七年级数学下册 专题 不等式与不等式组的含参问题（解析版）

七年级下册数学《第九章不等式与不等式组》专题不等式与不等式组的含参问题题型一利用不等式的性质求字母的取值范围题型一利用不等式的性质求字母的取值范围【例题1】若不等式（a﹣3）x＞2的解集是x＜2a−3，则A．a≠3 B．a＞3 C．a＜3 D．a≤3【分析】根据不等式的性质可得a﹣3＜0，由此求出a的取值范围．【解答】解：∵（a﹣3）x＞2的解集为x＜2∴不等式两边同时除以（a﹣3）时不等号的方向改变，∴a﹣3＜0，∴a＜3．故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质：在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．本题解不等号时方向改变，所以a﹣3小于0．【变式1-1】关于x的不等式（a﹣1）x＞b的解集是x＞ba−1，则A．a＜0 B．a＞0 C．a＜1 D．a＞1【分析】直接利用不等式的性质，得出a﹣1＞0，进而得出答案．【解答】解：∵不等式（a﹣1）x＞b的解集是x＞b∴a﹣1＞0，解得：a＞1．故选：D．【点评】此题主要考查了不等式的解集，正确得出a﹣1的符号是解题关键．【变式1-2】（2022•南京模拟）如果关于x的不等式（m﹣2）x＞3解集为x＜3m−2，则是（）A．m≤2 B．m≥2 C．m＜2 D．m＞2【分析】利用不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．可得m﹣2＜0，然后进行计算即可解答．【解答】解：∵关于x的不等式（m﹣2）x＞3解集为x＜3∴m﹣2＜0，解得：m＜2，故选：C．【点评】本题考查了不等式的基本性质，一元一次不等式的解法，掌握“不等式的基本性质”是解本题的关键．【变式1-3】（2022春•南山区期末）关于x的不等式（m+2）x＞（m+2）的解集为x＜1，那么m的取值范围是（）A．m＞0 B．m＜0 C．m＞﹣2 D．m＜﹣2【分析】根据不等式（m+2）x＞（m+2）的解集为x＜1，知m+2＜0，解之即可．【解答】解：∵关于x的不等式（m+2）x＞（m+2）的解集为x＜1，∴m+2＜0，解得m＜﹣2，故选：D．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．【变式1-4】（2022春•锦江区校级期中）若关于x的不等式（m﹣1）x＜2的解集是x＞2m−1，则A．m＞1 B．m＜1 C．m≠1 D．m≤1【分析】根据不等式的性质得m﹣1＜0，然后解关于m的不等式即可．【解答】解：∵关于x的不等式（m﹣1）x＜2的解集里x＞2∴m﹣1＜0，∴m＜1．故选：B．【点评】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式．基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．【变式1-5】（2022•南京模拟）若（a+3）x＞a+3的解集为x＜1，则a必须满足（）A．a＜0 B．a＞﹣3 C．a＜﹣3 D．a＞3【分析】根据已知解集，利用不等式的基本性质判断即可．【解答】解：∵（a+3）x＞a+3的解集为x＜1，∴a+3＜0，解得：a＜﹣3．故选：C．【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．【变式1-6】（2023春•新城区校级月考）当m时，不等式（m+3）x≥2的解集是x≤2【分析】根据不等式的性质3（不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向要改变）得出m+3＜0，求出即可．【解答】解：∵不等式（m+3）x≥2的解集是x≤2∴m+3＜0，∴m＜﹣3，故答案为：＜﹣3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向要改变是解题的关键．题型二解集对应法求字母的值题型二解集对应法求字母的值【例题2】（2022秋•常德期末）关于x的不等式组x＞m−1x＞m+2的解集是x＞﹣1，则m＝【分析】根据同大取大，可得出关于m的方程，求出m的值即可．