹣4 D．x＞﹣4【分析】先根据题意列出不等式，再求解即可．【解答】解：根据题意，得，x−93+1去分母，得，x﹣9+3≤2x+1﹣3，移项、合并同类项，得，﹣x≤4，系数化为1，得，x≥﹣4．故选：C．【点评】本题考查了解一元一次不等式，解答本题的关键是列不等式，然后依据不等式的基本性质求解．题型五求含字母常数的一元一次不等式的解集题型五求含字母常数的一元一次不等式的解集【例题5】（2022秋•沙坪坝区校级期末）不等式ax+b＞0的解集为x＜12，则关于x的不等式bx＜a的解集为【分析】由条件可求得a＝﹣2，b＝1，再代入求解即可．【解答】解：ax+b＞0，得ax＞﹣b，∵不等式ax+b＞0的解集为x＜1∴a＜0，∴x＜−b∴a＝﹣2，b＝1，∴bx＜a的解集为：x＜﹣2．故答案为：x＜﹣2．【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解答的关键是对解一元一次不等式的方法的掌握．解题技巧提炼解含字母常数的不等式，其解题步骤与解不含字母常数的不等式的步骤基本一致，只是在最后一步系数化为1时需将含字母的系数分正数、0、负数这三类进行讨论.【变式5-1】（2022春•赛罕区校级月考）若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x＜15，则关于x的不等式（m+n）x＞n﹣A．x＞−23 B．x＜−23 C．【分析】根据已知不等式的解集确定出m与n的关系式，代入所求不等式计算即可求出解集．【解答】解：关于x的不等式mx﹣n＞0，移项得：mx＞n，由已知解集为x＜15，得到即x＜n∴nm=15，即m＝5n（代入不等式（m+n）x＞n﹣m得：6nx＞﹣4n（n＜0），整理得：6x＜﹣4，解得：x＜−2故选：B．【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．【变式5-2】（2023•二道区校级一模）若关于x的不等式ax＞b的解集是x＜25，则关于x的不等式（a﹣2b）x+a≥0的解集是【分析】由关于x的不等式ax＞b的解集是x＜25知a＜0，且ba=25，即b=25a，据此将不等式（a﹣2b）x【解答】解：∵关于x的不等式ax＞b的解集是x＜2∴a＜0，且ba=25，即则不等式（a﹣2b）x+a≥0可变形为15ax+a移项，得：15ax≥﹣a系数化为1，得：x≤﹣5，故答案为：x≤﹣5．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变式5-3】（2023•安徽一模）已知一关于x的不等式（3a﹣b）x+a﹣4b＞0的解集是x＜5，那么这个关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为．【分析】先将已知不等式进行变形，根据已知不等式的解集得出3a﹣b＜0且−a+4b3a−b=5，求出a＜0，b=【解答】解：（3a﹣b）x+a﹣4b＞0，（3a﹣b）x＞﹣a+4b，∵关于x的不等式（3a﹣b）x+a﹣4b＞0的解集是x＜5，∴3a﹣b＜0且−a+4b3a−b27a﹣9b＜0且9b＝16a，解得：a＜0，b=169∴ax﹣b＞0的解集为x＜16故答案为：x＜16【点评】本题考查了解一元一次不等式，能根据已知求出3a﹣b＜0且−a+4b3a−b【变式5-4】关于x的不等式（2a﹣b）x+（﹣a﹣5b）＞0的解集为x＜73，则关于x的不等式（3b﹣5a）x＜17a+b的解集为【分析】先根据不等式（2a﹣b）x+（﹣a﹣5b）＞0的解集为x＜73求出a和b的关系，即b的取值情况，再代入不等式（3b﹣5a）x＜17a+【解答】解：（2a﹣b）x+（﹣a﹣5b）＞0，（2a﹣b）x＞a+5b，∵不等式的解集为x＜7∴可得2a﹣b＜0，a+5b2a−b∴可求得a＝2b，b＜0，不等式（3b﹣5a）x＜17a+b可化为：﹣7bx＜35b，解得x＜﹣5．故填x＜﹣5．【点评】本题考查不等式的解集，此题出的比较新颖，有一定难度，求出a和b的关系是解决本题的关键．题型六不等式与绝对值的综合应用题型六不等式与绝对值的综合应用【例题6】已知3（5x+2）+5＜4x﹣6（x+1），化简：|3x+1|﹣|1﹣3x|．【分析】先去括号、移项得15x﹣4x+6x＜﹣6﹣6﹣5，合并得17x＜﹣17，则x＜﹣1，然后根据x＜﹣1去绝对值得到|3x+1|﹣|1﹣3x|＝﹣（3x+1）﹣（1﹣3x），再去括号合并即可．