北师大版九年级上册数学全册教学课件

北师大版数学九年级上册

学习新知第一章特殊平行四边形检测反馈1菱形的性质与判定（1）观察思考（1）图片中有平行四边形吗？（2）这些平行四边形具有哪些特征？其中哪个特征不是平行四边形的性质？学习新知想一想问题：（1）上面这些图形都是平行四边形吗？（2）上述图形都有一组邻边相等吗？（3）如果平行四边形有一组邻边相等，那么各组邻边都相等吗？平行四边形菱形菱形:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形概念

菱形是不是轴对称图形？如果是轴对称图形，对称轴各几条？菱形是轴对称图形，对称轴有两条。菱形也是中心对称图形,它的两条对角线交点是对称中心.定理证明

如图所示,在菱形ABCD中,已知AB=AD,对角线AC与BD相交于点O.证:(1)AB=BC=CD=AD;(2)AC⊥BD.∴AB=BC=CD=AD.证明:(1)∵菱形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC(平行四边形的对边相等).∵AB=AD,

菱形的四条边相等.

菱形的对角线互相垂直.（2）∵AB=AD∴△ABD是等腰三角形.又∵四边形ABCD是菱形∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）在等腰三角形ABD中，∵OB=OD∴AO⊥BD即AC⊥BD菱形性质定理演示角边对角线对称性中心对称图形,轴对称图形.性质:菱形菱形的对边平行,四条边相等.菱形的两组对角分别相等.菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.菱形的性质归纳知识拓展（1）菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质；（2）菱形的定义既可以看做菱形的性质，也可以看做菱形的判定.例题讲解

例1如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.

分析

因为菱形的邻边相等，一个内角是60°，这样就可以得到等边△ABD，BD=6，菱形的边长也是6；菱形的对角线互相垂直，可以得到直角△AOB；菱形的对角线互相平分，可以得到OB=3，根据勾股定理就可以求出OA的长度；再一次根据菱形的对角线互相平分，即AC=2OA，求出AC.OB=OD=BD=×6=3(菱形的对角线互相平分).解：∵四边形ABCD是菱形

，∴AB=AD(菱形的四条边都相等).AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直),在等腰三角形ABD中,∵∠BAD=60°,∴△ABD是等边三角形.∴AB=BD=6.在Rt△AOB中,由勾股定得:OA2+OB2=AB2,菱形一组邻边相等对角线互相平分一组对边平行且相等两组对边分别平行或相等四边形平行四边形两组对角分别相等

课堂小结2.菱形的性质:(1)菱形是轴对称图形,对称轴是两条对角线所在的直线;(2)菱形的四条边都相等;(3)菱形的对角线互相垂直平分.3.菱形具有平行四边形的所有性质,应用菱形的性质可以进行计算和推理.1.菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC的长是（）A．20B．15C．10D．5【解析】因为四边形ABCD是菱形，所以AB=CB，AD∥BC，所以∠ABC=180°=∠BCD=180°－120°=60°，所以△ABC是等边三角形，所以AC=AB=5.D检测反馈2.如图，菱形ABCD周长为8㎝．∠BAD=60°，则AC=_______cm.

【解析】

因为菱形ABCD周长为8㎝，所以AB=2，AB=AD.又因为∠BAD=60°，所以△ABC是等边三角形，所以AC=AB=2，所以OB=，所以AC=.

3.如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD=BC，则四边形ABCD是菱形吗？为什么？解：四边形ABCD是菱形

理由：∵AB∥CD，AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形又∵CD=BC∴平行四边形ABCD是菱形4.已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CB=CD，CA平分∠BCD．∴∠BCE=∠DCE．又CE=CE，∴△BCE≌△COB（SAS）．∴∠CBE=∠CDE．

∵在菱形ABCD中，AB∥CD，

∴∠AFD=∠FDC.∴∠AFD=∠CBE．

谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。

学习新知第一章特殊平行四边形检测反馈1菱形的性质与判定（2）生活观察

很多服装设计者在设计服装的时候，往往青睐于菱形图案的设计.这是因为菱形的特殊因素能给人一种舒服的感觉.那么,我们怎样判断一个四边形是否是菱形呢?温故知新边:两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等.角:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.对角线:对角线互相平分的四边形是平行四边形.平行四边形菱形有一组邻边相等的平行四边形是菱形.菱形的判定学习新知

已知:如图1-3,在□ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC⊥BD.

求证:□ABCD是菱形

证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC又∵AC⊥BD∴BD是线段AC的垂直平分线∴BA=BC∴四边形ABCD是菱形(菱形定义)菱形的判定（1）学习活动

用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.(1)转动木条,这个四边形总有什么特征?

对角线互相平分

学习活动（2）继续转动木条,观察什么时候橡皮筋围成的四边形变成菱形?当木条互相垂直时

学生活动（3）你的猜想是什么?如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直,那么这个平行四边形是菱形.

