新高考数学一轮复习讲义 第21讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象性质及其应用（含解析）

第21讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象性质及其应用（精讲）题型目录一览①函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性②函数y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、对称性③函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换④根据图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式⑤三角函数图像与性质的综合应用一、知识点梳理一、知识点梳理一、SKIPIF1<0的图像与性质（1）最小正周期：SKIPIF1<0.（2）定义域与值域：SKIPIF1<0的定义域为R，值域为[-A,A].（3）最值（以下SKIPIF1<0）SKIPIF1<0（4）单调性SKIPIF1<0（5）对称轴与对称中心.SKIPIF1<0正弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置，对称中心是与SKIPIF1<0轴交点的位置.（6）平移与伸缩函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的步骤注：每一个变换总是对变量SKIPIF1<0而言的，即图像变换要看“变量SKIPIF1<0”发生多大变化，而不是“角SKIPIF1<0”变化多少.【常用结论】1.根据图像求解析式一般步骤①根据最高最低点求出A②根据周期算出SKIPIF1<0,题目一般会提供周期的一部分③通过带最高或最低点算出φ2.对称与周期(1)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离是SKIPIF1<0；(2)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离是SKIPIF1<0；(3)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离SKIPIF1<0；3.函数具有奇、偶性的充要条件(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性【典例1】函数SKIPIF1<0的单调递增区间是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】化简可得SKIPIF1<0，整体法求出函数的单调递增区间，结合已知范围，即可得出答案.【详解】因为SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以，函数在SKIPIF1<0上的单调递增区间是SKIPIF1<0.故选：A.【题型训练】一、单选题1．（2023春·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减 B．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增C．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减 D．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增【答案】C【分析】利用余弦函数的二倍角公式化简得出SKIPIF1<0，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为SKIPIF1<0.对于A选项，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，A错；对于B选项，当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，故B错；对于C选项，当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，C对；对于D选项，当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，故D错.故选：C.2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）下列区间中，函数SKIPIF1<0单调递减的区间是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】化简为SKIPIF1<0，再结合余弦函数的单调区间即可判断各项.【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0对于A，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，A错误；对于B，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0没有单调性，B错误；对于C，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，C正确；对于D，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0没有单调性，D错误.故选：C3．（2023春·高三课时练习）函数SKIPIF1<0的单调递增区间是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据正弦函数的性质、复合函数的单调性以及整体代换技巧进行求解.【详解】因为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0有：SKIPIF1<0，故B，C，D错误.故选：A.4．（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考期中）下列不等式成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】分别判断正弦、余弦、正切、的单调性，判断选项A，B，C，再结和正弦余弦正切单调性及诱导公式找中间值比较即可判断D选项.【详解】A选项：因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，故A错误；B选项：因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，故B错误；C选项：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，且SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，故C错误.D选项：因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：D.二、多选题5．（2023·湖南邵阳·统考三模）已知函数SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增C．SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称 D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0【答案】BC【分析】利用整体思想，结合余弦函数的周期性、对称性、单调性，可得答案.【详解】对于A，由函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故A错误；对于B，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故B正确；对于C，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0的对称轴为直线SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故C正确；对于D，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，故SKIPIF1<0，故D错误.故选：BC.6．（2023·全国·高三专题练习）关于函数SKIPIF1<0，下列说法正确的是（

）A．函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上最大值为SKIPIF1<0 B．函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称C．函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增 D．函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0【答案】BD【分析】根据给定条件，利用正弦函数的图象性质，逐项分析判断作答.【详解】对于A，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0最大值为2，A错误；对于B，因为SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称，B正确；对于C，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上不单调，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上不单调，C错误；对于D，函数SKIPIF1<0的最小正周期SKIPIF1<0，D正确.故选：BD.7．（2023·全国·高三专题练习）设函数SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0是偶函数 B．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减C．SKIPIF1<0的最大值为2 D．SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称【答案】ABD【分析】先利用辅助角公式化简为SKIPIF1<0，再根据余弦函数的性质即可一一判断各选项.【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，对于A，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是偶函数，故A正确；对于B，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，故B正确；对于C，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0，故C错误；对于D，SKIPIF1<0，是最小值，故D正确．