【解答】解：由x＞m−1x＞m+2的解集是x∵m+2＞m﹣1，∴m+2＝﹣1，解得m＝﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，利用同大取大是解题关键．【变式2-1】（2023春•北碚区校级月考）关于x的一元一次不等式13(mx−1)＞2−m的解集为x＜﹣4，则m的值是【分析】先用含有m的式子把原不等式的解集表示出来，然后和已知解集进行比对得出关于m的方程，解之可得m的值．【解答】解：11313mx＞7﹣3m，∵不等式13(mx−1)＞2−m的解集为∴m＜0，x＜7−3m∴7−3mm∴7﹣3m＝﹣4m，∴m＝﹣7，故答案为：﹣7．【点评】本题主要考查解一元一次不等式，当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．【变式2-2】（2022春•顺德区校级期中）关于x的一元一次不等式m−2x3≤−2的解集为x≥4，则A．14 B．7 C．﹣2 D．2【分析】先用含有m的式子把原不等式的解集表示出来，然后和已知解集进行比对得出关于m的方程，解之可得m的值．【解答】解：解不等式m−2x3≤−2得：x∵不等式的解集为x≥4，∴m+62解得m＝2，故选：D．【点评】本题主要考查解一元一次不等式，当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．【变式2-3】如图，是关于x的不等式2x﹣a≤﹣1的解集，则a的值为（）A．a＝﹣2 B．a＝﹣1 C．a≤﹣2 D．a≤﹣1【分析】解不等式得出x≤a−12，结合数轴知x≤﹣1，据此可得关于【解答】解：由数轴上表示不等式解集的方法可知，此不等式的解集为x≤﹣1，解不等式2x﹣a≤﹣1得，x≤a−12，即解得a＝﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查解一元一次不等式，当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．【变式2-4】（2022春•西峡县期中）若关于x的不等式2x+9＞6x+1x−a＜1的解集为x＜2，则a取值范围是【分析】求出每个不等式的解集，根据已知得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：解不等式组2x+9＞6x+1①x−a＜1②，得x＜2∵不等式组2x+9＞6x+1①x−a＜1②的解集为x∴a+1≥2，解得a≥1．故答案为：a≥1．【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集和已知得出关于k的不等式，难度适中．【变式2-5】（2023•永定区一模）不等式组3x−9＞0x＞m的解集为x＞3，则m的取值范围为【分析】先求出不等式组的解集，再根据已知条件判断m范围即可．【解答】解：3x−9＞0①x＞m②解不等式①得：x＞3，又因为不等式组的解集为：x＞3，x＞m，∴m≤3．故答案为：m≤3．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集和已知得出m的范围是解此题的关键．【变式2-6】（2022春•武汉期末）若不等式x+16−2x−54≥1的解都能使不等式4x＜2xA．a≥1.5 B．a＞1.5 C．a＜7 D．1.5＜a＜7【分析】解不等式x+16−2x−54≥1得x≤54，解不等式4x＜2x+a+1得【解答】解：解不等式x+16−2x−54解不等式4x＜2x+a+1得x＜a+1∵不等式x+16−2x−54≥1的解都能使不等式4x∴a+12∴a＞1.5，故选：B．【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据及不等式的基本性质．【变式2-7】（2022春•南关区校级期中）关于x的不等式组3x−6＞0a−x＞−2的解集是2＜x＜5，则a的值为【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集可得关于a的方程，解之即可．