证明猜想已知:在ABCD中,对角线AC,BD互相垂直.求证ABCD是菱形.□□∴ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC(平行四边形的对角线互相平分).又∵AC⊥BD,∴BD所在的直线是线段AC的垂直平分线,∴AB=BC,□画一画画两条等长的线段AB,AD,然后分别以B,D为圆心,AB长为半径画弧,得到两弧的交点C,连接BC,CD,就得到了一个四边形,猜一猜,这是什么四边形?做一做我们如何画一个菱形呢?通常先画两条等长的线段AB,AD,然后分别以B,D为圆心,AB长为半径画弧,得到两弧交点C,连接BC,CD即可.想一想小明是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？菱形的判定定理演示定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.定理：四边相等的四边形是菱形.例题讲解例1

猜想:四条边相等的四边形是菱形.如图所示,在四边形ABCD,已知AB=BC=CD=DA.求证四边形ABCD是菱形.证明:∵AB=CD,BC=AD,∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).又∵AB=BC,∴平行四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).例题讲解例2

在▱ABCD中,已知对角线AC与BD相交于点O,AB=,OA=2,OB=1.求证□

ABCD是菱形.

∴□

ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).证明:在△AOB中,∵AB=,OA=2,OB=1,∴∴△AOB是直角三角形,即∠AOB是直角.∴AC⊥BD.知识拓展(1)菱形的判断可以从两个基本图形(四边形或平行四边形)考虑,进行证明.(2)菱形的性质定理和菱形的判定定理是互逆定理.四条边都相等菱形一组邻边相等对角线互相垂直对角线互相平分一组对边平行且相等两组对边分别平行或相等四边形平行四边形两组对角分别相等每条对角线平分一组对角知识小结1.下列命题正确的是 ()A.对角线互相平分的四边形是菱形B.对角线互相平分且相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

DD检测反馈2.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是 (

)

A.等腰梯形

B.正方形

C.长方形 D.菱形3.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于D,点D,E,F分别是BC,AB,AC的中点.求证四边形AEDF是菱形.解析:首先判定四边形AEDF是平行四边形,然后连接EF,证明EF⊥AD,利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来判定.证明:∵点D,E,F分别是BC,AB,AC的中点,∴DE∥AC,DF∥AB,∴四边形AEDF是平行四边形.连接EF,如图所示,∵

点E,F分别是AB和AC的中点,∴EF∥BC.又∵AD⊥BC,∴AD⊥EF,∴平行四边形AEDF是菱形.谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。

学习新知第一章特殊平行四边形检测反馈1菱形的性质与判定（3）将两张等宽的长方形纸条交叉叠放,重叠部分是一个四边形ABCD,若AD=6cm,∠ABC=60°,则四边形ABCD的面积等于

.

你能解答这个问题吗?问题思考例3如图所示,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.求:(1)对角线AC的长度;(2)菱形ABCD的面积.例题讲解学习新知解：⑴∵四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点E，∴∠AED=90°（菱形的对角线互相垂直），（菱形的对角线互相平分）

AC=2AE=2×12=24（cm）（菱形的对角线互相平分）.=2×△ABD的面积⑵菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积ABCDOS菱形=S△ABD+S△CBD因此,S菱形=对角线乘积的一半=BD·AO+BD·CO1212=BD·AC12=BD·(AO+CO)12菱形的面积

菱形的面积公式菱形ABCDOES菱形=BC×AE思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能计算菱形的面积公式吗?

课堂小结

菱形是特殊的平行四边形，所以平行四边形的面积公式同样适用于菱形，即底×高即可；要注意底与高必须是相互对应的；另外由于菱形的特殊性，也有它自己的面积求法，即两条对角线乘积的一半.1.如图所示,在菱形ABCD中,两条对角线相交于点O,△ABC的面积为2,菱形ABCD的面积是

.

4检测反馈2.菱形的两条对角线长是8cm和10cm,则菱形的面积是

cm2.

3.一个菱形的两条对角线长分别为7cm和8cm,则这个菱形面积为 (

)

A.56cm2 B.28cm2C.14cm2 D.36cm240B4.如图所示,四边形ABCD是菱形,O是两条对角线的交点,过O点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为6和8时,则阴影部分的面积为

.

