2021年函数和不等式思想在极值点偏移问题中的应用

精编word文档下载可编辑PAGEPAGE45函数和不等式思想在极值点偏移问题中的应用一、教材分析1．教材的内容选修1-1第三章，本节属于专题复习课.教材所处的地位和作用微积分的创立是数学发展史中的里程碑，它的发展应用开创了向近代数学过渡的新时期，它为研究变量与函数提供了重要的方法和手段。导数的概念是微积分的核心概念之一，它有及其丰富的实际背景和广泛的应用。在选修模块中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数的含义，体会导数思想及其内涵；应用导数探索函数的单调，极值等性质在实际中的应用，感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用，体会微积分的产生对人类文化发展的价值。学情分析①通过《数学必修》中函数，几何与代数，数学建模等内容的学习以及在《数学选修1-1》中第二，三章内容的学习，学生已经具备了函数的基本知识和运算能力，这为本节我们讨论极值点偏移问题提供了很好的前提与基础。②学生具体研究学习了数学必修中函数单调性的寻找，证明和应用及不等式的相关结论，具备了一定的探究能力。基于此，学生会产生思考，如何运用函数和不等式来解决高考试题中极值点偏移的问题，能否给出一般性的解决方法和步骤，如果能够得到这类问题较为简单的解题通法，这个常常出现在高考数学压轴题21题位置上的难点将不会再对我们造成太难的阻碍，甚至会成为部分同学新的得分点。③教学对象是高三年级理科生，由于学生年龄和能力及题目本身思维要求高，过程繁，计算难度大等原因，学生的思维尽管活跃，敏捷，但却缺乏冷静深刻的数学思维和解难题的能力，因此所做的探索过于片面，结论不够严谨.教学的重点和难点重点函数构造法，对数平均不等式和极值点偏移的判定定理难点函数构造法的结题步骤，构造函数的选取，对数平均不等式的放缩和极值点偏移的判定定理的使用二、教学目标分析1．知识与技能能运用函数和不等式解决导数应用中极值点偏移的问题掌握函数和不等式解决这类题的一般步骤极值点偏移的判定定理的使用2、过程与方法通过利用几何画板展现极值点偏移的过程，让学生直观认识感受极值点偏移的本质原因，激发学生探究解决问题的激情，和培养学生认真观察事物变化过程，总结变化规律的习惯。同时在此处先不给出极值点偏移的判定定理，而是先用函数构造法和对数平均不等式这两种之前已经介绍过的方法来求解例一。重在感受极值偏移的现象，和复习归纳已经学习的知识方法。结合例一的解题过程，重点回顾讨论解题的方法和步骤，展示这两种方法的易错点和难点的突破口，树立学生解难题的信心规范学生的解题过程。然后把时间向前推移六年到例2（2010天津）让学生自主模仿例一的解法尝试来解例二，通过例一的复习学生较容易使用其中的一种或两种方法得到题目的答案让学生体会到学以致用的成就感，同时也通过两题的比对了解到高考题目的变迁历史体会该知识点在高考中的地位清楚今后的复习和学习方向。展示学生例二的解题过程并加以点评后提出更高的要求——有没有更好的方法，结合一开始的三张图片让学生再次重新审视极值点偏移的原因回归到数学本质上来，不用很精准只需要说出自己的直观感受即可，通过这一过程让学生锻炼自己的数学直观想象和数学运算分析等核心素养，同时也为后面介绍极值点偏移的判定定理做好铺垫，比较分析函数构造法和对数平均不等式的特点和优缺点，认识到具体问题具体分析，方法的选择要灵活有针对性，不能盲目模仿和生搬硬套，通过一题多解，和同法异题的求解加深解题方法的理解和应用能力的提高，由具体问题的多角度的思维得出不同方法的求解过程培养学生的探索精神和数学归纳的能力，数学抽象能力。3、情感态度与价值观通过经历对例一和例二高考真题的探索和解决，激发学生对数学的好奇心和求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受数学思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．引导学生树立科学的世界观，提高学生的数学素养和综合素质。三、教学方法与手段分析教学方法结合本节课的教学内容和学生的认知水平，在教法上，我采用“探究发现”模式的教学方法，整个教学过程以学生为主体，学生自主学习为中心的思想，同时运用多媒体课件教学等技术手段，同一题目不同方法的比对，相同方法不同题目的求解让学生由浅入深，循序渐进的参与这堂课的每个过程，自然而然的完成本节课的教学目标。学法观察分析→自主探究→合作交流→初步运用→归纳小结教学手段利用计算机和实物投影等辅助教学，充分调动学生参与课堂教学的主动性与积极性.四、教学过程分析教学是一个教师的“导”，学生的“学”以及教学过程中的“悟”构成的和谐整体.教师的“导”也就是教师启发、诱导、激励、评价等为学生的学习搭建支架，把学习的任务转移给学生，学生就是接受任务，探究问题、完成任务.如果在教学过程中把“教与学”完美的结合也就是以“问题”为核心，通过对知识的发生、发展和运用过程的演绎、解释和探究来组织和推动教学.Ⅰ.创设情境，提出问题图1x