【解答】解：去括号得15x+6+5＜4x﹣6x﹣6，移项得15x﹣4x+6x＜﹣6﹣6﹣5，合并得17x＜﹣17，系数化为1得x＜﹣1，|3x+1|﹣|1﹣3x|＝﹣（3x+1）﹣（1﹣3x）＝﹣3x﹣1﹣1+3x＝﹣2．【点评】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质，先去分母、移项、合并同类项，再把未知数的系数化为1可得到不等式的解集．也考查了绝对值．解题技巧提炼解绝对值问题的关键是确定绝对值符号内的式子的正负，再去绝对值进行化简，而绝对值内式子的符号需通过解不等式确定未知数的取值范围后，再判断.【变式6-1】已知关于x的不等式（a﹣1）x＞1，可化为x＜1a−1，试化简|1﹣a|﹣|A．﹣2a﹣1 B．﹣1 C．﹣2a+3 D．1【分析】由不等式的基本性质3可得a﹣1＜0，即a＜1，再利用绝对值的性质化简可得．【解答】解：∵（a﹣1）x＞1可化为x＜1∴a﹣1＜0，解得a＜1，则原式＝1﹣a﹣（2﹣a）＝1﹣a﹣2+a＝﹣1，故选：B．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．【变式6-2】已知5（x+1）﹣3x＞2（2x+3）+4，化简|2x﹣1|﹣|1+2x|【分析】掉绝对值符号把代数式化简即可．【解答】解：解不等式5（x+1）﹣3x＞2（2x+3）+4，去括号得，5x+5﹣3x＞4x+6+4，移项得，5x﹣3x﹣4x＞6+4﹣5，合并同类项得，﹣2x＞5，系数化为1得，x＜−5故|2x﹣1|﹣|1+2x|＝1﹣2x+1+2x＝2．【点评】【变式6-3】已知6（x+1）﹣4x＞3（5x+2）+5，化简：|3x+1|﹣|1﹣3x|．【分析】解不等式求出x的范围，这样就可以确定3x+1与1﹣3x的符号，从而化简式子时能正确去掉绝对值符号，把式子进行化简．【解答】解：不等式去括号得：6x+6﹣4x＞15x+6+5，移项合并同类项得：﹣13x＞5，则x＜−5当x＜−513时，3x+1即3x+1＜−21﹣3x＞（−5即1﹣3x＞28所以|3x+1|﹣|1﹣3x|＝﹣3x﹣1﹣1+3x＝﹣2．【点评】解不等式依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．特别是在系数化为1这一个过程中要注意不等号的方向的变化．【变式6-4】（2021•罗湖区校级模拟）阅读下面材料并解决有关问题：我们知道：|x|=x(x＞0)0(x=0)−x(x＜0)，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1；综上讨论，原式=通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）当x＜2时，|x﹣2|＝；（2）化简代数式|x+2|+|x﹣4|；（写出解答过程）（3）直接写出|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．【分析】（1）根据绝对值的意义可得结论；（2）零点值x＝﹣2和x＝4可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：x＜﹣2、﹣2≤x＜4和x≥4．分该三种情况找出|x+2|+|x﹣4||的值即可；（3）分x＜﹣1、﹣1≤x≤1、x＞1分别化简，结合x的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值．【解答】解：（1）当x＜2时，|x﹣2|＝2﹣x，故答案为：2﹣x；（2）分以下3种情况：①当x＜﹣2时，原式＝﹣（x+2）﹣（x﹣4）＝﹣2x+2；②当﹣2≤x＜4时，原式＝x+2﹣（x﹣4）＝6；③当x≥4时，原式＝x+2+x﹣4＝2x﹣2；综上讨论，原式=−2x+2(x＜−2)（3）当x＜﹣1时，原式＝3x+5＜2，当﹣1≤x≤1时，原式＝﹣5x﹣3，﹣8≤﹣5x﹣3≤2，当x＞1时，原式＝﹣3x﹣5＜﹣8，则|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值为2．故答案为：2．【点评】本题考查了含绝对值的代数式化简问题，注意读懂题目的解答，以及分类思想的运用．