解析:根据菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半求出面积,再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答.∵菱形的两条对角线的长分别为6和8,∴菱形的面积

由中心对称的性质,得阴,影部分的面积==菱形边对称性角对角线性质面积对边平行四条边都相等中心对称图形轴对称图形对角相等对角线互相垂直对角线互相平分每一条对角线平分一组对角1.底乘以高2.（a，b表示两条对角线的长度）菱形的性质归纳谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。

学习新知第一章特殊平行四边形检测反馈2矩形的性质与判定（1）生活中的矩形（说明：图的活动的平行四边形框架）(1)在运动过程中四边形还是平行四边形吗?(2)在运动过程中四边形不变的是什么?改变的是什么?(3)在角的大小改变过程中有特殊值吗?这时的平行四边形是什么图形?观察思考一个角是直角两组对边分别平行平行四边形矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.四边形矩形的定义学习新知观察思考

在平行四边形活动框架上,用两根橡皮筋分别固定在相对的两个顶点上,作为它的对角线,拉动一对不相邻的顶点,改变平行四边形的形状.观察并思考:(1)随着∠ABC的变化,两条对角线的长度是怎样变化的?(2)当∠ABC是直角时,平行四边形变成了矩形,此时其他内角有何变化?两条对角线的长度有何关系?性质:矩形的四个角都是直角已知：四边形ABCD是矩形,∠C=90°求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°DCBA即∠A=∠B=∠C=∠D=90°证明：∵四边形ABCD是矩形，令∠C=90°∴∠A=∠C=90°∠B+∠C=180°∴∠B=180－∠C=90°∴∠D=∠B=90°(2)当∠α是直角时,平行四边形变成矩形,此时两条对角线的长度有什么关系?观察思考在一个平行四边形活动框架上,用两根橡皮筋分别固定在相对的两个顶点上,拉动一对不相邻的顶点,改变平行四边形的形状.(1)随着∠α的变化,两条对角线的长度分别是怎样变化的?矩形的特殊性质矩形的四个角都是直角数学语言ABCD∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠B=∠C=∠D=900矩形的特殊性质矩形的对角线相等数学语言ABCD∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD

矩形有哪些性质？

边：矩形的对边平行且相等角：矩形对角相等；邻角互补对角线：矩形对角线互相平分具有平行四边形的所有性质ABCDO矩形的对角线把矩形分成四个等腰三角形,其中,相对的两个三角形全等.思考：矩形的两条对角线把矩形分成四个什么三角形？它们之间有什么关系？矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,那么BO是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段?它与AC边的长度有什么大小关系?由此你能得到怎样的结论?观察思考定理

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

如图所示,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,∠AOD=120°,AB=2.5,求这个矩形对角线的长.例题讲解(解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD(矩形的对角线相等)∴OA=OD．∵∠AOD=120°，又∵∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角)∴BD=2AB=2×2.5=5.名称特征定义性质边角对角线轴对称性推论有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形对边平行且相等四个角都是直角对角线互相平分且相等轴对称图形，有2条对称轴直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半1.下列说法错误的是 (

)A.矩形的对角线互相平分B.矩形的对角线相等C.有一个角是直角的四边形是矩形D.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形解析:根据矩形定义,得有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.故选C.C检测反馈2.已知矩形的一条对角线长为10cm,两条对角线所成的角为120°,则矩形的边长分别为

.

解析:因为矩形的对角线相等且平分,且两条对角线所成的角是120°,所以矩形的较短的边长为5cm,较长的边长为

.3.如图所示,在矩形ABCD中,点E,F分别在AB,CD边上,BE=DF,连接CE,AF.求证AF=CE.∴四边形AFCE是平行四边形,证明:∵四边形ABCD是矩形,∴DC∥AB,DC=AB,∴CF∥AE.∵DF=BE,∴CF=AE,∴AF=CE.谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。

学习新知第一章特殊平行四边形检测反馈2矩形的性质与判定（2）生活思考

一天,小丽和小娟到一个商店准备给今天要过生日的小华买生日礼物,选了半天,她们最后决定买相框送给她,在里面摆放她们三个人的合影,为了相框摆放的美观性,她们选择了矩形的相框,那么用什么方法可以确定她们拿的就是矩形的相框呢?定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形性质角边对角线对称性推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半ACBD复习与回顾矩形四个角都是直角对边平行且相等互相平分且相等是轴对称图形∵∠ACB=90°AD=BD矩形的判定(1)

用上、下一样长,左、右一样长的四根木条,长对长,短对短,首尾相接,做成一个木条框一定是矩形吗?还要满足什么条件?平行四边形一个角是直角∟矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形.

学习新知矩形的判定方法1

∵在ABCD中∠B=90°∴四边形ABCD是矩形ABCD∟有一个角是直角的平行四边形是矩形.矩形的判定(2)下图所示的是一个平行四边形的木条框,拉动一对不相邻的顶点,平行四边形的形状会发生变化.(2)当两条对角线的长度相等时,平行四边形有什么特征?由此你能得到一个怎样的猜想?(1)随着∠α的变化,两条对角线的长度将发生怎样的变化?定理：对角线相等的平行四边形是矩形.

