新高考数学一轮复习讲义 第28讲 等差数列（原卷版）

第28讲等差数列（精讲）题型目录一览①等差数列基本量的计算②等差数列的性质及其应用③等差数列的前n项和④等差数列中中SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系⑤等差数列的判定与证明一、知识点梳理一、知识点梳理一、等差数列的有关概念1.等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母SKIPIF1<0表示，定义表达式为SKIPIF1<0（常数）SKIPIF1<0．2.等差中项的概念若三个数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，则SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的等差中项，且有SKIPIF1<0．二、等差数列的有关公式1.等差数列的通项公式如果等差数列SKIPIF1<0的首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0，那么它的通项公式是SKIPIF1<0．2.等差数列的前SKIPIF1<0项和公式设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．三、等差数列的常用性质已知SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0为公差，SKIPIF1<0为该数列的前SKIPIF1<0项和．1.通项公式的推广：SKIPIF1<0．2.在等差数列SKIPIF1<0中，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．3.SKIPIF1<0，…仍是等差数列，公差为SKIPIF1<0．4.SKIPIF1<0，…也成等差数列，公差为SKIPIF1<0．5.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等差数列，则SKIPIF1<0也是等差数列．四、等差数列的前n项和公式与函数的关系SKIPIF1<0．数列SKIPIF1<0是等差数列⇔SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数）．【常用结论】1.等差数列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．2.等差数列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．3.等差数列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．4.若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0为等差数列，且前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一等差数列基本量的计算策略方法解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”．(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．【典例1】在等差数列中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则201是数列的第几项（

）A．59 B．60 C．61 D．62【典例2】在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．2 B．6 C．8 D．12【题型训练】一、单选题1．已知SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．3 D．42．等差数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．5 B．7 C．9 D．113．在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=（

）A．9 B．11 C．13 D．154．设SKIPIF1<0为等差数列，若SKIPIF1<0，则公差SKIPIF1<0（

）A．－2 B．－1 C．1 D．25．在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）．A．3 B．5 C．7 D．96．中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均五十八文，戊己庚均六十文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到58文，戊、己、庚三人共分到60文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（）A．乙分到28文，丁分到24文 B．乙分到30文，丁分到26文C．乙分到24文，丁分到28文 D．乙分到26文，丁分到30文7．等差数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．已知等差数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的前20项和SKIPIF1<0（

）A．200 B．300 C．210 D．320二、填空题9．在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的公差是．10．已知等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0．11．等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值是.12．已知等差数列SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．13．已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为等差数列，则通项公式为．14．已知等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若在数列SKIPIF1<0每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第43项为.题型二等差数列的性质及其应用策略方法利用等差数列的性质解题的两个关注点(1)两项和的转换是最常用的性质，利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分，在Sn＝eq\f(na1＋an,2)中，Sn与a1＋an可相互转化．(2)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，可求S2m或S3m．【典例1】已知等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．30 B．40 C．50 D．45【典例2】已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中项是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中项是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中项是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【题型训练】一、单选题1．已知数列SKIPIF1<0是等差数列，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．7 B．14 C．21 D．7(n-1)2．如果等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0（

）A．14 B．12 C．28 D．363．已知等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．30 B．15 C．5SKIPIF1<0 D．10SKIPIF1<04．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为等差数列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前5项和为（

）A．35 B．40 C．45 D．505．现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（

）A．0.25升 B．0.5升 C．1升 D．1.5升6．一个等差数列的前3项之和为12，第4项为0，则第6项为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．27．数列SKIPIF1<0是等差数列，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．4 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为SKIPIF1<0尺，前九个节气日影长度之和为SKIPIF1<0尺，则谷雨这一天的日影长度为（

）A．SKIPIF1<0尺 B．SKIPIF1<0尺 C．SKIPIF1<0尺 D．SKIPIF1<0尺9．“SKIPIF1<0”是“数列SKIPIF1<0为等差数列”的（

