2021-2022学年新教材湘教版高中数学必修第一册第三章函数的概念与性质知识点考点重点题型归纳总结

第三章函数的概念与性质

3.1函数...................................................................1

3.1.1对函数概念的再认识................................................1

3.1.2表示函数的方法....................................................8

3.13简单的分段函数...................................................12

3.2函数的基本性质........................................................17

3.2.1函数的单调性与最值...............................................17

第一课时函数的单调性.............................................17

第二课时函数的最大(小)值.........................................21

3.2.2函数的奇偶性.....................................................24

第一课时奇偶性的概念............................................24

第二课时函数奇偶性的应用(习题课).................................28

3.1函数

3.1.1对函数概念的再认识

知识点一函数的有关概念

1.定义：设A,3是两个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系力

对于集合A中的任何一个数元在集合8中都有唯二的数)，和它对应，那么称这

样的对应力A-8为定义于工取值于3的函数.

2.记法：y^B).

3.定义域：工叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域.

4.函数值(值域)：与对应的数上叫作函数值，记作所有函数值组

成的集合曲1匡A1叫作函数的值域.值域是集合B的子集.

•>>点一点・

对函数概念的3点说明

(1)当A,B为非空数集时，符号力4fB表示从集合A到集合B的一个函数;

(2)集合4中的数具有任意性，集合8中的数具有唯一性；

(3)符号，了表示对应关系，在不同的函数中/的具体含义不一样.

。想一想

1.有人认为“y=尺0”表示的是“y等于/与x的乘积”，这种看法对吗？

提示：这种看法不对.符号)，=/(用是“y是x的函数”的数学表示，应理解

为x是自变量，它是关系所施加的对象；/是对应关系，它可以是一个或几个解

析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当工允许取

某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值.y=/(x)仅仅是函数符

号，不表示“y等于，与x的乘积”.在研究函数时，除用符号/U)外，还常用

g(x),尸(x),G(x)等来表示函数.

2.兀0与共公有何区别与联系？

提示：兀v)与大。)的区别与联系：犬。)表示当x=a时，函数的值，是一个

常量，而/U)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，区。)是yu)的一个

特殊值，如一次函数/)=3x+4,当x=8时，48)=3X8+4=28是一个常数.

知识点二函数相等

两个函数7U)和g(x),当且仅当有相同的定义域U且对每个都有九t)=

g(x)时,叫作相等.

。想一想1

定义域和值域分别相同的两个函数是相等函数吗？

提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是相等函数.

题型一“函数关系的判断

■V

[例1]⑴设M={W0WxW2},N={y|0WyW2},给出下列四个图形:

①②③④

其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是()

A.0B.1

C.2D.3

(2)(多选)下列两个集合间的对应中，是A到B的函数的有()

A.A={-1,0,1),B={-1,0,1),f：A中的数的平方

B.4={0,1},B={-1,0,1),/：A中的数的开方

C.A=ZfB=Q,ftA中的数的倒数

D.A={1,2,3,4},B={2f4,6,8},/：A中的数的2倍

［解析］(1)①中，因为在集合M中当14W2时，在N中无元素与之对应,

所以①不是；②中，对于集合M中的任意一个数x,在N中都有唯一的教与之

对应，所以②是；③中，x=2对应元素y=3在N,所以③不是；④中，当x=］

时，在N中有两个元素与之对应，所以④不是.因此只有②是，故选B.

(2)A中，可构成函数关系；B中，对于集合A中元素1,在集合B中有两个

元素与之对应，因此不是函数关系；C中，A中元素0的倒数没有意义，在集合

3中没有元素与之对应，因此不是函数关系；D中，可构成函数关系，故选A、

［答案］(1)B(2)AD

1.判断对应关系是否为函数的2个条件

(1)A,B必须是非空实数集；

(2)A中的任意一个元素在8中有且只有一个元素与之对应.

2.根据图形判断是否为函数的方法

(1)任取一条垂直于方轴的直线/;

(2)在定义域内平行移动直线/；

(3)若/与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两

个或两个以上的交点，则不是函数.

［注意1对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不

是函数关系.

题型二.

［例2］确定下列函数的定义域：

⑴产出-1*yLx；

(2)尸(L1)。+也已

X—120,

［解］⑴由题意得，=x=l,

11—工70

工函数的定义域为{1}.