已知：在□ABCD中,AC,DB是它的两条对角线，AC=BD.求证：四边形ABCD是矩形.证明:AB=CDBC=BCAC=BD∴△ABC≌△DCB（SSS）又∵

AB//CD∴∠ABC+∠DCB=180°

∴四边形ABCD是矩形∴

∠ABC=∠DCB∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC,AB∥DC在△ABC和△DCB中矩形的判定方法2对角线相等的平行四边形是矩形.ABDC几何语言：∵在ABCD中

AC=BD∴ABCD是矩形0有一个角是直角有两个角是直角的四边形是矩形吗？有三个角是直角ABDC(有一个角是直角)ABDC(有二个角是直角)ABDC(有三个角是直角)探究猜想：有三个角是直角的四边形是矩形。你能证明上述结论吗？已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°求证：四边形ABCD是矩形.ABCD∟∟∟证明：∵

∠A=∠B=90°∴∠A+∠B=180°∴AD∥BC同理可证：AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形又∵

∠A=90°∴四边形ABCD是矩形定理：有三个角是直角的四边形是矩形.

例如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4cm，求这个□ABCD的面积.∴∠ABC=90°.（矩形的四个角是直角）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，.又∵△ABO是等边三角形，∴OA=OB=AB=4，∠BAC=60°.∴OA=OB=OC=OD=4，∴AC=BD=2OA=2×4=8.∴ABCD是矩形.（对角线相等的平行四边形是矩形）在Rt△ABC中，，矩形的判定思路四边形有三个角是直角平行四边形矩形对角线相等一个角是直角矩形1.下列说法正确的是 (

)(1)对角线相等的四边形是矩形;(2)对角线互相平分且相等的四边形是矩形;(3)有一个角是直角的四边形是矩形;(4)有三个角是直角的四边形是矩形;(5)四个角都相等的四边形是矩形;(6)对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形;(7)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形.

A.(1)(2)(3) B.(2)(4)(5)C.(4)(5)(6) D.(3)(4)(7)B

检测反馈2.如图所示,工人师傅做铝合金窗框分下面几个步骤进行:①②③④(1)先截出两对符合规格的铝合金窗框,如图①所示,即AB=CD,EF=GH;(2)这时窗框的形状是

,根据的数学道理是

.

平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形(3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③)调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④)，说明窗框合格。这时窗框是

，根据的数学道理是

.矩形有一个角是直角的的平行四边形是矩形∵四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是矩形.3.如图所示,在▱ABCD中,AB=6,BC=8,AC=10,求证四边形ABCD是矩形.证明:∵在△ABC中，

AB=6,BC=8,AC=10,∴AC2=AB2+BC2,∴∠ABC=90°.谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。

学习新知第一章特殊平行四边形检测反馈2矩形的性质与判定（3）阅读思考问题3：如何判定一个四边形是矩形？回答下列问题：问题1：矩形有哪些性质?问题2：如何判定一个平行四边形是矩形？马虎同学的作业中有这样一道题目：

如图，四边形ABCD中，

（1）∵四边形ABCD是矩形∴AB=BC=CD=DA

OA=OB=OC=OD

（2）∵AB=CD,AC=BD,OA=OC,OB=OD∴四边形ABCD是矩形.

同学们帮助他看一下有没有错误，如果有你能改正过来吗？例3如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.矩形性质的运用解析：根据矩形的对角线相等且互相平分可得OB=OD，然后求出OE=BE，然后判断出△ABO是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出边长AB即OB的长，然后根据学习新知解：∵四边形ABCD是矩形，(矩形的对角线相等且互相平分),∠BAD=90°(矩形的四个角都是直角).∴∠ABO=60°，∴∠ADB=90°∠ABO=90°-60°=30°.∵ED=3BE,∴BE=OE.又∵AE⊥BD,∴AB=AO.∴AB=AO=BO，即△ABO是等边三角形.∵∠ADE=30°,

在Rt△AED中,如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为点E,若ED=3EO,AE=2,求BD的长.

【变式训练】提示：在矩形ABCD中，AO=BO,三角形ABO中，BE=OE，可得到该三角形为等边三角形.例4已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的一条角平分线,AN为△ABC的外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为E.求证:四边形ADCE是矩形.证明:∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，又∵CE⊥AN，∴∠CEA=90°，∴四边形ADCE是矩形．在△ABC中，∵AB=AC，AD为∠BAC的平分线，∴AD⊥BC．∴∠ADC=90°，提示：四边形ABDE为平行四边形；线段DF=AB.【变式训练2】

在例4中，连接DE，交AC于点F，如图．

（1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论．（2）线段DF与AB有怎样的关系？证明你的结论．1.如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于O,∠ACB=30°,BD=4,则此矩形的面积是 (

)

B.4

C.8

D.8

BA.2检测反馈2.如图所示,矩形ABCD沿AE折叠,使D点落在BC边上的F处,若∠BAF=50°,则∠DAE等于 (

)A.10° B.20° C.30° D.40°B3.一个平行四边形,如果对角线

,则此平行四边形就变成矩形;如果对角线

,则此平行四边形就变成菱形.

4.已知一个长为acm的矩形的面积等于腰长为acm的等腰直角三角形的面积,则此矩形的周长等于

cm.