【解答】解：由3x﹣6＞0得：x＞2，由a﹣x＞﹣2得：x＜a+2，∵不等式组的解集为2＜x＜5，∴a+2＝5，解得a＝3，故答案为：3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变式2-8】（2022秋•西湖区期中）已知关于x的不等式组x−1≥a2x−b＜3的解集为3≤x＜5，则a+b＝【分析】先求出不等式组的解集，根据已知不等式组的解集是3≤x＜5得出a+1＝3，3+b2=5，求出a、b，再求出a+【解答】解：x−1≥a①解不等式①，得x≥a+1，解不等式②，得x＜3+b所以不等式组的解集是a+1≤x＜3+b∵关于x的不等式组x−1≥a2x−b＜3的解集为3≤x∴a+1＝3，3+b2∴a＝2，b＝7，∴a+b＝2+7＝9，故答案为：9．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式组的解集得出a+1＝3和3+b2【变式2-9】若不等式组：x−a＞2b−2x＞0的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2022A．﹣1 B．0 C．1 D．2023【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集得出a、b的值，再代入计算即可．【解答】解：由x﹣a＞2，得x＞a+2，由b﹣2x＞0，得x＜b∵不等式组的解集为﹣1＜x＜1，∴a+2＝﹣1，b2解得a＝﹣3，b＝2，∴（a+b）2022＝（﹣3+2）2022＝（﹣1）2022＝1，故选：C．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．题型题型三根据不等式组解的情况，确定字母的取值范围【例题3】（2022秋•零陵区期末）若关于x的不等式组2x−6+m＜04x−m＞0有解，则mA．m≤4 B．m＜4 C．m≥4 D．m＞4【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据不等式组有解得出3−12m【解答】解：2x−6+m＜0①4x−m＞0②解不等式①，得x＜3−12解不等式②，得x＞m∵关于x的不等式组2x−6+m＜04x−m＞0∴3−12m解得：m＜4，故选：B．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，能得出关于m的不等式是解此题的关键．【变式3-1】（2022春•漳州期末）若不等式组x−4＜0x≥m有解，则mA．3 B．4 C．5 D．6【分析】先求出不等式①的解集，再根据不等式组有解得出m＜4，再逐个判断即可．【解答】解：x−4＜0①解不等式①，得x＜4，∵不等式组x−4＜0x≥m∴m＜4，A．∵3＜4，∴m能为3，故本选项符合题意；B．∵4＝4，∴m不能为4，故本选项不符合题意；C．∵5＞4，∴m不能为5，故本选项不符合题意；D．∵6＞4，∴m不能为6，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式组有解得出m的取值范围是解此题的关键．【变式3-2】（2023春•中原区校级期中）若关于x的不等式组x＜4m−x+8＜0有解，则m的取值范围为【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据不等式组有解得出4m≥8，再求出不等式的解集即可．【解答】解：解不等式﹣x+8＜0，得x＞8，∵关于x的不等式组x＜4m−x+8＜0∴4m＞8，解得：m＞2，故答案为：m＞2．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，能得出关于m的不等式是解此题的关键．【变式3-3】（2023春•莘县期中）已知关于x的不等式组x−a≥05−2x＞1无解，则实数a的取值范围是【分析】首先解每个等式，然后根据不等式组无解即可确定关于a的不等式，从而求解．【解答】解：x−a≥0⋯①5−2x＞1⋯②解①得x≥a，解②得x＜2．根据题意得：a≥2．故答案是：a≥2．【点评】本题考查了一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．【变式3-4】（2022春•兖州区期末）若不等式组x＜m+1x＞2m−1无解，则mA．m＜2 B．m≤2 C．m≥2 D．