故选：ABD．三、填空题8．（2023春·辽宁铁岭·高三昌图县第一高级中学校考阶段练习）函数SKIPIF1<0的递增区间为___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据余弦函数的单调性和单调区间的求法求解.【详解】因为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0，所以递增区间为SKIPIF1<0，故答案为:SKIPIF1<0.9．（2023春·广东深圳·高三深圳市高级中学校考期中）函数SKIPIF1<0的单调递减区间为______.【答案】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【分析】利用诱导公式及辅助角公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得.【详解】因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以函数的单调递减区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<010．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0的最大值为___________.【答案】1【分析】利用整体法，结合余弦函数的单调性即可求出函数的最值.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为1．故答案为：1.11．（2023·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0的单调增区间是______．【答案】SKIPIF1<0【分析】先根据二倍角的余弦将函数化简，然后再利用余弦函数单调增区间即可求解.【详解】函数SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以函数的单调增区间为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.12．（2023·湖北·统考模拟预测）请写出一个满足下列3个条件的函数SKIPIF1<0的表达式__________.①SKIPIF1<0；②在SKIPIF1<0上单调递减；③SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一）【分析】由①知SKIPIF1<0为偶函数，由③知SKIPIF1<0的周期为2，再结合SKIPIF1<0的单调区间即可求解.【详解】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的一个正周期为2.故函数应该是最小正周期为2的偶函数为：SKIPIF1<0（答案不唯一）.故答案为:SKIPIF1<0（答案不唯一）.四、解答题13．（2023春·高三单元测试）已知函数SKIPIF1<0，再从①SKIPIF1<0的最大值与最小值之和为0，②SKIPIF1<0这两个条件中选择一个作为已知条件.(1)求m的值；(2)求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的单调递增区间.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)选①，SKIPIF1<0；选②，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）选①，利用三角恒等变换化简SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的最值，可求得SKIPIF1<0的值；选②，利用三角恒等变换化简SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0列式求解；（2）利用正弦函数的单调性求解.【详解】（1）选①：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由条件①可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0.选②：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由条件②，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0.（2）由（1）知，SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0单调递增，故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的单调递增区间为SKIPIF1<0.14．（2023春·浙江·高三期中）已知函数SKIPIF1<0．(1)求函数SKIPIF1<0的周期及在SKIPIF1<0上的单调递增区间：(2)若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不同的实数根．求实数SKIPIF1<0的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0；递增区间是SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简函数后应用周期公式和单调递增区间求解即得；（2）根据方程有两个不同的实数根求解值域即可.【详解】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0周期为SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以递增区间是SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0因为方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不同的实数根,SKIPIF1<0SKIPIF1<0.题型二函数y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、对称性【典例1】使函数SKIPIF1<0为偶函数的最小正数φ＝（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由函数SKIPIF1<0为偶函数，得SKIPIF1<0，由此能求出使函数SKIPIF1<0为偶函数的最小正数φ的值．【详解】∵函数SKIPIF1<0为偶函数，∴SKIPIF1<0，∴使函数SKIPIF1<0为偶函数的最小正数SKIPIF1<0．故选：B【典例2】已知函数SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0的最小正周期是SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的图象的一条对称轴是直线SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的图象的一个对称中心是SKIPIF1<0【答案】D【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式化简SKIPIF1<0，再根据正弦函数的图象和性质依次判断即可.【详解】因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，对于A，函数的最小正周期SKIPIF1<0，故A错误；对于B，因为SKIPIF1<0，所以函数的最大值为SKIPIF1<0，故B错误；对于C，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的图象的对称轴为直线SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故C错误；对于D，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入函数解析式得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为函数图象的一个对称中心，故D正确，故选：D【题型训练】一、单选题1．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）使函数SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0的一个值可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据题意，化简SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0为偶函数，求得SKIPIF1<0，结合选项，即可求解.【详解】由SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为偶函数，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.故选：A.2．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0图象的一条对称轴，则其图象的一个对称中心为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据余弦函数的对称轴公式求解SKIPIF1<0，再由对称中心公式求得结果.【详解】因为SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0图象的对称轴，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0图象的一个对称中心为SKIPIF1<0.故选：A.3．（2023·贵州遵义·统考三模）已知曲线SKIPIF1<0的一条对称轴是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值可能为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据余弦函数的性质先写出其对称轴的一般形式，然后检查符合条件的选项.【详解】由题意，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，经检验，只有当SKIPIF1<0时即SKIPIF1<0时符合.