2

(2)由题意得，1市20,解得心＞一1且xWl,

j+1W0,

・••函数的定义域为{,中＞一1且xWl}.

求函数定义域的常用方法

⑴若yu)是分式，则应考虑使分母不为零；

(2)若应r)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；

(3)若/(X)是指数黑，则函数的定义域是使黑运算有意义的实数集合；

(4)若段)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集;

(5)若加)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.

题型三'

［例3］(链接教科书第66页例2)己知兀且xW-1)，g(x)=f

II人

+2(xeR),则12)=，犬g(2))=.

［解析］・・7U)=出，

A^2)=T+2=3-

又•；ga)=f+2,

Ag(2)=22+2=6,

・7/Cg(2))=火6)=R^='.

［答案］||

求函数值的方法

(1)已知凡0的表达式时，只需用。替换表达式中的x即得犬。)的值；

(2)求人以。))的值应遵循由里向外的原则.

题型四'

［例4］(多选)下列式子表示相等函数的是()

A.於)=用，。0)=正

B.y=五,y=g¥

C.)=11+x•yjl—x,y=y/T—^

D.y=yf(3—x)2,J=A—3

［解析］A:«Y)与夕⑺的定义域相同，又0(f)=炉=川，即次X)与勿⑺的对应

关系也相同，.；凡¥)与3⑺是相等函数；

B:的定义域为R,丁=(也)2的定义域为{卫120},两者定义域不同，

故>=［室与y=(y/x)2不是相等函数；

C:y=yj1+x•y］1—x的定义域为{x|-1WxW1},的定义域为{x|

一iwxwi},即两者定义域相同.又•・•］=〈1+不>y1—x=y］一同,两函数的

对应关系也相同.故y=\l+x•小一x与y=>\/l—x2是相等函数；

D:■；y=«(3—x)2=|%-3|与y=x-3的定义域相同，但对应关系不同，

.•・y=yj(3—x)2与y=x—3不是相等函数.

［答案］AC

判断两个函数是否为相等函数的三个步骤

［注意］(1)在化简解析式时，必须是等价变形；

(2)与用哪个字母表示无关.

抽象函数与复合函数

一、概念

1.抽象函数的概念

没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数.

2.复合函数的概念

若函数y=y⑺的定义域为A,函数z=g(x)的定义域为。，值域为C,则当C

GA时，称函数)，=/3箝)为川)与g(x)在。上的复合函数，其中，叫做中间变量，

f=g(x)叫做内层函数，丁=人。叫做外层函数.

［说明］由复合函数的定义可知，内层函数的值域是外层函数的定义域或定

义域的子集，外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义

域.

二、抽象函数与复合函数的定义域

理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点：

（1）函数7U）的定义域是指X的取值所组成的集合；

（2）函数49。））的定义域是指x的取值范围，而不是9（x）的范围；

（3）/（r）,犬矶r）），三个函数中的t,6（心,力（X）在对应关系/下的范围相

同；

（4）已知凡X）的定义域为A,求贝以外）的定义域，其实质是已知夕（x）的范围（值

域）为A,求出x的取值范围；

（5）已知共9。））的定义域为8,求共幻的定义域，其实质是已知八夕。））中的x

的取值范围为3,求出夕（工）的范围（值域），此范围就是/U）的定义域.

三、应用

1.已知共外的定义域，求/（g（x））的定义域

［例1］已知函数/0=蜘一~+级+3,则函数犬3/—2）的定义域为（）

A仔3jB.3J

C.［-3,1］D.1

［思路点拨］解题的关键是求出函数了=段）中x的范围，这个范围即为标一

2的范围，建立不等式求出自变量x的范围即可.

［解析］由-f+Zr+B2。，解得一

即函数兀0的定义域为［-1,3］.

由一lW3x—2W3,解得

则函数y（3x—2）的定义域为性|.

［答案］A

2.已知犬g（x））的定义域，求yu）的定义域

［例2］已知«?—1）定义域为［0,3］,则兀0的定义域为.

［思路点拨］定义域是指自变量的取值范围，则储一1）中x£［0,3］,求出

F—1的范围，这个范围即为_/U）的定义域.

［解析］根据7U2—1）定义域为［0,3］,得x£［0,3］,

A^efO,91,.4-1目-1,8］.

故式x）的定义域为［-1,8］.