无法确定【分析】根据不等式组无解得出不等式2m﹣1≥m+1，再求出不等式的解集即可．【解答】解：∵不等式组x＜m+1x＞2m−1∴2m﹣1≥m+1，解得：m≥2，故选：C．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，能得出关于m的不等式是解此题的关键．【变式3-5】（2022春•都江堰市校级期中）若关于x的一元一次不等式组2x−a＞02x−1+3x2＜1无解，则【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组无解得出关于a的不等式，再求出不等式的解集即可．【解答】解：2x−a＞0①解不等式①，得x＞a解不等式②，得x＜3，∵关于x的一元一次不等式组2x−a＞02x−∴a2解得：a≥6，故答案为：a≥6．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能得出关于a的不等式a2【变式3-6】（2022春•齐河县期末）关于x的方程k﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负数，且关于x的不等式组x−2(x−1)≤32k+x3≥xA．4 B．5 C．2 D．3【分析】求出每个不等式的解集，根据不等式组有解得出k≥﹣1，解方程得出x＝﹣k+3，由方程的解为非负数知﹣k+3≥0，据此得k≤3，从而知﹣1≤k≤3，继而可得答案．【解答】解：解不等式x﹣2（x﹣1）≤3，得：x≥﹣1，解不等式2k+x3≥x，得：x≤∵不等式组有解，∴k≥﹣1，解方程k﹣2x＝3（k﹣2），得：x＝﹣k+3，∵方程的解为非负数，∴﹣k+3≥0，解得k≤3，则﹣1≤k≤3，∴符合条件的整数k的值的和为﹣1+0+1+2+3＝5，故选：B．【点评】本题考查的是解一元一次方程和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集和一元一次方程的解是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变式3-7】（2022春•大渡口区校级期中）关于x的方程3（k﹣2﹣x）＝3﹣5x的解为非负数，且关于x的不等式组x−2(x−1)≥32k+x3≤xA．5 B．2 C．4 D．6【分析】先解出方程的解和不等式组的解集，再根据题意即可确定k的取值范围，从而可以得到符合条件的整数，然后相加即可．【解答】解：由方程3（k﹣2﹣x）＝3﹣5x，得x=9−3k∵关于x的方程3（k﹣2﹣x）＝3﹣5x的解为非负数，∴9−3k2≥0，得x−2(x−1)≥3①由不等式①，得：x≤﹣1，由不等式②，得：x≥k，∵关于x的不等式组x−2(x−1)≥32k+x∴k＞﹣1，由上可得，k的取值范围是﹣1＜k≤3，∴k的整数值为0，1，2，3，∴符合条件的整数k的值的和为：0+1+2+3＝6，故选：D．【点评】本题考查解一元一次方程、解一元一次不等式组，解答本题的关键是求出k的取值范围．【变式3-8】（2022秋•北碚区校级期末）若整数a使关于x的方程4x+12=4−a−2x2的解为非负数，且使关于y的不等式组2y−13A．20 B．21 C．27 D．28【分析】先求出方程的解，根据方程的解为非负数得出7−a2≥0，求出a≤7，求出不等式组中每个不等式的解集，根据不等式组的解集为y≤﹣2得出﹣2≤2a，求出a≥﹣1，得出﹣1≤a≤7，求出整数【解答】解：解方程4x+12=4−a−2x2∵整数a使关于x的方程4x+12∴7−a2解得：a≤7，2y−13解不等式①，得y＜﹣2，解不等式②，得y≤2a，∵不等式组2y−13＜−1+y∴﹣2≤2a，∴a≥﹣1，即﹣1≤a≤7，∵a为整数，∴a为﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，和为﹣1+0+1+2+3+4+5+6+7＝27，故选：C．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组等知识点，能求出a的取值范围是解此题的关键．题型四利用不等式（组）整数解个数求字母的取值范围题型四利用不等式（组）整数解个数求字母的取值范围【例题4】（2022秋•余姚市校级期末）已知关于x的不等式3x﹣a≥1只有两个负整数解，则a的取值范围是（）A．