题型七一元一次不等式与方程（组）的综合应用题型七一元一次不等式与方程（组）的综合应用【例题7】已知关于x的方程12x−a=13x﹣1的解比关于x的方程2[x﹣2（4﹣2a）]=12（【分析】分别求得关于x的方程12x−a=13x﹣1、2[x﹣2（4﹣2a）]=12（x+【解答】解：∵12x−a=∴x＝6a﹣6；∵2[x﹣2（4﹣2a）]=12（x+∴x=323−∵方程12x−a=13x﹣1的解比关于x的方程2[x﹣2（4﹣2a）]=1∴6a﹣6+2=323−解得：a=4【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．解题技巧提炼本题运用了消元法和常量法，解答这类题，一般先将某个字母视为常数，求出方程组的解，再建立不等式，求出相应字母的取值范围.【变式7-1】（2023春•德城区校级月考）关于x，y的方程组3x−y=k−3x−3y=3k−1的解，满足x﹣y＜4，则kA．k＞5 B．k≥5 C．k＜5 D．k≤5【分析】将2个方程相加得出x﹣y＝k﹣1，根据不等式的解集的情况，得出k﹣1＜4，进而即可求解．【解答】解：3x−y=k−3①由①+②得：4x﹣4y＝4k﹣4∴x﹣y＝k﹣1，∵x﹣y＜4，∴k﹣1＜4解得：k＜5，故选：C．【点评】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意得出x﹣y的表达式是解答此题的关键．【变式7-2】（2022春•桐城市期末）已知关于x、y的二元一次方程组3x+2y=−a−1x−23y=a+53的解满足A．a≥−138 B．a≥−134 C．a≤−【分析】把a看作已知数表示出方程组的解，代入不等式计算即可求出a的范围．【解答】解：3x+2y=−a−1①x−①﹣②×3得：4y＝﹣a﹣1﹣3a﹣5，解得：y＝﹣a−3把y＝﹣a−32代入②得：x−23（﹣a−整理得：x+23a+1＝a解得：x=13a∵x≥y，∴13a+23≥−a−3解得：a≥−13故选：A．【点评】此题考查了解一元一次不等式，以及二元一次方程组的解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．【变式7-3】已知不等式2（x+1）﹣5＜3（x﹣1）+4的最小整数解是方程x+23−x−a【分析】按照解不等式的基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式的解集，得到不等式最小整数解，根据题意将x的值代入方程，解关于a的方程可得．【解答】解：去括号，得：2x+2﹣5＜3x﹣3+4，移项，得：2x﹣3x＜﹣3+4﹣2+5，合并同类项，得：﹣x＜4，系数化为1，得：x＞﹣4；∴满足不等式的最小整数解为x＝﹣3，根据题意，将x＝﹣3代入方程x+23解得：a=7【点评】本题主要考查解一元一次不等式和方程的能力，根据题意将整数解代入方程是关键．【变式7-4】（2022秋•南乐县月考）已知（|a|﹣2）x2﹣（a+2）x+8＝0是关于x的一元一次方程．（1）求a的值，并解出上述一元一次方程；（2）若上述方程的解比方程6x﹣3k＝2x的解大于1，求k的值．【分析】（1）利用一元一次方程的定义求出a的值，求出一元一次方程的解即可；（2）由上述方程的解确定出6x﹣3k＝2x的解，代入计算即可求出k的值．【解答】解：（1）∵（|a|﹣2）x2﹣（a+2）x+8＝0是关于x的一元一次方程，∴|a|﹣2＝0，即a＝±2，又∵a+2≠0，∴a＝2，方程为﹣4x+8＝0，解得x＝2；（2）由题意得：6x﹣3k＝2x的解为x＝1，把x＝1代入方程得：6﹣3k＝2，解得：k=4【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式7-5】（2022春•丰泽区校级期中）已知关于x、y的二元一次方程组2x−5y=2k−3①x+3y=5k②（1）当k＝1时，解这个方程组；（2）若3x＞2y，求k的取值范围．【分析】（1）写出k＝1时的方程组，然后将第二个方程乘以2，再利用加减消元法求解即可；（2）两个方程相加表示出S，再求解即可．