［答案］［-1,81

3.已知«g（x））的定义域，求人力⑴）的定义域

［例3］若函数X］+1）的定义域为［一/21则函数人工一1）的定义域为

［解析］由题意知一则呆x+l<3,即於）的定义域为今3

3

-

Wx—1<3,2

故於一1）的定义域是修4

3

前

答-4

丁

4.求运算型抽象函数（由有限个抽象函数经四则运算得到的函数）的定义域

［例4］已知函数/U）的定义域为［0,1］,求函数g（x）=/（x+m）+/U一机）（加>0）

的定义域.

［思路点拨］由兀。的定义域为［0,1］可知对应关系/作用的范围为［0,1］,

而./（工+刈+心一加）的定义域是指当x在什么范围内取值时，才能使x+〃?，x—m

都在［0,1］这个区间内，从而使JCr+M+/（x—m）有意义.

OWx+mWl,1—mf

［解］由题意得，/VViJ_

10Mx-mW1［/nWxWl十加.

Vw>0,—m<m,1—nt<\4-/n,而〃z与1一m的大小不确定，・,•对/n与1

—m的大小讨论.

①若m=1-m,即机=2，则％=加=3；

②若即则mWxW1—w:

③若"Q1一即心3，则与题意不符，故机不可能大于去

综上所述，当时，函数g（x）的定义域为｛xpnWrWl—机｝.

3.1.2表示函数的方法

知识点一函数的表示方法

1.函数的解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来

得到的式子，叫作解析式.

2.函数的表示法

画［解析法）■｛就是用解析—示函数的方法〕

墨卜列表法｝■（就是列出■.来♦示函数的方法）

用'丽游（就是用驱♦衣示函数的方法〕

•>>点一点・

函数三种表示法的优缺点比较

知识点二函数的图象

1.将自变量的一个值加作为横坐标,相应的函数值/Uo）作为纵坐标,就得

到坐标平面上的一个点（如，4（）））.当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时,

就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合（点集）为｛（x,/））|x£A｝,即｛（x,

y）ly=./U），所有这些点组成的图形就是函数y=ya）的图象•

2.作图、识图与用图

(1)画函数图象常用的方法是描点作图，其步骤是列表、描点、连线；

(2)正比例函数与一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，

二次函数旷=加+以+以。/0)的图象是抛物线，开口方向由〃值符号决定，。＞0,

图象开口向上，。＜0时，图象开口向下，对称轴为工=一息.

点一点•

1.函数的图象是由一系列点形成的点集，故函数的图象可以是一条完整的

曲线，也可能是某条曲线的一部分，也可能是几段曲线组成或是几个孤立的点.因

此作函数的图象尤其需要关注函数的定义域.

2.函数图象上每一点的纵坐标y=/5)),即横坐标为双时的相应函数值.

3.每一个函数都有其相应的图象，但并不是每一个图象都能表示一个函数.

，想一想I

函数的图象是否可以关于x轴对称？

提示：不可以，如果关于x轴对称，则在定义域内一定存在一个自变量加，

有两个值和旭相对应，不符合函数的定义.

题型一函数的表示法

［例1］某问答游戏的规则是：共答5道选择题，基础分为50分，每答错一

道题扣10分，答对不扣分.试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者

的得分y与答错题目道数x(x£{0,1，2,3,4,5})之间的函数关系y=/(x).

［解］(1)用列表法可将函数y=/U)表示为

X012345

y50403020100

(2)用图象法可将函数丁=汽笛表示为

(3)用解析法可将函数y=Rx)表示为y=50—10x,x£{0,1,2,3,4,5).

1.函数的三种表示法的选择

解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对

应关系.采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数

的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少.

2.用三种表示法表示函数时的注意点

(1)解析法必须注明函数的定义域；

(2)列表法必须罗列出所有的自变量的值与函数值的对应关系；

(3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线

题型二函数图象的作法及应用

［例2］作出下列函数的图象并求出其值域:

⑴y=2x+l,xe[O,2]；

2

(2)y=;,xe[2,+8).

［解］(1)当2］时，图象是直线y=2x+l的一部分，如图yL

①，观察图象可知，其值域为［1,5］.\

(2)当x£［2,+8)时，图象是反比例函数的一部分，如图1，

-o|~i2i

②，观察图象可知其值域为(0,1］・图①

1…

~o-1~~2~r

图②

描点法作函数图象的三个关注点

(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图；

(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；

(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要分清

这些关键点是实心点还是空心圈.