﹣10＜a＜﹣7 B．﹣10＜a≤﹣7 C．﹣10≤a≤﹣7 D．﹣10≤a＜﹣7【分析】先解不等式得出x≥a+13，根据不等式只有2个负整数解知其负整数解为﹣1和﹣2，据此得出【解答】解：∵3x﹣a≥1，∴x≥a+1∵不等式只有2个负整数解，∴不等式的负整数解为﹣1和﹣2，则−3＜a+1解得：﹣10＜a≤﹣7．故选：B．【点评】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤和依据，并根据不等式的整数解的情况得出某一字母的不等式组．【变式4-2】（2023•大庆一模）若关于x的不等式3x﹣2m＜x﹣m只有3个正整数解，则m的取值范围是．【分析】首先解关于x的不等式，然后根据x只有3个正整数解，来确定关于m的不等式组的取值范围，再进行求解即可．【解答】解：由3x﹣2m＜x﹣m得：x＜m关于x不等式3x﹣2m＜x﹣m只有3个正整数解，∴3≤m∴6≤m＜8，故答案为：6≤m＜8．【点评】本题考查了解不等式及不等式的整数解，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键．【变式4-3】（2022秋•海曙区期末）若关于x的不等式2﹣m﹣x＞0的正整数解共有3个，则m的取值范围是（）A．﹣1≤m＜0 B．﹣1＜m≤0 C．﹣2≤m＜﹣1 D．﹣2＜m≤﹣1【分析】首先解关于x的不等式，求得不等式的解集，然后根据不等式只有3个正整数解，即可得到一个关于m的不等式组求得m的范围．【解答】解：解不等式2﹣m﹣x＞0得：x＜2﹣m，根据题意得：3＜2﹣m≤4，解得：﹣2≤m＜﹣1．故选：C．【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，此题比较简单，根据x的取值范围正确确定2﹣m的范围是解题的关键．在解不等式时要根据不等式的基本性质．【变式4-4】（2022•贵阳模拟）若关于x的不等式3x﹣m≤0的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是（）A．m≥9 B．9＜m＜12 C．m＜12 D．9≤m＜12【分析】解关于x的不等式求得x≤m3，根据不等式的正整数解的情况列出关于【解答】解：移项，得：3x≤m，系数化为1，得：x≤m∵不等式的正整数解为1，2，3，∴3≤m解得：9≤m＜12，故选：D．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．【变式4-5】（2023春•涡阳县期中）关于x的不等式组x−a3＜02(x−5)＜3x−8的解集中仅有﹣1和0两个整数解，且10a＝2mA．﹣2.5＜m≤2.5 B．﹣2.5≤m≤2.5 C．0＜m≤2.5 D．2＜m≤2.5【分析】先根据不等式组的解集中仅有﹣1和0两个整数解，求出a的取值范围，再根据10a＝2m+5，得m的取值范围即可．【解答】解：解不等式组得x＜ax＞−2∵不等式组解集中仅有﹣1和0两个整数解，∴0＜a≤1，∵10a＝2m+5，∴m＝5a﹣2.5，∵﹣2.5＜5a﹣2.5≤2.5，∴m的范围是﹣2.5＜m≤2.5．故选：A．【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．【变式4-6】（2022秋•巴南区校级期中）若关于x的一元次不等式组−2x+3m4≥2x2x+7≤4(x+1)有解，且最多有3个整数解，且关于y的方程3y﹣2=A．23 B．26 C．29 D．39【分析】先解一元一次不等式组，根据题意可得2≤3m10＜5，再解一元一次方程，根据题意可得2m−203≥0且2m−203【解答】解：−2x+3m4解不等式①得：x≤3m解不等式②得：x≥3∵不等式组有解且至多有3个整数解，∴2≤3m∴203≤m3y﹣2=2m−3(8−y)解得：y=2m−20∵方程的解为非负整数，∴2m−203≥0且∴m≥10且2m−203综上所述：10≤m＜503且∴m＝10，13，16，∴满足条件的所有整数m的和，10+13+16＝39，故选：D．【点评】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式组的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．