【解答】解：（1）k＝1时，方程组为2x−5y=−1①x+3y=5②②×2得，2x+6y＝10③，③﹣①得，11y＝11，解得y＝1，将y＝1代入②得，x+3＝5，解得x＝2，所以，方程组的解是x=2y=1（2）2x−5y=2k−3①x+3y=5k②①+②得，3x﹣2y＝7k﹣3，∵3x﹣2y＞0，∴7k﹣3＞0，∴k的取值范围是k＞3【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．【变式7-6】（2022春•绵阳期中）关于x，y的方程组3x+2y=7m+82x+3y=3m−3（1）解方程组（含m的式子表示解）；（2）方程组的解满足2x﹣3y＜9，求m的范围．【分析】（1）利用加减法解关于x、y的方程组即可；（2）把（1）中的x、y代入2x﹣3y＜9得到关于m的不等式，然后解不等式即可．【解答】解：（1）3x+2y=7m+8①2x+3y=3m−3②①×3﹣②×2得9x﹣4x＝21m+24﹣6m+6，解得x＝3m+6，把x＝3m+6代入①得9m+18+2y＝7m+8，解得y＝﹣m﹣5，所以方程组的解为x=3m+6y=−m−5（2）∵x＝3m+6，y＝﹣m﹣5，而2x﹣3y＜9，∴2（3m+6）﹣3（﹣m﹣5）＜9，解得m＜﹣2，即m的取值范围为m＜﹣2．【点评】本题考查了解一元一次不等式：熟练掌握不等式的性质是解决问题的关键．也考查了二元一次方程组．题型八根据实际问题列不等式题型八根据实际问题列不等式【例题8】（2023春•项城市月考）某经销商销售一批电话手表，第一个月以600元/块的价格售出60块，第二个月降价处理，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，这两个月的销售总额不少于86000元．则这批电话手表的总数量x（块）应满足的不等式为（）A．600×60+500x≥86000 B．600×60+500x≤86000 C．600×60+500（x﹣60）≥86000 D．600×60+500（x﹣60）≤86000【分析】设这批电话手表有x块，则降价后售出（x﹣60）块，利用销售总额＝销售单价×销售数量，结合销售总额超过了86000万元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．【解答】解：设这批电话手表有x块，则降价后售出（x﹣60）块，依题意得：600×60+500（x﹣60）≥86000，故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确的列出不等式是解题的关键．解题技巧提炼此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据已知条件抽象出不等关系是关键，然后根据不等关系列出不等式.【变式8-1】（2022春•楚雄州期中）植树节期间，某校组织八年级学生共162人参加植树活动，男生平均每人植树5棵，女生平均每人植树3棵．为了保证本次植树的数量不少于666棵，则至少需要多少名男生参加植树活动？设参加植树活动的男生人数为x人，则下列不等式正确的是（）A．3x+5（162﹣x）≥666 B．5x+3（162﹣x）＞666 C．5x+3（162﹣x）≥666 D．5x+3（162﹣x）≤666【分析】由男、女生人数间的关系，可得出参加植树活动的女生人数为（162﹣x）人，根据本次植树的数量不少于666棵，可得出关于x的一元一次不等式，此题得解．【解答】解：∵该校组织八年级学生共162人参加植树活动，且参加植树活动的男生人数为x人，∴参加植树活动的女生人数为（162﹣x）人．根据题意得：5x+3（162﹣x）≥666．故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．【变式8-2】（2022春•花山区校级期中）如图1所示的是4颗大小相同的玻璃球．将玻璃球全部放入一个容积为500cm3，且装有400cm3水的烧杯中（如图2），此时水不可能溢出，设每颗玻璃球的体积为xcm3，根据题意可列不等式为（）A．400+4x＜500 B．400+4x≤500 C．400+4x＞500 D．400+4x≥500【分析】水的体积+4个玻璃球的体积≤500cm3．【解答】解：水的体积为400cm3，四颗相同的玻璃球的体积为4xcm3，根据题意得到：400+4x≤500．故选：B．【点评】本题考查的是由实际问题抽象出一元一次不等式，解此类题目的关键是读懂图意．