［注意］函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.

题型三函数解析式的求法

角度一用待定系数法求函数解析式一

［例3］已知是二次函数，且共工+口+/^一口二源一以，求凡江

［解1设/)=0?+以+&W0),

则./U+l)+./(x—l)=4(x+l)2+/?(x+D+c+a。-l)2+b(x—1)+0=2加+

2以+2。+2。=2^—4%

2a=2,(a=1,

2b=—4,.*.Ab——2,

{2。+2c=0,lc=-l,

・\/(x)=x2—2x—1.

待定系数法求函数解析式

已知函数的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出7U)的解析式，再

根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析

式.

角度二用换元法(配凑法)求函数解析式

［例4］求下列函数的解析式：

(1)已知7(加+1)=X+24L求犬工)；

(2)已知/U+2)=2x+3,求7U).

［解］(1)法一(换元法)：令1=也+1,则x=(Ll)2,后1,所以犬。=«—1)2

+2(1)=产一1(/21),

所以凡。的解析式为yu)=『一ia》D.

法二(配凑法)：/(也+1)=X+2G=X+2G+1—1=(S+1)?—1.

因为也+1^1,

所以人0的解析式为70)=«—1(x21).

(2)因为/U+2)=2x+3=2(x+2)-1,

所以/W=2x-1.

换元法、配凑法求函数解析式

已知Hg(x))=弁a)，求犬刈，有两种方法：

(1)换元法，即令］=g(x),解出X,代入6(X)中，得到一个含，的解析式，再

用X替换八便得到段)的解析式.利用换元法解题时，换元后要确定新元，的取

值范围，即函数段)的定义域；

(2)配凑法，即从Ag(x))的解析式中配凑出g(x),用g(x)来表示/z(x),然后将

解析式中的以x)用工代替即可.

角度三用方程组法求函数解析式

［例5］已知函数/E)对于任意的x都有«X)—2/(—x)=l+2x,求«r)的解析

式.

［解］在4(—3)=1+法中，以一x代换x,可得式-x)—"x)=1—2x,

fG)~2f(-x)=l+2r,

则，

［f(-X)-2f(x)=l-2x,

2

消去y(—%),可得i.

方程组法求函数解析式

方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如互为相反

数的1一不),yu)的函数方程，通过对称规律再构造一个关于次一x),yu)的方程，

联立解出寅X).

3.13简单的分段函数

知识点分段函数

1.定义：一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围内时,函数由不同

的解析式给出,这种函数叫作分段函数.

2.图象：分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.在同一直角坐标

系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空

心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象.

•・＞点一点•

对分段函数的再理解

(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数.处理分段函数问题时，要先确定

自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系;

(2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必

须指明各段函数自变量的取值范围；

(3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集.分段函数的定义域只能

写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式；

(4)分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集.

。想一想

x,工20,

函数y=八是分段函数吗？它是一个函数还是两个函数？

Lx,x<0

x,/NO,

提示：函数y=彳是分段函数，它是一个函数.

［—X,x<0

题型一分段函数的定义域、值域

［例1］(1)己知函数段)=%则其定义域为()

A.RB.(0,+8)

C.(一8,0)D.(一8,0)U(0,+8)

(T+i,ovxvi,

(2)函数yu)=，o,x=o,的定义域为,值域为.

-1<X<0

［解析］(1)要使yu)有意义，需xwo,

故定义域为(一8,0)U(0,+8).

(2)由已知定义域为{川OVxVl}U{O}U{x|-l<x<0}={A|-1<X<1},即(一

1,1).又OVxVl时，OV-r+lVl,—IVxVO时，一IVr2—IVO,x=0时,

y(x)=o,故值域为(一i,o)u{o)u(o,i)=(-i,1).

［答案］⑴D(2)(-1,1)(-1,1)

1.分段函数定义域、值域的求法

(1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；

(2)分段函数的值域是各段函数值域的并集.

2,绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决.

题型二分段函数求值问题

l+~,X>1,

［例2］已知函数於)=3+1,_0W1,

、2x+3,x<-1.