【变式4-7】（2022春•兴文县期中）已知关于x的不等式组2x+4＞03x−k＜6（1）当k为何值时，该不等式组的解集为﹣2＜x＜2？（2）若该不等式组只有4个正整数解，求k的取值范围．【分析】（1）解不等式组得到其解集，结合已知的解集明确6+k3=2，即可求出（2）根据（1）的结论和不等式组只有四个正整数解，可得关于k的不等式组，再解不等式组即可．【解答】解：（1）不等式组2x+4＞03x−k＜6解不等式2x+4＞0得：x＞﹣2，解不等式3x﹣k＜6得：x＜6+k∴该不等式组的解集为−2＜x＜6+k∵﹣2＜x＜2，∴6+k3∴k＝0，即k＝0时，该不等式组的解集为﹣2＜x＜2．（2）由（1）知，不等式组2x+4＞03x−k＜6的解集为−2＜x＜∵该不等式组只有4个正整数解，∴x＝1，2，3，4，∴4＜6+k∴6＜k≤9．【点评】本题考查解一元一次不等式组，属于常考题型，第2问有一定难度，根据原不等式组解集的情况得出关于k的不等式组是解题的关键．【变式4-8】（2022春•淮北月考）已知关于x的不等式组x＞−1（1）当k＝﹣2时，求不等式组的解集；（2）若不等式组的解集是﹣1＜x≤4，求k的值；（3）若不等式组有三个整数解，则k的取值范围是．【分析】（1）将k＝﹣2代入不等式组，然后利用“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集；（2）利用“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定k的取值范围；（3）根据不等式组中x＞﹣1确定不等式组的整数解，然后利用“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定k的取值范围．【解答】解：（1）当k＝﹣2时，1﹣k＝1﹣（﹣2）＝3，∴原不等式组解得：x＞−1x≤3∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤3；（2）当不等式组的解集是﹣1＜x≤4时，1﹣k＝4，解得k＝﹣3；（3）由x＞﹣1，当不等式组有三个整数解时，则不等式组的整数解为0、1、2，又∵x≤2且x≤1﹣k，∴2≤1﹣k＜3，1≤﹣k＜2，解得﹣2＜k≤﹣1．故答案为：﹣2＜k≤﹣1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变式4-9】（2022•南京模拟）已知关于x的不等式组5x+1＞3(x−1)1（1）求a的取值范围．（2）化简|a+3|﹣2|a+2|．【分析】（1）先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集，再根据不等式组恰好有三个整数解进行求解即可；（2）根据（1）所求可得a+3≥0，a+2＜0，由此化简绝对值即可．【解答】解：（1）5x+1＞3(x−1)①1解不等式①得：x＞﹣2，解不等式②得：x≤4+a，∴不等式组的解集为﹣2＜x≤4+a，∵不等式组前有三个整数解，∴1≤4+a＜2，∴﹣3≤a＜﹣2；（2）∵﹣3≤a＜﹣2，∴a+3≥0，a+2＜0，∴|a+3|﹣2|a+2|＝a+3+2（a+2）＝a+3+2a+4＝3a+7．【点评】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，化简绝对值，正确求出不等式组的解集是解题的关键．题型五方程（组）与不等式（组）的综合应用题型五方程（组）与不等式（组）的综合应用范围【例题5】（2022秋•西湖区校级期中）关于x的方程组x−y=m−2x+2y=2m+1的解满足2x+y＞2，则m的取值范围是【分析】两方程相加得到2x+y＝3m﹣1，结合2x+y＞2列出关于m的不等式，解之可得【解答】解：x−y=m−2①x+2y=2m+1②①+②得：2x+y＝3m﹣1，∵2x+y＞2，∴3m﹣1＞2，∴m＞1，故答案为：m＞1．【点评】本题主要考查解二元一次方程组，考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键．