=m=x1+x2极值点无偏移图2x<m=x1+x2极值点左偏0图3x0

202>m=x1+x22目的①本例通过给出三张典型的凹函数图像，让学生从图像特征上去直观感受函数图像极值点发生偏移的原因，有助于调动学生学习积极性，同时上来通过图像让学生直观感受而非繁琐的计算来思考解决问题，有助于开拓学生视野回归数学问题本质，降低了学生对于该问题的为难情绪。②通过学生观察后教师自然而然的给出极值点偏移的定义，并顺带给出极值点偏移的数学解释逐步让学生由感性认知上升到理论认知，当然老师在此可以对学生提出进一步要求，可不可以给出一般性的判定定理？这里我们只先提出问题，做下伏笔，但并不马上去求解，避免由于问题过难而挫伤学生的积极性，同时也为本节课最后的问题做好了铺垫。Ⅱ.探究问题例一（2016全国卷一）已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点。（I）求a的取值范围；（略）（II）设x1,x2是f(x)的两个零点，证明x1+x2<2目的①发挥学生的主观能动性，先自己探求结果，检查学生前一阶段的复习成果和对于问题一的思考和联系；②让学生对于零点偏移求解过程更加熟练，思路更加清晰；并为下一步对数平均不等式和极值点偏移的判定定理做好铺垫；解法一对称构造函数法由（1）知a30①x1<1<x2②构造函数F(x)=f(x)-f(2-x)，(x<1)TF＇(x)=f＇(x)-f＇(2-x)=(x-1)(ex+2a)+(1-x)(e2-x+2a)=(x-1)(ex-e2-x)x<1时x-1<0T2-x>1>xTe2-x-ex>0＼F＇(x)>0TF(x)在(-￥，1)上-③代入x1得F(x1)<F(1)=0Tf(x2)=

f(x1)<

f(2-x1)又Qy=

f(x)在(1，+￥)上-x2(1,+￥),2-x1(1,+￥)＼x2<2-x1即x1+x2<2提问1学生解法一由哪些主要步骤，哪些步骤是你觉得难得地方，我们是如何解决这些困难的？结合学生的回答对称化构造函数处理极值点偏移问题的基本步骤归纳如下＇①求导获得f(x)的单调性，数形结合判断零点x1,x2和极值点x0的范围②构造辅助函数F(x)=性

f(x)-f(2x0-x)，判断函数F(x)的符号，确定函数F(x)的单调③结合F(x0)=0限定x的范围判定F(x)的符号得到不等式④将x1(或x2)代入上述不等式，利用f(x1)=f(x2)替换f(x1)⑤结合①求得f(x)的单调性转化为x1,x2的不等式，证明结束。提问2；可不可以把流程继续简化？其中主要的三步流程简化为“求导→构造→代入”。构造是难点，求导是关键，常用构造要记清。提问3还有其他解法吗？提醒学生从不等式构造上思考学生有困难，则先回顾基本不等式内容，让学生从熟悉的，简单的问题入手调和平均数￡几何平均数￡算术平均数￡￡平方平均数A(a,b)=a+b,L(a,b)=2

a-blna-lnb

,G(a,b)=

ab,(a,b>0)TA￡L￡G解法二对数平均不等式（ALG）f(x)=f(x)=0(x-2)ex1+a(x-1)2=(x-2)ex2+a(x

-1)2=0121122ìa(x-1)2=(2-x)ex1221Tí1121212a(x

-1)2=(2-x)ex2，两式相减得a(x+x

-2)(x

-x)=(2-x)ex1-(2-x)ex2ìx1+x2-230（反证）假设x+x32Tx-x<0T(2-x)ex-(2-x)ex￡012í121122a30T(2-x)ex1￡(2-x)ex2（左右两边同时取对数）12Tln(2-x1)+x1￡ln(2-x2)+x2Tln(2-x1)-ln(2-x2)￡x2-x1T(x2-x1

31T

(2-x1)-(2-x2)31

（*）ln2-x1)-ln(2-x2)ln(2-x1)-ln(2-x2)由对数平均不等式（ALG）得

(2-x1)-(2-x2)

<(2-x1)+(2-x2)=2-x1+x2￡1ln(2-x1)-ln(2-x2)22显然与（*）相矛盾，假设不成立，原命题成立。解题流程实际问题→（数学抽象）数学模型→数学解→（解释与检验）实际问题引导学生体会数学思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．提问4这类问题最早出现在那一年高考题中，当时的高中生如何解决这类问题，我们是否能在当年的高考题中取得满分？激发学生的动力积极性，检查学生的掌握情况。给出本节的例二例二（2010天津卷）已知函数f(x)=xe-x(xR)（I）求函数f(x)的单调区间和极值；（II）已知函数y=g(x)的图像与函数y=时，f(x)>g(x);

f(x)的图像关于直线x=1对称，证明当x>1（III）如果x11x2，且f(x1)=f(x2)，证明x1+x2>2。解法一对称构造函数法（1）（2）略①由（1）知x1<1<x2②构造函数F(x)=f(x)-f(2-x)，(x<1)TF＇(x)=f＇(x)-f＇(2-x)=e-x(1-x)+e-(2-x)[1-(2-x)]=e-x(1-x)+e-(2-x)(x-1)=(x-1)(e-2+x-e-x)其中x-1<0