）．A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件10．公差不为零的等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则下列各式一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空题11．已知等差数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=12．已知等差数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.13．在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.14．在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的根，则SKIPIF1<0＝.15．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.题型三等差数列的前n项和策略方法在等差数列中，SKIPIF1<0，…仍成等差数列；SKIPIF1<0也成等差数列．【典例1】设SKIPIF1<0是等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．16 B．18 C．20 D．22【典例2】已知SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．4 B．7 C．8 D．9【题型训练】一、单选题1．已知等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是其前SKIPIF1<0项和，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．7 B．10 C．11 D．132．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔的排列顺序自上而下，第一层1座，第二层3座，第三层3座，第四层5座，第五层5座，从第五层开始，每一层塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计一百零八座，则该塔共有（

）A．八层 B．十层 C．十一层 D．十二层3．记SKIPIF1<0是公差不为0的等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的公差为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．44．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，······，则第十层有（

）个球．

A．12 B．20 C．55 D．1105．《数书九章》有这样一个问题：有5位士兵按从低到高站成一排（从低到高依次为甲、乙、丙、丁、戊），身高依次成等差数列，已知乙士兵的身高为5尺1寸，这五位士兵身高之和为26尺（1尺为10寸），则丁士兵的身高为（

）A．5尺2寸 B．5尺3寸 C．5尺4寸 D．5尺5寸6．记SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．25 B．22 C．20 D．157．已知等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．6 B．12 C．18 D．248．）在等差数列{an}中，a3+2a5+a9=10，则数列{an}前10项的和为（

）A．20 B．24 C．25 D．289．在项数为SKIPIF1<0的等差数列SKIPIF1<0中，其前SKIPIF1<0项的和为SKIPIF1<0，最后SKIPIF1<0项的和为SKIPIF1<0，所有项的和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．设SKIPIF1<0为正项等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．已知等差数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前n项和分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．若两个等差数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题13．已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<014．设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和是SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空题15．已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则公差为.16．记等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0．17．若等差数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前10项的和为.18．已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．19．已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均为等差数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前60项的和为．20．设等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．21．已知两个等差数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前n项和分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.题型四等差数列中SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系策略方法等差数列中SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系数列的前项和和通项的关系：则【典例1】已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【题型训练】一、单选题1．已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．5 B．6 C．7 D．83．已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．27 B．28 C．29 D．305．设SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和.若SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知正项数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．4045 B．4042 C．4041 D．40407．在无穷正项等差数列SKIPIF1<0中，公差为SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0是等差数列”是“存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．数列SKIPIF1<0是等差数列B．数列SKIPIF1<0是递增数列C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列二、多选题9．设无穷数列SKIPIF1<0为正项等差数列且其前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则下列判断正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．等差数列SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和分别为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则（

）A．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0三、填空题11．已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．12．数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，则该数列的通项公式为.13．已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式为.14．正项数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式为.15．已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等差数列，若SKIPIF1<0，则使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同时成立的k的值为．题型五等差数列的判定与证明策略方法等差数列的判定与证明的方法方法解读适合题型定义法SKIPIF1<0为同一常数⇔SKIPIF1<0是等差数列解答题中的证明问题等差中项法SKIPIF1<0成立⇔SKIPIF1<0是等差数列通项公式法SKIPIF1<0为常数）对任意的正整数SKIPIF1<0都成立⇔SKIPIF1<0是等差数列选择、填空题中的判定问题前SKIPIF1<0项和公式法验证SKIPIF1<0为常数）对任意的正整数SKIPIF1<0都成立⇔SKIPIF1<0是等差数列【典例1】已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)求证：数列SKIPIF1<0是等差数列.【题型训练】一、单选题1．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．记数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0为等差数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知数列SKIPIF1<0各项为正数，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0是等差数列 B．SKIPIF1<0是等比数列C．SKIPIF1<0是等差数列 D．SKIPIF1<0是等比数列4．）已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．3 D．20227．已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．8 B．9 C．10 D．118．数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），SKIPIF1<0，其前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．47 B．46 C．45 D．44二、多选题9．设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则下列能判断数列SKIPIF1<0是等差数列的是（

）A．SKIPIF1<