⑴求人/亚―2)))的值；

(2)若儿z)=|,求a

［ft?］(l)V-2<-l,・\/(-2)=2X(—2)+3=—1,

.*./(/(-2))=X-l)=2,

13

.•.yw(-2)))=x2)=1+2=2-

13

⑵当a>\时，/(。)=1+-=5，：.a=2>\;

az

当一iWaWl时，X«)=«2+l=1,/.a=±^€［—1,1］；

当a<—\时，刎=20+3=怖,；・a=-亳>—1(舍去).

综上，〃=2或

1.求分段函数的函数值的方法

(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间；

(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现心3))的形式时，应从

内到外依次求值.

2.已知函数值求字母取值的步骤

(1)先对字母的取值范围分类讨论;

(2)代入到不同的解析式中；

(3)通过解方程求出字母的值；

(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.

题型三、分段函数的图象及应用

［例3］已知函数/(x)=l+”2"(—2<rW2).

(1)用分段函数的形式表示该函数;

(2)画出函数的图象；

(3)写出该函数的值域.

Y—X

［解］⑴当0WxW2时，

当一2<x<0时，fix)=1+2=1-尤

1,04W2,

(2)函数/U)的图象如图所示:

(3)由(2)知,人现在(一2,2］上的值域为［1,3).

［母题探究］

(变条件)若本例条件变为“已知函数兀0=|x|—2"，如何求解?

X-2,冗20,

解：(1次幻=|川一2=c八

［-X—2,x<0.

⑵函数的图象如图所示：

^-2X02%

(3)由图可知，兀r)的值域为［-2,+8).

分段函数图象的画法

(I)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对

值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象；

(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管

定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注

意接点处点的虚实，保证不重不漏.

题型四分段函数的应用问题

[例4]某市有4,8两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方

式不同，A俱乐部每块场地每小时收费6元；8俱乐部按月计费，一个月中20

小时以内(含20小时)每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小

时2元，某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其

活动时间不少于12小时，也不超过30小时.

⑴设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为加)元(12«0),在

B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12Wx(30),试求«r)与g(x)

的解析式；

(2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？

[解]⑴由题意於)=6x,%e[12,30],

_J9O,问12,20],

g0)一〔2x+50,(20,30].

(2)①12W%W20时，6x=90,解得x=15,

即当12Wx<15时，yw<ga),

当x=15时，於)=g(x),

当i5<xW2o时，yu)>ga).

②当20<x<30时，/U)>g(x),

故当12<xvl5时，选A俱乐部合算，

当x=15时，两家俱乐部一样合算，

当154W30时，选8俱乐部合算.

分段函数的实际应用

(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来

表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画；

(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区

间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式.

3.2函数的基本性质

3.2.1函数的单调性与最值

第一课时函数的单调性

知识点函数的单调性

1.增函数、减函数

前提

设函数段)的定义域为D,/是。的一个非空的子集

条件

如果对于/上任意两个值XI,X2,当X1<X2时

条件

都有氏n)W"2)都有人加闫(⑼

yr

图示

仆)”)

11

0X1%2*0*1*2X

人外是区间/上的减函数，

7k)是区间I上的增函数,也称段)在区

结论也称K0在区间I上单调

间/上单调递增

递减

2.如果函数y=/(x)在区间/上是增函数或减函数，那么就说函数y=/U)在

这一区间上具有(严格的)单调性,区间/叫作y=/U)的单调区间.

•>>点一点•

1.对区间/的要求

函数的单调性是函数在某个区间上的性质，这个区间可以是整个定义域，也

可以是定义域的一部分.

2.XI,X2的三个特征

(1)同区间性,即XI,X2^I；

(2)任意性，即不可用区间/上的两个特殊值代替XI,X2；

(3)有序性，即需要区分大小，通常规定XKT2.

题型一函数单调性的判定与证明

［例1］(链接教科书第80页例1)已知函数於)=乒口.

⑴求危)的定义域；

(2)判断函数4r)在(1,+8)上单调性，并用定义加以证明.

［解］(1)由f-IWO,得xW±l,

所以函数五%)==7的定义域为{x|xWR,且xW±l}.

(2)函数4r)=£［在(1,+8)上单调递减.

证明：设处和X2是区间(1,+8)上任意两个实数，且RI<T2,

(XI-X2)(Xl+x2)

则犬X2)-/UD=言—当

(XT—1)(x5—I)'

由XI,X2^(l,+3),得用>1,X2>1,

所以X—1>0,X5—1>0,XI+x2>0.