故选：C4．（2023·校考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0的最小正周期为T，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】运用二倍角公式化简SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的对称性求得SKIPIF1<0的值，进而求得结果.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，①又因为SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，②所以由①②得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．故选：A.5．（2023·山东日照·三模）函数SKIPIF1<0的图像向左平移SKIPIF1<0个单位得到函数SKIPIF1<0的图像，若函数SKIPIF1<0是偶函数，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据图像平移得函数SKIPIF1<0的解析式，由函数SKIPIF1<0是偶函数，解出SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.【详解】函数SKIPIF1<0的图像向左平移SKIPIF1<0个单位，得SKIPIF1<0的图像，又函数SKIPIF1<0是偶函数，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0.故选：C．6．（2023·全国·统考高考真题）已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0单调递增，直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的图像的两条对称轴，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入SKIPIF1<0即可得到答案.【详解】因为SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不妨取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故选：D.7．（2023·北京西城·统考二模）已知函数SKIPIF1<0．则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0为偶函数”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分，必要条件的定义，结合三角函数变换，即可判断选项.【详解】当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，化简为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，为偶函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，为偶函数，所以SKIPIF1<0，能推出函数SKIPIF1<0是偶函数反过来，若函数SKIPIF1<0是偶函数，则有SKIPIF1<0，所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0为偶函数”的充分必要条件.故选：C8．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）将函数SKIPIF1<0的图象向右平移SKIPIF1<0个单位长度后的函数图象关于原点对称，则实数SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用三角恒等变换化简函数SKIPIF1<0的解析式，利用三角函数图象变换求出平移后所得函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可求出SKIPIF1<0的表达式，即可求得SKIPIF1<0的最小值.【详解】因为SKIPIF1<0，将函数SKIPIF1<0的图象向右平移SKIPIF1<0个单位长度可得到函数SKIPIF1<0的图象，由题意可知，函数SKIPIF1<0的图象关于原点对称，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最小值SKIPIF1<0.故选：A.9．（2023·河南新乡·统考三模）已知函数SKIPIF1<0图象的一个对称中心是SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的图象上，下列说法错误的是（

）A．SKIPIF1<0 B．直线SKIPIF1<0是SKIPIF1<0图象的一条对称轴C．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减 D．SKIPIF1<0是奇函数【答案】B【分析】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，由对称中心SKIPIF1<0可求得SKIPIF1<0，从而知函数SKIPIF1<0的解析式，再根据余弦函数的图象与性质，逐一分析选项即可.【详解】因为点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的图象上，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0图象的一个对称中心是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，A正确.SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0不是SKIPIF1<0图象的一条对称轴，B不正确.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，C正确.SKIPIF1<0，是奇函数，D正确.故选：B.10．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0图象的两个相邻零点的差的绝对值为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0B．将SKIPIF1<0的图象向左平移SKIPIF1<0个单位长度，得到函数SKIPIF1<0的图象C．SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称D．SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据函数SKIPIF1<0的性质可得SKIPIF1<0的解析式，由正弦函数的图象性质逐项判断即可.【详解】因为函数SKIPIF1<0图象的两个相邻零点的差的绝对值为SKIPIF1<0，所以最小正周期SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故A不正确；则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的图象向左平移SKIPIF1<0个单位长度，得到函数SKIPIF1<0，故B不正确；函数SKIPIF1<0的图象的对称轴方程满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故C不正确；函数SKIPIF1<0的单调递增区间满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0，故D正确.故选：D.二、多选题11．（2023·全国·高三专题练习）设函数SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0的值可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【分析】根据三角函数变换结合条件可得SKIPIF1<0，进而SKIPIF1<0，即得.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又函数SKIPIF1<0为偶函数，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的值可以是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：BC.12．（2023·全国·高三专题练习）若函数SKIPIF1<0的图象关于坐标原点对称，则SKIPIF1<0的可能取值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【分析】化简SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，结合四个选项可得答案.【详解】由已知，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0的图象关于坐标原点对称，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．结合选项知，A，D符合题意，B，C不符合题意．故选：AD．13．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）关于函数SKIPIF1<0，下列结论正确的是（

）A．函数SKIPIF1<0的周期为SKIPIF1<0 B．函数SKIPIF1<0图象关于直线SKIPIF1<0对称C．函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增 D．函数SKIPIF1<0的最大值为1【答案】BC【分析】由平方关系可得SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是否成立判断A、B；令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，并利用导数研究单调性、最值判断C、D.【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的周期不是SKIPIF1<0，A错误；因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，B正确；当SKIPIF1<0时，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，而SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，故C正确；由C分析知：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，在SKIPIF1<0上递增，在SKIPIF1<0上递减；且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，故D错误.故选：BC.14．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0中心对称，则（