【变5-1】（2022春•长泰县期中）已知方程组2x+y=3+mx+2y=1−m的解满足x﹣yA．m＞﹣1 B．m＞1 C．m＜﹣1 D．m＜1【分析】方程组两方程相减表示出x﹣y，代入已知不等式求出m的范围即可．【解答】解：2x+y=3+m①x+2y=1−m②①﹣②得：x﹣y＝2m+2，代入x﹣y＜0得：2m+2＜0，解得：m＜﹣1．故选：C．【点评】此题考查了解一元一次不等式，以及二元一次方程组的解，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．【变5-2】（2022春•建邺区校级期末）若方程组2x+y=3+ax+2y=−1−a的解满足x＜y，则aA．a＜﹣2 B．a＜2 C．a＞﹣2 D．a＞2【分析】将方程组中两方程相减，表示出x﹣y，代入x﹣y＜0中，即可求出a的范围．【解答】解：2x+y=3+a①x+2y=−1−a②①﹣②得：x﹣y＝4+2a，∵x＜y，∴x﹣y＜0，∴4+2a＜0，∴a＜﹣2．故选：A．【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，表示出x﹣y是解本题的关键．【变5-3】（2022春•偃师市校级期中）已知不等式4−5x2−1＜6的负整数解是方程2x﹣3＝ax的解．求关于x的一元一次不等式组【分析】先求出不等式4−5x2−1＜6的负整数解，再解方程求出【解答】解：∵4−5x24﹣5x﹣2＜12，﹣5x＜10，x＞﹣2，∴不等式的负整数解是﹣1，把x＝﹣1代入2x﹣3＝ax得：﹣2﹣3＝﹣a，解得：a＝5，把a＝5代入不等式组得7(x−5)−3x＞−111解不等式组得：6＜x＜15．∴所有整数解的和7+8+9+10+11+12+13+14＝84．【点评】本题考查了解一元一次不等式及整数解，解一元一次方程，解不等式组的应用，主要考查学生的计算能力．【变5-4】（2022春•雁江区校级期中）已知a是不等式组5a−1＞3(a+1)12a−1＜7−32a的整数解，x，y满足方程组ax−2y=8x+2y=0，求（x﹣y）（x【分析】先解不等式组确定a的整数值，再将a值代入关于x、y的二元一次方程组中求解，最后求得（x+y）（x2﹣xy+y2）的值．【解答】解：解不等式①得：a＞2，解不等式②得：a＜4，∴不等式组的解集是：2＜a＜4，∴不等式组的整数解是3，∴方程组为3x−2y=8x+2y=0解得x=2y=−1∴（x+y）（x2﹣xy+y2）＝（﹣1+2）（4+2+1）＝7．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，正确解出不等式组的解集是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小解不了；也考查了解二元一次方程组以及求代数式的值．【变5-5】（2022春•南关区校级期中）若关于x、y的二元一次方程组5x+2y=5a7x+4y=4a的解满足不等式组2x+y＜5x−y＞−9，求出整数【分析】解方程组5x+2y=5a7x+4y=4a得出x=2ay=−52a【解答】解：5x+2y=5a①7x+4y=4a②①×2﹣②，得：3x＝6a，解得：x＝2a，将x＝2a代入①，得：10a+2y＝5a，解得：y=−52∴方程组的解为x=2ay=−将x=2ay=−52得：4a−5解得：﹣2＜a＜10∴整数a的所有值为﹣1、0、1、2、3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．也考查了解二元一次方程组．【变5-6】（2023春•河南期中）已知方程组2x−y=1+2ax+4y=2+a的解满足﹣1＜x+y（1）求a的取值范围；（2）当a为何整数时，不等式2ax﹣x＞2a﹣1的解集为x＜1？【分析】（1）两个方程相加可得出x+y＝a+1，根据﹣1＜x+y≤3列出关于a的不等式，解之可得答案；（2）根据不等式2ax﹣x＞2a﹣1的解集为x＜1、a为整数和（1）中a的取值范围，可以求得a的值．【解答】解：（1）两个方程相加可得3x+3y＝3a+3，则x+y＝a+1，根据题意，得：﹣1＜a+1≤3，解得﹣2＜a≤2，即a的取值范围是﹣2＜a≤2；（2）由不等式2ax﹣x＞2a﹣1，得（2a﹣1）x＞2a﹣1，∵不等式2ax﹣x＞2a﹣1的解集为x＜1，