新高考数学一轮复习讲义 第32讲 空间点、直线、平面间的位置关系（原卷版）

第32讲空间点、直线、平面间的位置关系（精讲）题型目录一览①共面、共线、共点问题的证明②异面直线③平面的基本性质④等角定理一、知识点梳理一、知识点梳理一、四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据（2）此推论是判定若干平面重合的依据（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面；公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．二、直线与直线的位置关系位置关系相交（共面）平行（共面）异面图形符号SKIPIF1<0a∥bSKIPIF1<0公共点个数100特征两条相交直线确定一个平面两条平行直线确定一个平面两条异面直线不同在如何一个平面内三、直线与平面的位置关系位置关系包含（面内线）相交（面外线）平行（面外线）图形符号SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0公共点个数无数个10四、平面与平面的位置关系位置关系平行相交（但不垂直）垂直图形SKIPIF1<0SKIPIF1<0符号SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0公共点个数0无数个公共点且都在唯一的一条直线上无数个公共点且都在唯一的一条直线上【常用结论】等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一共面、共线、共点问题的证明策略方法共面、共线、共点问题的证明【典例1】如图，在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中点．(1)证明：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点共面；(2)对角线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，求证：点SKIPIF1<0共线；(3)证明：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三线共点．【题型训练】一、单选题1．已知空间四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．正方体ABCD­-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（

）A．相交 B．异面C．平行 D．垂直3．在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P（

）A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上C．既在直线AC上也在直线BD上 D．既不在直线AC上也不在直线BD上4．在长方体SKIPIF1<0中，直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，则下列结论错误的是（

）A．SKIPIF1<0三点共线 B．SKIPIF1<0四点异不共面C．SKIPIF1<0四点共面 D．SKIPIF1<0四点共面5．下面几个命题：①两两相交的三条直线共面；②如果两个平面有公共点，则公共点有无数个；③一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共面；④顺次连接空间四边形各边中点所得的四边形是平行四边形．其中正确命题的个数是（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．1个6．在正方体中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是该点所在棱的中点，则下列图形中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点共面的是（

）A． B．C． D．7．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（）①E，F，G，H四点共面；②EF与GH异面；③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；④EF与GH的交点M一定在直线AC上．A．①③ B．①④ C．②③ D．②④8．如图，已知SKIPIF1<0分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线SKIPIF1<0相交的是（

）．A．直线SKIPIF1<0 B．直线SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0 D．直线SKIPIF1<0．二、多选题9．如图所示，在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，直线SKIPIF1<0交平面SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点共面C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点共面 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点共面10．在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的一点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的动点，则（

）A．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0时，存在点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0四点共面D．当SKIPIF1<0时，存在点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三条直线交于同一点三、填空题11．如图，正方体SKIPIF1<0中，O是SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0与截面SKIPIF1<0交于P，那么SKIPIF1<0、P、O三点共线，其理由是．

12．如图，在正方体中，A、B、C、D分别是顶点或所在棱的中点，则A、B、C、D四点共面的图形（填上所有正确答案的序号）．13．如图，已知四棱锥SKIPIF1<0的底面ABCD为平行四边形，M是棱SKIPIF1<0上靠近点D的三等分点，N是SKIPIF1<0的中点，平面AMN交SKIPIF1<0于点H，则，SKIPIF1<0.14．如图所示，在直四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，P为棱SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数），直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0相交于点Q．则线段SKIPIF1<0的长为．题型二异面直线策略方法1．平移法求异面直线所成角的一般步骤2．坐标法求异面直线所成的角当题设中含有两两垂直的三边关系或比较容易建立空间直角坐标系时，常采用坐标法．注：如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．【典例1】如图所示，在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角的大小为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【题型训练】一、单选题1．三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0两两垂直，SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．如图，在四棱台SKIPIF1<0中，正方形SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中心分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成角的正切值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D为PB的中点，则异面直线AD与PC所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．如图，在棱长为2的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．）在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值是（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．钟鼓楼是中国传统建筑之一，属于钟楼和鼓楼的合称，是主要用于报时的建筑.中国古代一般建于城市的中心地带，在现代城市中，也可以常常看见附有钟楼的建筑.如图，在某市一建筑物楼顶有一顶部逐级收拢的四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面（四棱柱看成正四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面中心上），在整点时刻（在0点至12点中取整数点，含0点，不含12点），已知在3点时和9点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．）在正三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D为SKIPIF1<0的中点，E为SKIPIF1<0的中点，则异面直线AD与BE所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空题12．在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的夹角为.13．在正四棱柱SKIPIF1<0中，底面边长为1，高为3，则异面直线SKIPIF1<0与AD所成角的余弦值是.14．如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0，D，E，F分别是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值是.15．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D、E分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角的余弦值为.16．在直四棱柱SKIPIF1<0中，底面四边形ABCD是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E是棱SKIPIF1<0的中点，O为底面菱形ABCD的中心，则异面直线EO和AD所成角的余弦值为．17．已知四面体ABCD满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且该四面体的体积为SKIPIF1<0，则异面直线AD与BC所成的角的大小为．题型三平面的基本性质【典例1】下列命题不正确的个数是（

）①三点确定一个平面；②圆心和圆上两个点确定一个平面；③如果两个平面相交有一个交点，则必有无数个公共点；④如果两条直线没有交点，则这两条直线平行．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【题型训练】一、单选题1．已知直线l和平面SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则过点P且平行于l的直线（

）．A．只有一条，不在平面SKIPIF1<0内 B．只有一条，且在平面SKIPIF1<0内C．有无数条，一定在平面SKIPIF1<0内 D．有无数条，不一定在平面SKIPIF1<0内2．在空间四边形SKIPIF1<0中，在SKIPIF1<0上分别取E，F，G，H四点，如果SKIPIF1<0交于一点P，则（

）A．P一定在直线SKIPIF1<0上B．P一定在直线SKIPIF1<0上C．P在直线SKIPIF1<0或SKIPIF1<0上D．P既不在直线SKIPIF1<0上，也不在直线SKIPIF1<0上3．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是三条不同的直线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是两个不同的平面，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交“是“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件4．若平面SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，则在SKIPIF1<0内过点SKIPIF1<0的所有直线中（

）．A．存在唯一一条与SKIPIF1<0平行的直线B．只有两条与SKIPIF1<0平行的直线C．不一定存在与SKIPIF1<0平行的直线D．存在无数条与SKIPIF1<0平行的直线5．如图所示，正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0的中点，则在平面SKIPIF1<0内与平面SKIPIF1<0平行的直线

A．不存在 B．有1条 C．有2条 D．有无数条6．下列命题正确的是A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行二、填空题7．已知SKIPIF1<0是不共面的四个点，且这四个点到平面SKIPIF1<0的距离都相等，则这样的平面SKIPIF1<0有个．8．在直四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M，N在棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的平面交SKIPIF1<0于G，则截面SKIPIF1<0的面积为．题型四等角定理策略方法空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．【典例1】已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．以上答案都不对【题型训练】一、单选题1．如图，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中不正确的是（

）

A．M，N，P，Q四点共面 B．SKIPIF1<0C．S