三角函数解三角形题型归类

WORD完美格式专业知识编辑整理三角函数解三角形题型归类一知识归纳：（一）任意角、弧度制及任意角的三角函数1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的；②分类：角按旋转方向分为、和．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝．(3)象限角：使角的顶点与重合，角的始边与，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝eq\f(π,180)rad，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°.(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|·r2.3．任意角的三角函数（1）定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝，cosα＝，tanα＝．（2）任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)4.三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．（二）公式概念1．三角函数诱导公式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,2)π＋α))(k∈Z)的本质奇变偶不变(对k而言，指k取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时把α看成是锐角)．2．两角和与差的三角函数公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；(3)tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ).3．二倍角公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cosα,2)；(3)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).（三）正、余弦定理及其变形：1．正弦定理及其变形在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(其中R是外接圆的半径)；a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).2．余弦定理及其变形a2＝b2＋c2－2bccosA；cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc).b2＝；cosB＝；c2＝.cosC＝.3.三角形面积公式:S△ABC＝eq\f(1,2)ah＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝_________________＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.2．整体法：求y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间、周期、值域、对称轴(中心)时，将ωx＋φ看作一个整体，利用正弦曲线的性质解决．3．换元法：在求三角函数的值域时，有时将sinx(或cosx)看作一个整体，换元后转化为二次函数来解决．4．公式法：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为eq\f(2π,|ω|)，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为eq\f(π,|ω|).(2016年全国卷1)4.△的内角，，的对边分别为，，．已知，，，则（A）（B）（C）（D）6.将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（A）（B）（C）（D）14.已知是第四象限角，且，则————————————．(2015年全国卷1)8.函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）（A）（B）（C）（D）17.（本小题满分12分）已知分别是内角的对边，.（=1\*ROMANI）若，求（=2\*ROMANII）若，且求的面积.(2014年全国卷1)2.若，则B.C.D.7.在函数=1\*GB3①，=2\*GB3②，=3\*GB3③,=4\*GB3④中，最小正周期为的所有函数为A.=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③B.=1\*GB3①=3\*GB3③=4\*GB3④C.=2\*GB3②=4\*GB3④D.=1\*GB3①=3\*GB3③16.如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测学科网得.已知山高，则山高________.(2013年全国卷1)9．函数在的图像大致为（）10．已知锐角的内角的对边分别为，，，，则（A） （B） （C） （D）16．设当时，函数取得最大值，则______.(2012年全国卷1)9.已知>0，，直线=和=是函数图像的两条相邻的对称轴，则=（A）eq\f(π,4)（B）eq\f(π,3)（C）eq\f(π,2)（D）eq\f(3π,4)17.（本小题满分12分）已知，，分别为三个内角,,的对边，.(Ⅰ)求；(Ⅱ)若=2，的面积为，求，.三、题型归纳题型一、三角函数定义的应用1.若点P在－eq\f(10π,3)角的终边上，且P的坐标为(－1，y)，则y等于()A.－eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(3),3)C.－eq\r(3) D.eq\r(3)变式1．已知角α的终边经过点(eq\r(3)，－1)，则角α的最小正值是()A.eq\f(2π,3)B.eq\f(11π,6)C.eq\f(5π,6)D.eq\f(3π,4)题型二、三角函数值的符号2．已知角α的终边经过点(eq\r(3)，－1)，则角α的最小正值是()A.eq\f(2π,3)B.eq\f(11π,6)C.eq\f(5π,6)D.eq\f(3π,4)变式2.设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝eq\f(1,5)x，则tanα＝()A.eq\f(4,3)B.eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4)D．－eq\f(4,3)题型三、同角三角函数关系式的应用3.已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于()A．－eq\f(4,3)B.eq\f(5,4)C．－eq\f(3,4)D.eq\f(4,5)4.已知sinαcosα＝eq\f(1,8)，且eq\f(5π,4)＜α＜eq\f(3π,2)，则cosα－sinα的值为()A．－eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(3,4)D.eq\f(3,4)变式3.已知sinα－cosα＝eq\r(2)，α∈(0，π)，则tanα等于()A．－1B．－eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(2),2)D．1题型四诱导公式的应用5．(1)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,2)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝________.(2)sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)sin(－1050°)＝______变式4.已知角终边上一点p(-4,3)，则的值为题型五、三角函数的图形变换6.（1）要得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,3)))的图象，只需将函数y＝sin4x的图象()A．向左平移eq\f(π,12)个单位 B．向右平移eq\f(π,12)个单位C．向左平移eq\f(π,3)个单位 D．向右平移eq\f(π,3)个单位（2）某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πXeq\f(π,3)eq\f(5π,6)Asin(ωx＋φ)05－50(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平移eq\f(π,6)个单位长度，得到y＝g(x)的图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心．变式5.已知函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).(1)求它的振幅、周期、初相；(2)说明y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到．题型六、三角函数的性质问题7.（1）函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))的单调增区间为________.（2）已知函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ－\f(π,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))取得最小值时x的集合为()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝kπ－\f(π,6)，k∈Z))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝kπ－\f(π,3)，k∈Z))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝2kπ－\f(π,6)，k∈Z))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝2kπ－\f(π,3)，k∈Z))（3）函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的最小正周期为π，且其图象向右平移eq\f(π,12)个单位后得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象()A.关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))对称 B.关于直线x＝eq\f(5π,12)对称C.关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0))对称 D.关于直线x＝eq\f(π,12)对称（4）当x＝eq\f(π,4)时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0)取得最小值，则函数y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－x))是()A.奇函数且图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))对称B.偶函数且图象关于点(π，0)对称C.奇函数且图象关于直线x＝eq\f(π,2)对称D.偶函数且图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))对称变式6.已知函数f(x)＝2cosx(sinx＋cosx)．(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)))的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．题型七、最值与值域问题8.已知函数。（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)在区间上的最大值和最小值。变式7、已知函数，若将函数图像向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图像，则g(x)在区间上的最大值和最小值之和为。题型八、三角函数的求值、求角问题9.（1）已知，则=。（2）已知锐角α，β满足sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(3\r(10),10)，则α＋β等于()A.eq\f(3π,4)B.eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)C.eq\f(π,4)D．2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)变式8.（1）已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(10),10)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,3)))＝________.(2)已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq\f(\r(10),10)，α，β均为锐角，则角β等于()A.eq\f(5π,12)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)！题型九、三角恒等变换的应用10.已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).(1)当a＝eq\r(2)，θ＝eq\f(π,4)时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．变式9.函数f(x)＝sin(2x－eq\f(π,4))－2eq\r(2)sin2x的最小正周期是________．题型十、利用正、余弦定理解三角形11.（1）设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a＝2,c＝2eq\r(3),cosA＝eq\f(\r(3),2),且b<c,则b＝()A.eq\r(3)B.2eq\r(2)C.2D.eq\r(3)（2）在△ABC中，a＝3，b＝eq\r(6)，∠A＝eq\f(2π,3)，则∠B＝________.（3）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A＝eq\f(π,4)，b2－a2＝eq\f(1,2)c2.=