相等互相垂直3a5.如图所示,四边形ABCD是由两个全等的等边三角形ABD和CBD组成的.M,N分别是BC和AD的中点.求证四边形BMDN是矩形.提示:利用等边三角形的三线合一可以证明.提示:利用等边三角形的三线合一可以证明.6.如图所示,将矩形纸片折叠,使A点落在对角线BD上,折痕是DG,若AB=2,BC=1,求AG的长.谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。

学习新知第一章特殊平行四边形检测反馈3正方形的性质与判定（1）生活中的正方形

学习新知矩形的性质图形矩形性质角线边数量关系位置关系对角线数量关系位置关系对称性

四个角都相等都是90°两组对边分别相等两组对边分别平行相等且互相平分相交轴对称图形正方形的性质图形菱形性质角线边数量关系位置关系对角线数量关系位置关系对称性

四个角都相等都是90°四条边都相等两组对边分别平行相等且互相平分垂直有学习新知平行四边形平行四边形、矩形、菱形与正方形关系演示有一个直角有一个直角矩形有一个直角矩形有一个直角一组邻边相等矩形菱形有一个直角一组邻边相等矩形菱形平行四边形有一个直角一组邻边相等矩形菱形平行四边形有一个直角一组邻边相等矩形菱形平行四边形有一个直角一组邻边相等矩形菱形一组邻边相等平行四边形有一个直角一组邻边相等矩形菱形平行四边形有一个直角一组邻边相等矩形菱形一组邻边相等平行四边形有一个直角一组邻边相等矩形菱形一组邻边相等有一个直角正方形平行四边形你能给正方形下一个定义吗？例题讲解

例1如图所示,在正方形ABCD中,E为CD边上一点,F为BC延长线上一点,且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系?请说明理由.∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.解:BE=DF,且BE⊥DF.理由如下:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴BC=DC,∠BCE=90°(正方形的四条边都相等,四个角都是直角).∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF,∴BE⊥DF.(2)延长BE交DF于点M(如图所示).∵△BCE≌△DCF,∴∠CBE=∠CDF.∵∠DCF=90°,∴∠CDF+∠F=90°.∴∠CBE+∠F=90°.∴∠BMF=90°.平行四边形正方形矩形菱形一组邻边相等一组邻边相等一内角是直角一内角是直角平行四边形正方形一组邻边相等一内角是直角正方形定义定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。菱形矩形平行四边形正形方

正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系知识拓展1.由正方形的性质可以得出:正方形的两条对角线把正方形分成了4个全等的等腰直角三角形.2.已知正方形的边长可以利用勾股定理求出其对角线的长度.课堂小结正方形的性质1:正方形的四个角都是直角,四

条边都相等.正方形的性质2:正方形的对角线相等且互相垂直平分.1.正方形的四条边

,四个角

,两条对角线

.

2.如图所示,四边形ABCD为正方形,E,F分别为CD,CB延长线上的点,且DE=BF.求证∠AFE=∠AEF.提示:可证△ECF是等腰三角形,△ABF≌△ADE,利用等腰三角形和全等三角形的性质证明.相等相等且互相垂直平分提示:可证△ECF是等腰三角形,△ABF≌△ADE,利用等腰三角形和全等三角形的性质证明.检测反馈都是直角3.

如图所示,E为正方形ABCD内一点,且△EBC是等边三角形,求∠EAD与∠ECD的度数.答案：∠EAD=15°,∠ECD=30°.谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。

学习新知第一章特殊平行四边形检测反馈3正方形的性质与判定（2）问题2

如图所示,将一张长方形纸对折两次,然后剪下一个角,打开.怎样剪才能剪出一个正方形?问题3

议一议:满足什么条件的矩形是正方形?满足什么条件的菱形是正方形?与同伴交流一下.

问题思考问题1

我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形,那么请思考一下,它们之间有什么关系?你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗?与同伴交流一下.

菱形与正方形学习新知菱形与正方形☞问题:

从这个图形中你能得到什么？

┓90°有一个角是直角的菱形是正方形。ABCD矩形与正方形ABCD矩形与正方形ABCD矩形与正方形ABCD矩形与正方形ABCD矩形与正方形ABCD矩形与正方形ABCD矩形与正方形ABCD矩形与正方形ABCDABC

D

问题:

从这个变化中你能得到什么？有一组邻边相等的矩形是正方形。

例题讲解

已知:如图所示,在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.求证:四边形BECF是正方形.

思路2:要证四边形BECF是正方形,也可以先证明四边形BECF是矩形,然后证明四边形BECF中有一组邻边相等即可.解析

思路1:要证四边形BECF是正方形,可以先证明四边形BECF是菱形,然后证明四边形BECF中有一个角是直角即可;

证法1:∵BF∥CE,CF∥BE,∴四边形BECF是平行四边形.

∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=∠DCB=90°.

又∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,

平行四边形正方形一组邻边相等一内角是直角正方形菱形一内角是直角矩形一组邻边相等正方形小结定义法菱形法矩形法有一个角是直角的菱形叫做正方形。有一组邻边相等的矩形叫做正方形。有一组邻边相等的一个角是直角平行四边形叫做正方形。如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？平行四边形矩形菱形正方形等腰梯形直角梯形梯形原四边形可以是：中点四边形特殊四边形的中点四边形：平行四边形的中点四边形是平行四边形菱形的中点四边形是矩形矩形的中点四边形是菱形正方形的中点四边形是正方形猜想验证特殊四边形的中点四边形：等腰梯形的中点四边形是菱形直角梯形的中点四边形是平行四边形梯形的中点四边形是平行四边形猜想验证对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形对角线相等的四边形的中点四边形是菱形对角线既相等又垂直的四边形的中点四边形是正方形对角线既不相等又不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形猜想验证归纳：一般四边形的中点四边形：决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系原四边形对角线关系不相等、不垂直相等垂直相等且垂直所得中点四边形形状平行四边形菱形矩形正方形5种识别方法三个角是直角四条边相等一个角是直角或对角线相等一组邻边相等或对角线垂直一组邻边相等或对角线垂直一个角是直角或对角线相等一个角是直角且一组邻边相等平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结

1.下列说法中正确的有

(

)

①有一个角为直角的菱形是正方形;

②四个角相等的四边形是正方形;

③四条边都相等的四边形是正方形;

④有一组邻边相等的矩形是正方形;

⑤对角线垂直且相等的四边形是正方形;

⑥对角线相等的菱形是正方形;

⑦对角线互相垂直的矩形是正方形;

⑧对角线互相垂直平分的四边形是正方形.

A.3个 B.4个 C.5个 D.6个

B检测反馈2.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D,E,F分别是BC,AB,AC的中点,连接DE,DF.

(1)求证DE=DF.

(2)你能添加一个条件,使四边形EDFA是正方形吗?若能,请说明.提示:(1)利用三角形的中位线定理可以证明;(2)添加条件∠A=90°;先证明四边形AEDF是菱形,然后根据有一个角是直角的菱形是正方形得出即可.3.如下左图所示,E,F,G,H分别是正方形ABCD四边的中点,试判断四边形EFGH的形状,并给出证明.如果改变E,F,G,H的位置,但仍满足AE=BF=CG=DH,如下右图所示,结果如何呢?提示:四边形EFGH是正方形.如果改变E,F,G,H的位置,但仍满足AE=BF=CG=DH,仍可得四边形EFGH是正方形.可先证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,然后利用全等三角形的性质可得到结论.谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第2章一元二次方程1一元二次方程（1）

学习新知检测反馈

幼儿园某教室矩形地面的长为8m,宽为5m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同(如图所示),你能求出这个宽度吗?如果设所求的宽度为xm,那么你能列出怎样的方程?生活思考（2）如果将这个五个连续整数中的第一个数设为x，那么怎样用含x的代数式表示其余四个数？根据题意，你能列出怎样的方程？观察下面等式：数学思考（1）你还能找出五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？你能计算出滑动前梯子底端距墙的距离吗？如果设梯子底端滑动xm，那么你能列出怎样的方程？生活中的数学如图所示，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的低端滑动多少米？你能化简这个方程吗?6x＋672＋(x＋6)2

＝102xm8m10m7m6m10m数学化1m解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙

m.如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙

m;根据题意，可得方程：一元二次方程的定义归纳:上面的方程经过整理后都是只含有—个未知数x的整式方程,并且都可以化成ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)的形式,这样的方程叫作一元二次方程.这三个方程有什么共同特点?

什么样的方程是一元二次方程呢?由上面的三个问题,我们可以得到三个方程:学习新知一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)二次项一次项常数项二次项系数一次项系数知识拓展①只含有一个未知数②未知数的最高次数为2③是整式方程构成一元二次方程的条件

例题讲解

例1判断下列方程是否是一元二次方程.

(1)2x-x2=0;

(2)2x2-x+5=0;

(3)ax2+bx+c=0;

(4)4x2-+7=0.解:(1)(2)符合一元二次方程的概念,方程(3)中的a等于0时,方程不是一元二次方程,(4)不是整式方程,所以(3)和(4)都不是一元二次方程.例题讲解

例2

把方程3x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项.解:去括号,得3x2-3x=2x+4+8,

移项,合并同类项,得3x2-5x-12=0,

二次项系数是3,一次项系数是-5,常数项是-12.

