23.3.3　相似三角形的性质

第页23.3.3相似三角形的性质知识点1相似三角形对应线段的比等于相似比1．若两个相似三角形对应角的平分线的比为5∶3，则这两个三角形的相似比为()A．5∶3B．3∶5C．25∶9D.eq\r(5)∶eq\r(3)2．［2019·重庆］若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应边上的高的比为()A．3∶2B．3∶5C．9∶4D．4∶93．已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′分别是△ABC和△A′B′C′的AC边和A′C′边上的高，且AB＝10，A′B′＝2，BD＝6，求B′D′的长．知识点2相似三角形周长的比等于相似比4．若△ABC∽△DEF，且eq\f(AB,DE)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(BC,（）)＝eq\f(AC,（）)＝________，则eq\f(AB＋BC＋AC,（）＋（）＋（）)＝________，所以△ABC与△DEF的周长之比为________．5．［2019·乐山］如图23－3－38，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，且DE∥BC.若△ADE与△ABC的周长之比为2∶3，AD＝4，则DB＝________。图23－3－386．若两个相似三角形的相似比为2∶5，它们周长的差为9，则较大三角形的周长为________．7．［教材练习第2题变式］已知△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别为60cm和72cm，且AB＝15cm，B′C′＝24cm，求AC和A′C′的长．知识点3相似三角形面积的比等于相似比的平方8．如果两个相似三角形对应边的比为2∶3，那么这两个相似三角形面积的比是()A．2∶3B.eq\r(2)∶eq\r(3)C．4∶9D．8∶279．若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为()A．1∶2B．1∶4C．1∶5D．1∶1610．如图23－3－39，D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，且DE∥BC，则△ADE的面积与四边形BCED的面积比为()A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶1图23－3－3911.如图23－3－40所示，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则eq\f(AD,AB)＝________．图23－3－4012．已知△ABC∽△A′B′C′，eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(1,2)，AB边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20cm，△A′B′C′的面积为64cm2，求：(1)A′B′边上的中线C′D′的长；(2)△A′B′C′的周长；(3)△ABC的面积．13．［2019·永州］如图23－3－41，在△ABC中，D是AB边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，△ACD的面积为1，则△BCD的面积为()A．1B．2C．3D．4图23－3－4114．如图23－3－42，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连结AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，S△DEF∶S△BAF＝4∶25，则DE∶EC等于()A．2∶3B．2∶5C．3∶5D．3∶2图23－3－4215．如图23－3－43，D是△ABC的边BC上一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B.如果△ABD的面积为15，那么△DAC的面积为()A．15B．10C.eq\f(15,2)D．5图23－3－4316．如图23－3－44所示，在△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，且AE∶EC＝2∶1，连结DC，求S△ADE∶S△BDC的值．图23－3－4417．如图23－3－45，AD，BE分别是△ABC的角平分线和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的角平分线和中线，已知∠BAC＝∠B′A′C′，AB·A′D′＝A′B′·AD.求证：AD·B′E′＝A′D′·BE.图23－3－4518．如图23－3－46，矩形EFGH内接于△ABC，AD⊥BC于点D，交EH于点P.若矩形EFGH的周长为24，BC＝10，AP＝16，求S△BPC的值．图23－3－461．A2．A3．解：由题意知eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(BD,B′D′)，∴eq\f(10,2)＝eq\f(6,B′D′)，解得B′D′＝1.2.4．EFDFeq\f(1,2)DEEFDFeq\f(1,2)eq\f(1,2)5．26．157．解：因为△ABC∽△A′B′C′，所以eq\f(60,72)＝eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(BC,B′C′).又因为AB＝15cm，B′C′＝24cm，所以eq\f(5,6)＝eq\f(15,A′B′)＝eq\f(BC,24)，所以A′B′＝18(cm)，BC＝20(cm)，所以AC＝60－15－20＝25(cm)，A′C′＝72－18－24＝30(cm)．8．C9.A10.B11.eq\f(\r(2),2)[解析]∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∵S△ADE＝S四边形BCED，∴eq\f(S△ADE,S△ABC)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(AD,AB)＝eq\r(\f(1,2))＝eq\f(\r(2),2).12．解：(1)∵eq\f(CD,C′D′)＝eq\f(AB,A′B′)，∴eq\f(4,C′D′)＝eq\f(1,2)，∴C′D′＝8(cm)．(2)∵eq\f(C△ABC,C△A′B′C′)＝eq\f(AB,A′B′)，∴eq\f(1,2)＝eq\f(20,C△A′B′C′)，∴C△A′B′C′＝40(cm)．(3)∵eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,A′B′)))eq\s\up12(2)，∴eq\f(1,4)＝eq\f(S△ABC,64)，∴S△ABC＝16(cm)2.13．C[解析]∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴eq\f(S△ACD,S△ABC)＝(eq\f(AD,AC))2＝eq\f(1,4).∵S△ACD＝1，∴S△ABC＝4，S△BCD＝S△ABC－S△ACD＝3.故选C.14．A[解析]∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴△DEF∽△BAF.∵S△DEF∶S△BAF＝4∶25，∴eq\f(DE,AB)＝eq\f(2,5).∵AB＝CD，∴DE∶EC＝2∶3.故选A.15．D16．因为AE∶EC＝2∶1，所以AE∶AC＝2∶3，CE∶AC＝1∶3.因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以S△ADE∶S△ABC＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AE,AC)))eq\s\up12(2)＝4∶9.因为DE∥BC，所以eq\f(BD,AB)＝eq\f(CE,AC)＝eq\f(1,3).设△ABC中BA边上的高为h，则△BDC中BD边上的高也为h，所以S△BDC＝eq\f(1,2)BD·h，S△ABC＝eq\f(1,2)AB·h，所以S△BDC∶S△ABC＝BD∶AB＝1∶3，所以S△ADE∶S△BDC＝eq\f(4,9)S△ABC∶eq\f(1,3)S△ABC＝4∶3.17．[证明：∵∠BAC＝∠B′A′C′，AD，A′D′分别是∠BAC和∠B′A′C′的平分线，BE，B′E′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，∴∠BAD＝∠B′A′D′，AC＝2AE，A′C′＝2A′E′.又∵AB·A′D′＝A′B′·AD，∴eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AD,A′D′)，∴△BAD∽△B′A′D′，∴∠ABC＝∠A′B′C′.又∵∠BAC＝∠B′A′C′，∴△ABC∽△A′B′C′，∴eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′)＝eq\f(2AE,2A′E′)＝eq\f(AE,A′E′)，∴△ABE∽△A′B′E′，∴eq\f(BE,B′E′)＝eq\f(AB,A′B′).又∵eq\f(AD,A′D′)＝eq\f(AB,A′B′)，∴eq\f(AD,A′D′)＝eq\f(BE,B′E′)，∴AD·B′E′＝A′D′·BE.18．解：设PD＝x，则EF＝x.