）A．SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0单调递减 B．SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0有两个极值点C．直线SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0的对称轴 D．直线SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0的切线【答案】ACD【分析】根据函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0中心对称，由SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0后，再逐项求解判断.【详解】解：因为函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0中心对称，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0单调递减，故A正确；B.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由函数的单调性知：SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0有一个极值点，故B错误；C.令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0的对称轴，故正确；D.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，故D正确；故选：ACD三、填空题15．（2023·全国·高三专题练习）设函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0成中心对称，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______.【答案】SKIPIF1<0【分析】先根据对称性列方程，再根据范围确定结果【详解】因为函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0成中心对称，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<016．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0图象关于直线SKIPIF1<0对称，则函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上零点的个数为_______.【答案】3【分析】根据余弦函数的对称轴方程，结合图象关于直线SKIPIF1<0对称可得SKIPIF1<0，再求解SKIPIF1<0零点的表达式，分析在区间SKIPIF1<0内的解的个数即可【详解】SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0图象关于直线SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0，(SKIPIF1<0的对称轴是SKIPIF1<0)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0满足条件，故零点有三个．故答案为：317．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）某函数SKIPIF1<0满足以下三个条件：①SKIPIF1<0是偶函数；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0的最大值为4．请写出一个满足上述条件的函数SKIPIF1<0的解析式______．【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一）【分析】根据所给条件分析函数的性质，结合所学函数可得.【详解】因为SKIPIF1<0是偶函数，所以SKIPIF1<0的图象关于y轴对称，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称，所以4为SKIPIF1<0的一个周期，又SKIPIF1<0的最大值为4，所以SKIPIF1<0满足条件.故答案为：SKIPIF1<0（答案不唯一）18．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0的最小正周期为π，对于下列说法:①SKIPIF1<0;

②SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0）;③将SKIPIF1<0的图象向左平移SKIPIF1<0个单位长度后所得图象关于y轴对称;④SKIPIF1<0.其中正确的序号是__________.【答案】①③④【分析】先化简为SKIPIF1<0，再根据正弦型函数的性质对各项一一判断即可.【详解】SKIPIF1<0对于①：因为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故①正确；对于②：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以单调递增区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故②错误；对于③：将SKIPIF1<0图像向左平移SKIPIF1<0个单位得到SKIPIF1<0SKIPIF1<0，关于y轴对称，故③正确；对于④：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以④正确；故答案为：①③④．四、解答题19．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）设SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0图象的一条对称轴，求SKIPIF1<0的值．（2）求函数SKIPIF1<0的单调递增区间．【答案】（1）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,（2）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．【详解】试题分析：（Ⅰ）先利用倍角公式把函数解析式化为SKIPIF1<0，再由对称轴的计算方法得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．所以SKIPIF1<0．最后分SKIPIF1<0为奇数或偶数两种情况求出SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．（Ⅱ）先求出SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0，得函数的单调递增区间为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）试题解析：（I）由题设知SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0图象的一条对称轴，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．所以SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为奇数时，．（II）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）时，函数SKIPIF1<0是增函数，故函数SKIPIF1<0的单调递增区间是SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．考点：辅助角公式的应用‚对称轴的求法ƒ求三角函数单调性区间20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的对称轴；(2)若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的最大值与最小值之和为SKIPIF1<0，求a．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）先化简为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0求解即可；（2）求得SKIPIF1<0的一个单调递增区间为SKIPIF1<0，一个单调递减区间为SKIPIF1<0，从而分三种情况讨论：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0结合单调性可求得最值，从而可求解.【详解】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的对称轴为SKIPIF1<0．（2）由（1）得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0，令k＝0，得SKIPIF1<0的一个单调递增区间为SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0，令k＝－1，得SKIPIF1<0的一个单调递减区间为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内单调递减，且SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以不满足SKIPIF1<0，舍去；当SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内单调递增，所以SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0