（2）任何一个一元二次方程，经过整理都可以变为一般形式.【知识拓展】对于一元二次方程的一般形式的理解应注意以下四点：（1）“a≠0”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分，因为方程ax2

＋bx

＋c=0只有当a≠0时，才叫做一元二次方程.当a=0，b≠0时，它是一元一次方程.（4）要分清二次项与二次项系数、一次项与一次项系数.（3）二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式.

ax2+bx+c=0(a、b、c为常数且a≠

0)

一般地,任何一个关于x

的一元二次方程都可以化为的形式,我们把(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？二次项系数一次项系数常数项bx叫一次项

ax2又叫二次项课堂小结

1.下列6个方程

(1)3x+2=x2;(2)+y=5;

(3)y2+2x3=0;

(4)mnx2+(m+n)x+1=0;

(5)x2-2x+4=0;

其中是一元二次方程的是

.(填序号)

解析:一元二次方程要符合以下三个条件:①只含有一个未知数;②未知数的最高次数为2;③是整式方程.故只有(1)(5)是一元二次方程.故填(1)(5).(1)(5)检测反馈

2.将方程3x2=5x+2化为一元二次方程的一般形式为

.

解析:一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0),注意移项时要注意变号,答案为3x2-5x-2=0.故填3x2-5x-2=0.

解析:二次项系数为2,一次项系数为4,常数项为-1,所以它们的和为2+4+(-1)=5.故填5.53x2-5x-2=03.一元二次方程2x2+4x-1=0的二次项系数、一次项系数及常数项之和为

.4.下列方程中,是一元二次方程的是 (

）

A.x2+5x=2 B.x3+7x-2=0

C.x2+=3 D.7x-=2

解析:本题主要考查一元二次方程的概念.观察选项,只有A中的方程是一元二次方程.故选A.A谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第2章一元二次方程1一元二次方程（2）

学习新知检测反馈

幼儿园某教室矩形地面的长为8m,宽为5m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同(如图所示),你能求出这个宽度吗?

如果设所求的宽度为xm,那么列出的方程为(8-2x)(5-2x)=18,你能估算出x大约是多少吗?

观察思考学习新知

如果设所求的宽度为xm,那么列出的方程为(8-2x)(5-2x)=18,你能估算出x大约是多少吗?

(1)x可能小于0吗?可能大于4吗?可能大于2.5吗?说说你的理由.

探索尝试分析:因为40m2>18m2,所以x不可能小于0,因为8-2x,5-2x都是大于0的,所以x不可能大于4,也不可能大于2.5.分析:x的大致范围是0到2.5之间.但这只是一个大致的估计,精确度还有待于我们进一步去探讨.(2)你能确定x的大致范围吗?

x00.511.522.5(8-2x)(5-2x)4028181040

(3)计算,填写下表:分析:由上表可以看出,如果宽度大于1,那么地毯的面积会小于18,不符合要求.如果宽度小于1,那么地毯的面积会大于18,也不符合要求.提示:通过表格的计算可以知道所求的宽度的大致范围,通过解一元一次方程等方法可以求出具体的宽度.(4)你知道所求宽度x(m)是多少吗?你还有其他求解方法吗?

问题探究

在前一节课的问题中,梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x+6)2+72=102,即x2+12x-15=0.

(1)小明认为底端也滑动了1m,他的说法正确吗?为什么?

分析:若底端也滑动了1m,此(1+6)2+72<102,因此滑动的距离是大于1m的.

(2)底端滑动的距离可能是2m吗?可能是3m吗?为什么?

分析:通过计算,可以得出下表,根据表格可知,如果底端滑动的距离是2m或者3m,那么x2+12x-15的值都大于0,即(x+6)2+72>102,所以底端滑动的距离小于2m.(3)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?根据前面的分析,得出x的取值范围大致是1<x<1.5,但这还不是一个很精确的数字.x00.511.52－15－8.75－25.2513

(4)x的整数部分是几?十分位是几?分析:通过计算,得出下表:2.当x取1.2和1.3的时候,哪个数字更接近真实值?x1.11.21.31.4－0.590.842.293.76根据上表思考:1.当x取1.3和1.4的时候,哪个数字更接近真实值?(1.3更接近)(1.2更接近)综合上述分析,我们可以进一步确定x的取值范围是1.1<x<1.2.所以x的整数部分是1,十分位是1.(大于真实值)3.当x取1.1的时候,与真实值是什么关系?(小于真实值)4.当x取1.2的时候,与真实值是什么关系?估计一元二次方程近似解的基本思路:将一元二次方程变形为一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0),分别将x1,x2代入等式左边,当获得的值为一正、一负时,方程必定有一根x0,而且x1<x0<x2.这是因为当a+bx1+c<0(或>0)而a+b+c>0(或<0)时,在x1到x2之间由小变大时,ax2+bx+c的值也将由小于0(或大于0),逐步变成大于0(或小于0),其间ax2+bx+c的值必有等于0的时候,此时的x的值就是原方程的根x0.[知识拓展]课堂小结在解决某些实际问题的时候,可以根据实际情况确定出方程解的大致范围.一般采用“夹逼法”,选取的未知数数值计算的结果的绝对值越接近0,这个数值就越接近未知数的真实值.(2)根据实际情况确定方程的解的大致范围;

