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第页23.3.3相似三角形的性质知识点1相似三角形对应线段的比等于相似比1.若两个相似三角形对应角的平分线的比为5∶3,则这两个三角形的相似比为()A.5∶3B.3∶5C.25∶9D.eq\r(5)∶eq\r(3)2.[2019·重庆]若△ABC∽△DEF,相似比为3∶2,则对应边上的高的比为()A.3∶2B.3∶5C.9∶4D.4∶93.已知△ABC∽△A′B′C′,BD和B′D′分别是△ABC和△A′B′C′的AC边和A′C′边上的高,且AB=10,A′B′=2,BD=6,求B′D′的长.知识点2相似三角形周长的比等于相似比4.若△ABC∽△DEF,且eq\f(AB,DE)=eq\f(1,2),所以eq\f(BC,())=eq\f(AC,())=________,则eq\f(AB+BC+AC,()+()+())=________,所以△ABC与△DEF的周长之比为________.5.[2019·乐山]如图23-3-38,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC上的点,且DE∥BC.若△ADE与△ABC的周长之比为2∶3,AD=4,则DB=________。图23-3-386.若两个相似三角形的相似比为2∶5,它们周长的差为9,则较大三角形的周长为________.7.[教材练习第2题变式]已知△ABC∽△A′B′C′,它们的周长分别为60cm和72cm,且AB=15cm,B′C′=24cm,求AC和A′C′的长.知识点3相似三角形面积的比等于相似比的平方8.如果两个相似三角形对应边的比为2∶3,那么这两个相似三角形面积的比是()A.2∶3B.eq\r(2)∶eq\r(3)C.4∶9D.8∶279.若两个相似三角形的面积之比为1∶4,则它们的周长之比为()A.1∶2B.1∶4C.1∶5D.1∶1610.如图23-3-39,D,E分别为△ABC的边AB,AC的中点,且DE∥BC,则△ADE的面积与四边形BCED的面积比为()A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.1∶1图23-3-3911.如图23-3-40所示,平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等,则eq\f(AD,AB)=________.图23-3-4012.已知△ABC∽△A′B′C′,eq\f(AB,A′B′)=eq\f(1,2),AB边上的中线CD=4cm,△ABC的周长为20cm,△A′B′C′的面积为64cm2,求:(1)A′B′边上的中线C′D′的长;(2)△A′B′C′的周长;(3)△ABC的面积.13.[2019·永州]如图23-3-41,在△ABC中,D是AB边上的一点,若∠ACD=∠B,AD=1,AC=2,△ACD的面积为1,则△BCD的面积为()A.1B.2C.3D.4图23-3-4114.如图23-3-42,在平行四边形ABCD中,E为CD上一点,连结AE,BE,BD,且AE,BD交于点F,S△DEF∶S△BAF=4∶25,则DE∶EC等于()A.2∶3B.2∶5C.3∶5D.3∶2图23-3-4215.如图23-3-43,D是△ABC的边BC上一点,AB=4,AD=2,∠DAC=∠B.如果△ABD的面积为15,那么△DAC的面积为()A.15B.10C.eq\f(15,2)D.5图23-3-4316.如图23-3-44所示,在△ABC中,DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,且AE∶EC=2∶1,连结DC,求S△ADE∶S△BDC的值.图23-3-4417.如图23-3-45,AD,BE分别是△ABC的角平分线和中线,A′D′,B′E′分别是△A′B′C′的角平分线和中线,已知∠BAC=∠B′A′C′,AB·A′D′=A′B′·AD.求证:AD·B′E′=A′D′·BE.图23-3-4518.如图23-3-46,矩形EFGH内接于△ABC,AD⊥BC于点D,交EH于点P.若矩形EFGH的周长为24,BC=10,AP=16,求S△BPC的值.图23-3-461.A2.A3.解:由题意知eq\f(AB,A′B′)=eq\f(BD,B′D′),∴eq\f(10,2)=eq\f(6,B′D′),解得B′D′=1.2.4.EFDFeq\f(1,2)DEEFDFeq\f(1,2)eq\f(1,2)5.26.157.解:因为△ABC∽△A′B′C′,所以eq\f(60,72)=eq\f(AB,A′B′)=eq\f(BC,B′C′).又因为AB=15cm,B′C′=24cm,所以eq\f(5,6)=eq\f(15,A′B′)=eq\f(BC,24),所以A′B′=18(cm),BC=20(cm),所以AC=60-15-20=25(cm),A′C′=72-18-24=30(cm).8.C9.A10.B11.eq\f(\r(2),2)[解析]∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.∵S△ADE=S四边形BCED,∴eq\f(S△ADE,S△ABC)=eq\f(1,2),∴eq\f(AD,AB)=eq\r(\f(1,2))=eq\f(\r(2),2).12.解:(1)∵eq\f(CD,C′D′)=eq\f(AB,A′B′),∴eq\f(4,C′D′)=eq\f(1,2),∴C′D′=8(cm).(2)∵eq\f(C△ABC,C△A′B′C′)=eq\f(AB,A′B′),∴eq\f(1,2)=eq\f(20,C△A′B′C′),∴C△A′B′C′=40(cm).(3)∵eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,A′B′)))eq\s\up12(2),∴eq\f(1,4)=eq\f(S△ABC,64),∴S△ABC=16(cm)2.13.C[解析]∵∠ACD=∠B,∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC,∴eq\f(S△ACD,S△ABC)=(eq\f(AD,AC))2=eq\f(1,4).∵S△ACD=1,∴S△ABC=4,S△BCD=S△ABC-S△ACD=3.故选C.14.A[解析]∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∴△DEF∽△BAF.∵S△DEF∶S△BAF=4∶25,∴eq\f(DE,AB)=eq\f(2,5).∵AB=CD,∴DE∶EC=2∶3.故选A.15.D16.因为AE∶EC=2∶1,所以AE∶AC=2∶3,CE∶AC=1∶3.因为DE∥BC,所以△ADE∽△ABC,所以S△ADE∶S△ABC=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AE,AC)))eq\s\up12(2)=4∶9.因为DE∥BC,所以eq\f(BD,AB)=eq\f(CE,AC)=eq\f(1,3).设△ABC中BA边上的高为h,则△BDC中BD边上的高也为h,所以S△BDC=eq\f(1,2)BD·h,S△ABC=eq\f(1,2)AB·h,所以S△BDC∶S△ABC=BD∶AB=1∶3,所以S△ADE∶S△BDC=eq\f(4,9)S△ABC∶eq\f(1,3)S△ABC=4∶3.17.[证明:∵∠BAC=∠B′A′C′,AD,A′D′分别是∠BAC和∠B′A′C′的平分线,BE,B′E′分别是△ABC和△A′B′C′的中线,∴∠BAD=∠B′A′D′,AC=2AE,A′C′=2A′E′.又∵AB·A′D′=A′B′·AD,∴eq\f(AB,A′B′)=eq\f(AD,A′D′),∴△BAD∽△B′A′D′,∴∠ABC=∠A′B′C′.又∵∠BAC=∠B′A′C′,∴△ABC∽△A′B′C′,∴eq\f(AB,A′B′)=eq\f(AC,A′C′)=eq\f(2AE,2A′E′)=eq\f(AE,A′E′),∴△ABE∽△A′B′E′,∴eq\f(BE,B′E′)=eq\f(AB,A′B′).又∵eq\f(AD,A′D′)=eq\f(AB,A′B′),∴eq\f(AD,A′D′)=eq\f(BE,B′E′),∴AD·B′E′=A′D′·BE.18.解:设PD=x,则EF=x.
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