【变式8-3】（2022秋•杭州期末）小聪用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件．已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，设小聪最多能买x支钢笔．可列出不等式（）A．5x+2（30﹣x）＜100 B．5x+2（30﹣x）≤100 C．5x+2（30﹣x）≥100 D．5x+2（30﹣x）＞100【分析】根据题意分别表示出笔记本和钢笔总钱数进而得出答案．【解答】解：设小张买了x支钢笔，则x应满足的不等式是5x+2（30﹣x）≤100．故选：B．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确表示出总钱数是解题关键．【变式8-4】（2022秋•湘潭县期末）一次知识竞赛共有20道选择题，答对一题得5分；答错或不答，每题扣1分．要使总得分不少于88分，则至少要答对几道题？若设答对x道题，可列出的不等式为（）A．5x﹣（20﹣x）＞88 B．5x﹣（20﹣x）＜88 C．5x﹣（20﹣x）≤88 D．5x﹣（20﹣x）≥88【分析】设答对的题数为x道，则答错或不答的题数为（20﹣x）道，根据总分＝5×答对题数﹣1×答错或不答题数，结合总得分不少于88分，即可得出关于x的一元一次不等式．【解答】解：设答对x道题，则答错或不答的题数为（20﹣x）道，则5x﹣（20﹣x）≥88．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式的知识，解答本题的关键是找到不等关系．【变式8-5】（2023•二道区校级模拟）某品牌净水器的进价为1600元，商店以2000元的价格出售．春节期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该净水器最多可降价多少元？若设净水器可降价x元，则可列不等式为（）A．2000−1600−x1600≥20% B．C．2000−1600−x2000≥20% 【分析】利用利润率=销售利润进价，结合利润率不低于20%，可得出关于【解答】解：根据题意得2000−1600−x1600故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．题型九列不等式解决实际问题题型九列不等式解决实际问题【例题9】（2022春•甘州区校级期末）为了举行班级晚会，小张同学准备去商店购买20个乒乓球做道具，并购买一些乒乓球拍做奖品．已知每个乒乓球1.5元，每个乒乓球拍22元．如果购买金额不超过200元，且购买的球拍数量要尽可能多，那么小张同学应该购买多少个球拍？【分析】设小张同学应该购买x个球拍，利用总价＝单价×数量，结合购买金额不超过200元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．【解答】解：设小张同学应该购买x个球拍，依题意得1.5×20+22x≤200，解得：x≤7811∵x是整数，∴x的最大值为7．答：小张同学应该购买7个球拍．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．解题技巧提炼列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．【变式9-1】（2023•禅城区一模）某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），则小明至少答对了______道题．（）A．17 B．18 C．19 D．16【分析】根据题意可得，关系式为：5×答对的题数﹣1×其余题数≥85，进而得出答案．【解答】解：设小明答对了x道题．则：5x﹣1×（20﹣x）≥85，解得：x≥17.5，∴小明至少答对了18道题．故选：B．【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，找到相应的不等关系是解决问题的关键，【变式9-2】（2022秋•碑林区校级期末）新年到来之际，百货商场进行促销活动，某种商品进价1000元，出售时标价为1400元，本次打折销售要保证利润不低于5%，则最多可打（）A．六折 B．七折 C．七五折 D．八折【分析】设该商品打x折销售，利用利润＝售价﹣进价，结合利润不低于5%，即可得出关于x的一元一次不等式，解