日(――X2)(%1+X2)

又XI,所以XI—X2<0,即7(X1)次X2),

<X2我"(XT—1)(X?-1)

所以，函数yu)=,L］在(1,+8)上单调递减.

利用定义证明函数单调性的4步骤

兔心—设初初是该区间内的任意两个值，且为〈也

作差/(须)-/(#2)或/(力2)~/(为)，并通过因式分解、

作凄、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方

w夕/向变形，一般化为积的形式

宪宣>—确定差/(X,)-f(X2)或/GDTTGJ的符号，当符号不

确定时，可以进行分类讨论

结雄>—根据定义得出结论

题型二求函数的单调区间

[例2]画出函数y=—/+2团+3的图象，并指出函数的单调区间.

I—(r—1)2+4x20

♦r

［解］,=_/+2k|+3=J函数图象.4[■

।—(x+1)+4,x<0.

如图所示.函数在(一8,—1］,［0,1］上单调递增，函数在［-1,

0］,［1,+8)上单调递减.所以函数的单调增区间是(一8,—

1］和［0,11,单调减区间是(一1,0)和(1,+8).

［母题探究1

(变条件)将本例中“丁=一/+2因+3”变为“y=|一条+2x+3|“，如何求

解？

y

解：函数)，=|一/+2x+3|的图象如图所示.由图象可\4彳、/

知其单调递增区间为［-1,1］,［3,+8)；单调递减区间为Y［

(一8,-1),(1,3).

求函数单调区间的2种方法

法一：定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解；

法二：图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间.

［注意1(1)如果函数«x)在其定义域内的两个区间A,B上单调性相同，则两

个区间用“，”或“和”连接，不能用“U”连接；

(2)书写单调区间时，若函数在区间的端点处有定义，则写成闭区间、开区间

均可，但若函数在区间的端点处无定义，则必须写成开区间.

题型三'函数单调性的应用

［例3］(1)若函数人外=-?-2伍+1)%+3在区间(-8,3］上单调递增，则

实数。的取值范围是;

(2)己知函数y="r)是(-8,+8)上的增函数，且大型一3)45%—6),则实

数%的取值范围为.

［解析］(1)＜人丫)=一/一2(〃+1)戈+3的开口向下，要使“丫)在(-8,3］上单

调递增，只需-3+1)23,即。於一4.，实数。的取值范围为(-8,-4］.

⑵;於)在(-8,+8)上是增函数，

且y（2r—3）X5x—6）,

.,.2r—3>5x~6,即x<L

・•・实数X的取值范围为(一8,1).

［答案］(1)(-8,-4］(2)(—8，1)

［母题探究1

L(变条件)若本例(1)的函数兀0在(1,2)上是单调函数,求〃的取值范围.

解：由题意可知一(〃+1)W1或一(〃+1)22,即〃3或〃，一2.

所以4的取值范围为(一8,-3]U[-2,4-00).

2.(变条件)若本例⑵的函数7U)是定义在(0,+8)上的减函数，求X的范围.

r2x-3>0,

解：由题意可知，y5x—6>0,解得x>|.

Izx—3<5x—6,

・・.x的取值范围为传，+8)

i.利用单调性比较大小或解不等式的方法

(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的

问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上；

(2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将脱掉,

使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.

2.已知函数的单调性求参数的取值范围的一般方法

(1)将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出

参数的取值范围；

(2)运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参

数的取值范围.

复合函数)，=/ua))的单调性

2

[典例]已知函数寅x)=­，xe[2,6].

X1

(1)判断此函数在x£[2,6]上的单调性；

(2)根据(1)的判断过程，归纳出解题步骤.

22

提示：(1)函数可分解为函数)，==和函数u=x-\.

X1w

因为xW[2,6],所以〃W[l,5],显然函数〃=1一1在x£[2,6]上单调递增,

22

函数在〃£[1,5]上单调递减，由复合函数的单调性，知.")=±在x£[2,

6]上单调递减.

(2)解题步骤为：先求函数的定义域，接着分解复合函数，再判断每一层函数

的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性.

[结论]复合函数的单调性：一般地，对于复合函数y=J（g。）），单调性如表

所示，简记为“同增异减”.

g。）於）虑㈤）

增增增

增减减

减增减

减减增

[迁移应用]

x+2

判断函数段）=—,xe[3,8]上的单调性.

