新高考数学一轮复习讲义 第17讲 任意角和弧度制及三角函数的概念（原卷版）

第17讲任意角和弧度制及三角函数的概念（精讲）题型目录一览①象限角和终边相同的角②扇形弧长和面积公式③三角函数的定义④判断三角函数值的符号★【文末附录-任意角和弧度制及三角函数的概念思维导图】一、知识点梳理一、知识点梳理一、三角函数基本概念1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是SKIPIF1<0．(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．(4)象限角的集合表示方法：2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．(2)角度制和弧度制的互化：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．(3)扇形的弧长公式：SKIPIF1<0，扇形的面积公式：SKIPIF1<0．3．任意角的三角函数(1)定义：任意角SKIPIF1<0的终边与单位圆交于点SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点PSKIPIF1<0是角SKIPIF1<0终边上异于顶点的任一点，设点SKIPIF1<0到原点SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号SKIPIF1<0SKIPIF1<0＋＋－－SKIPIF1<0SKIPIF1<0＋－－＋SKIPIF1<0SKIPIF1<0＋－＋－记忆口诀:三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦．二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一象限角和终边相同的角策略方法1．象限角的两种判断方法图象法在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角转化法先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角2．求eq\f(θ,n)或nθ(n∈N*)所在象限的步骤(1)将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示．(2)两边同除以n或乘以n．(3)对k进行讨论，得到eq\f(θ,n)或nθ(n∈N*)所在的象限．【典例1】下列与角SKIPIF1<0的终边相同的角的表达式中正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】已知角SKIPIF1<0第二象限角，且SKIPIF1<0，则角SKIPIF1<0是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【题型训练】一、单选题1．下列各角中与SKIPIF1<0角的终边相同的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．若角SKIPIF1<0是第一象限角，则SKIPIF1<0是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角3．若角SKIPIF1<0的终边在直线SKIPIF1<0上，则角SKIPIF1<0的取值集合为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知角θ在第二象限，且SKIPIF1<0，则角SKIPIF1<0在（

）A．第一象限或第三象限B．第二象限或第四象限C．第三象限D．第四象限二、多选题5．下列说法正确的有（

）A．经过30分钟，钟表的分针转过SKIPIF1<0弧度B．SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为第二象限角D．若SKIPIF1<0为第二象限角，则SKIPIF1<0为第一或第三象限角6．下列条件中，能使SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的终边关于SKIPIF1<0轴对称的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型二扇形弧长和面积公式策略方法有关弧长及扇形面积问题的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．【典例1】已知一扇形的圆心角为SKIPIF1<0，周长为SKIPIF1<0，面积为SKIPIF1<0，弧长为SKIPIF1<0,所在圆的半径为SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求扇形的弧长；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求扇形的半径和圆心角．【题型训练】一、单选题1．已知扇形半径为3，圆心角为120°，则此扇形围成的圆锥体积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为8，则圆锥的侧面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为（

）A．4 B．SKIPIF1<0 C．2 D．14．如图，在扇形SKIPIF1<0中，C是弦SKIPIF1<0的中点，D在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0．其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0长为SKIPIF1<0SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0的长度约为（提示：SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0）（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空题5．已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则扇形面积为________．6．已知一圆锥侧面展开图是圆心角为SKIPIF1<0，面积为SKIPIF1<0的扇形，则该圆锥的表面积为______7．在东方设计中存在着一个名为“白银比例”的理念，这个比例为SKIPIF1<0，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金分割比例”，传达出一种独特的东方审美观.如图，假设扇子是从一个圆面剪下的，扇形的面积为SKIPIF1<0，圆面剩余部分的面积为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，扇面较为美观.那么按“白银比例”制作折扇时，扇子圆心角的弧度数为____________.题型三三角函数的定义策略方法三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法(1)已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角函数值．方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解．(2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值．方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题．(3)已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值．方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意a的符号，对a分类讨论)，再利用三角函数的定义求解．【典例1】设SKIPIF1<0，角SKIPIF1<0的终边经过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值等于（

）A．SKIPIF1<0 B．－SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．－SKIPIF1<0【题型训练】一、单选题1．已知角SKIPIF1<0的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．在平面直角坐标系中，若角SKIPIF1<0的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．设α是第二象限角，P（x，1）为其终边上一点，且SKIPIF1<0，则tanα=（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知角SKIPIF1<0的顶点与坐标原点重合，始边与SKIPIF1<0轴的正半轴重合，终边在直线SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知角SKIPIF1<0的终边在直线SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题6．在平面直角坐标系中，角SKIPIF1<0的顶点与坐标原点重合，始边与SKIPIF1<0轴的非负半轴重合，终边经过点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<01 C．0 D．SKIPIF1<027．已知角SKIPIF1<0的终边与单位圆交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空题8．已知角SKIPIF1<0终边经过点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为_________．题型四判断三角函数值的符号策略方法三角函数值的符号判断已知一角的三角函数值(sinα，cosα，tanα)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．【典例1】若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【题型训练】一、单选题1．若SKIPIF1<0，则下列三角函数值为正值的是（

）A．SKIPIF1<0