(1)将方程变为一元二次方程的一般形式;

采用“夹逼法”求一元二次方程近似解的一般步骤:(3)根据方程的解的大致范围,在这个范围内取一个整数值,然后把这个值代入方程左边的代数式进行验证,看是否能使方程左边代数式的值为0,如果为0,那么这个数就是方程的解;如果不为0,那么根据这个整数再找出一个使方程左边的值最接近于0但小于0的整数,这个数就是方程的解的整数部分;(4)保留整数部分不变,小数部分可参照求整数部分的方法进行,以此类推可得出该方程更准确的近似解.

3.解:(1)由题意得,网球场的长和宽分别为(80-2x)m,(60-2x)m,则可列方程(80-2x)(60-2x)=3500,整理得x2-70x+325=0.

(2)x的值不可能小于0,因为人行道的宽度不可能为负数.

(3)x的值不可能大于40,也不可能大于30,因为当x>30时,网球场的宽60-2x<0,这不符合实际,当然x更不可能大于40.

1.根据下表,判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解x的范围是 (

)A.3<x<3.23 B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25 D.3.25<x<3.26解析:由表中的数据可知,当x的值由3.24变化到3.25时,ax2+bx+c的值由-0.02变化到0.03,所以在3.24到3.25之间存在一数值,使ax2+bx+c的值等于0.故选C.C检测反馈

2.用22cm长的铁丝,折成一个面积为15cm2的矩形,设矩形的一边长为xcm,则x的大致范围是 (

)

A.x>0 B.0<x<1

C.1<x<2 D.2<x<3

C

（2题）解析:对于实际问题的近似解的问题,应先根据实际问题确定其解的大致范围,再通过具体计算进行“夹逼”,逐步获得其近似解,“夹逼”思想是近似计算的重要思想.由题意可列出方程(11-x)x=15,整理得x2-11x+15=0,估算此一元二次方程解的范围如下表所示:

由此可知,当x在1~2之间取某一值时,

x2-11x+15可能等于零.故选C.

3.如图所示,某大学为改善校园环境,计划在一块长80m,宽60m的长方形场地的中央建一个长方形网球场,网球场占地面积为3500m2,四周为宽度相等的人行道,设人行道的宽为xm.

(1)你能根据题意列出相应的方程吗?由题意得,网球场的长和宽分别为(80-2x)m,(60-2x)m,则可列方程(80-2x)(60-2x)=3500,整理得x2-70x+325=0.

(2)x可能小于0吗?说说你的理由;

(3)x可能大于40吗?可能大于30吗?说说你的理由;

x的值不可能小于0,因为人行道的宽度不可能为负数.

x的值不可能大于40,也不可能大于30,因为当x>30时,网球场的宽60-2x<0,这不符合实际,当然x更不可能大于40.

谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第2章一元二次方程2配方法求解一元二次方程（1）

学习新知检测反馈你会解下列一元二次方程吗?你是怎么做的?(1)x2=5;

(2)2x2+3=5;(3)x2+2x+1=5;

(4)(x+6)2+72=102.解:(1)x2=5⇒x=±.(2)2x2+3=5⇒2x2=2⇒2x2=1⇒x=±1.(3)x2+2x+1=5⇒(x+1)2=5⇒x=-1±..(4)(x+6)2+72=102⇒(x+6)2=51⇒x=-6±思考探索填上适当的数,使下列等式成立.(1)x2+12x+

=(x+6)2;

(2)x2-4x+

=(x-

)2;

(3)x2+8x+

=(x+

)2.

在上面等式的左边,常数项和一次项系数有什么关系?(常数项等于一次项系数的一半的平方)62

22

2

42

4

学习新知例1

解方程:x2+8x-9=0.解:移项,得:x2+8x=9,配方,得:x2+8x+42=9+42(两边同时加上一次项系数一半的平方),即(x+4)2=25,开平方,得x+4=±5,即x+4=5或x+4=-5,所以x1=1,x2=-9.通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法.(5)定解:写出原方程的解.利用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤:(1)移项:把常数项移到方程的右边;(2)配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方,使左边化成一个含有未知数的完全平方式的形式,右边为一常数;(3)开方:根据平方根的意义,方程两边开平方,使其化为一元一次方程；(4)求解:解一元一次方程;知识拓展例题

已知一面积为120m2的矩形苗圃的长比宽多2m,则苗圃的长和宽各是多少?解得x1=10,x2=-12(不合题意,舍去).则x+2=10+2=12(m).解:设矩形的宽为xm,则长为(x+2)m,依题意,得x(x+2)=120,即x2+2x=120,方程可化为(x+1)2=121,答:苗圃的长为12m,宽为10m.知识拓展

配方法,顾名思义,就是利用添项或