X1

（x-"1）+333

解：’・•函数兀0=-----二7[-----=1+二7]可分解为函数7（x）=l+z和函数”

=x~\.

因为x£[3,81,所以〃£[2,7],显然函数〃=犬-1在x£[3,8]上单调递增，

3x+2

函数1〃）=1+=在〃£[2,7]上单调递减，由复合函数的单调畦，知人。=七7在

〃X1

xe[3,8]上单调递减.

第二课时函数的最大（小）值

知识点齿数的最大值与最小值

前提条件：设。是函数7U）的定义域.

（1）最大值：如果有使得不等式心）w血）对一切「三。成立,就说/U）

在工=。处取到最大值"=«〃），称w为ZU）的最大值，〃为ZU）的最大值点.

⑵最小值：如果有力使得不等式对一切XED成立,就说加）

在x=b处取到最小值机=«历，称团为"第）的最小值，力为/W的最小值点.

最大值和最小值统称为最值.

•点一点•

对函数最大值(最小值)定义的再理解

(l)M(M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素；

(2)最大(小)值定义中的“对一切x^D成立”是说对于定义域内的每一个值

都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有成立.

题型一图象法求函数的最值

伊，一iWxWl,

［1501］已知函数yu)=h求y(x)的最大值、最小值.

11.

［解］作出函数兀0的图象(如图).由图象可知，当x=±l时，«r)取最大值为

XD=X-1)=1.

当x=O时，/X)取最小值为火0)=0,

故凡T)的最大值为1,最小值为0.

用图象法求最值的3个步骤

题型二单调性法求最值

2K-3

[例2]已知函数兀0=、.

(1)判断函数兀0在区间［0,+8)上的单调性，并用定义证明；

(2)求函数五］)在区间［2,9］上的最大值与最小值.

［解］(1次幻在区间［0,+8)上单调递增.

证明：设XI,R2是区间［0,+8)上任意两个实数，且X［<X2,

…~~、2ri-32x2-3(2xi-3)G2+D

则於D-於»=方丁-石钉=3+D(及+1)一

(2及-3)(xi+1)_______5Cri一12)

(xi+1)(X2+1)(xi+l)(xz+l)

因为xi—X2〈0,(xi+1)(x2+1)>0,

所以火r)—/(X2)VO,即儿XI)勺(X2).

所以函数人此在区间［0,+8)上单调递增.

（2）由（1）知函数/（x）在区间［2,9］上是单调递增的，

2X9—33

故函数人幻在区间［2,9］上的最大值为大9）==/最小值为12）=

yI1J

2X2-31

2+1=3'

1.利用单调性求函数的最大（小）值的一般步骤

（1）判断函数的单调性；

（2）利用单调性求出最大（小）值.

2.函数的最大（小）值与单调性的关系

（1）若函数凡。在区间［。，力］上单调递增（减），则人工）在区间［〃，回上的最小（大）

值是最大（小）值是43；

（2）若函数兀0在区间［a,句上单调递增（减），在区间g,c］上单调递减（增），

则7U）在区间c］上的最大（小）值是次份，最小（大）值是犬。）与犬c）中较小（大）的

一个.

题型三'利用函数的最值解决恒成立问题

『+2x+a

［例3］已知函数兀r)=---;----，%e［l,+8).

（1）当时，求函数的最小值；

（2）若对任意x£［l,+8）,凡r）>0恒成立，试求实数。的取值范围.

.f+lx+T］

［解］⑴当4=2时，段）=---------=1+逅+2.设XI和X2是区间［1,+°°）

上任意两个实数，且X142,

则於1）一段2）=。1一也）（1一爹1（0,

所以火苗）勺（X2）,即函数於）在［1,+8）上为增函数，

17

所以函数在［1,+8）上的最小值为11）=1+］+2=,

（2）法一：依题意应¥）=:~~>0在［1,+8）上恒成立，

即f+2x+G>0在［1,+8）上恒成立.

记)，=f+2x+”，xG［l,4-oo),

由y=(x4-l)2+rz—1在［1,+8)上为增函数，

知当x=l时，y取得最小值3+〃.

所以当3+G>0即a>-3时，大幻>0恒成立.

于是实数。的取值范围为(-3,+8).

12+2工+a

法二：依题意段)=----：---->0在［1,+8)上恒成立，即f+Zr+AO在［1,

+8)上恒成立.