üTF＇(x)>0tx-2<-1Tex-2<e-1<e-xyTF(x)在（-￥,1）上-③代入x1得F(x1)<F(1)=0Tf(x2)=

f(x1)<

f(2-x1)又Qy=

f(x)在(1，+￥)上ˉx2(1,+￥),2-x1(1,+￥)＼x2>2-x1即x1+x2>2解法二对数平均不等式（ALG）f(x)=f(x)Txe-x1=xe-x2（左右两边同时取对数）1212Tlnx1-x1=lnx2-x2Tx1-x2=lnx1-lnx2Tx1-x2lnx1-lnx2

=1（*）由对数平均不等式（ALG）得Tx1+x2>2

x1-x2lnx1-lnx2

=1<x1+x22提问5显然这个问题对于现在的我们不是什么难题了，但作为新时代的我们能不能用给简洁的方法给出这两题的一般性解法，通法的探讨显然是我们要思考的问题。那么学生对于这个新的挑战自然就会萌生极大地兴趣，这时再回顾我们一开始观察三张直观图时提出的问题，解法三的出现也就是必需的了。即本节课的最后一个知识点——极值点偏移的判定定理。III.按图索骥，回归本质极值点偏移判定定理在给定区间D上函数y=

f(x)可导f(x1)=f(x2),(x1<x2)，若

x0为(x,x)上的唯一极小值点，f＇＇＇(x)>0，则极小值点右偏x1+x2<x；1220f＇＇＇(x)<0，则极小值点左偏x1+x2>x。20对于该定理作为高中生我们只需要了解，不需要完整严格的证明，（后附有泰勒展开的完整证明过程，可以开拓一部分自学高等数学的学生的视野）那么我们怎么来理解该判定定理呢？我们又如何运用它来解决高中相关的数学问题呢？对此我们分两部分来讨论。第一部分我们主要结合导数的几何意义与n阶导数的运算来了解该定理的由来。首先通过让学生再次观察一开始我们已展示的图一，二，三不，学生不难发现y=

f(x)的图像偏移的原因，即y=

f(x)的图像在u(x0,)内增减速度的不同而发生的。接着再进一步引导学生思考发生的不同我们如何去用数学的语言来描述刻画它，提醒学生从导数的几何意义来思考，以图2为例和学生一起做探讨y=

f(x)的图像的斜率一直在增加，但增加的速度在变慢，（数学直观想象），如何用数学语言来表述这一变化？（数学抽象）→f＇(x)>0,

f＇(x)增加Tf＇＇(x)>0（速度变慢）T

f＇＇(x)的绝对值变小Ty=f＇＇＇(x)<0。完成图二的探讨后可让学生模仿独立的完成图3的探索f＇(x)>0,

f＇(x)增加Tf＇＇(x)>0（速度变快）T

f＇＇(x)的绝对值变大Ty=f＇＇＇(x)>0。以上结论可简单记忆口诀（“小大小”，“小小大”），同时若x0是极大值点的话，结论相反，口诀为（“大大大”，“大小小”）IV.给出定理，尝试新解第二部分运用新的判定定理重新去接例一和例二例一新解极值点偏移判定定理解法三f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2Tf＇(x)=(x-1)(ex+2a)T

f＇＇(x)=(x-1)ex+ex+2aTf＇＇＇(x)=ex(x+1)分两段区间讨论①若x(-￥,1]，f(2)=a>0结合图像可知x1￡-1<x2<a，则x1+x2<21②若x(-1,+￥)，f＇＇＇(x)>0，x=1是极小值，符合“小大小”Tx

+x2<2综上的x1+x2<2例二新解解法三f(x)=xe-xT

f＇(x)=e-x-xe-xT

f＇＇(x)=e-x(x-2)Tf＇＇＇(x)=e-x(3-x)分两段区间讨论①若x[3,+￥)，可知x1+x2>max{x1,x2}33>2，则x1+x2>21②若x(-￥,3)，f＇＇＇(x)>0，x=1是极大值，符合“大大大”Tx

+x2>2综上知x1+x2>2至此我们回头再看例一和例二的三个解法，不知不觉中对于一开始极值点偏移的问题有了更新的认知。VI.课堂练习巩固双基练习1（2011辽宁卷）已知函数f(x)=lnx-ax2+(2-a)x。（I）讨论函数f(x)的单调性；（II）设a>0，证明当0<x<1时，f(1+x)>f(1-x);aaa（III）若函数y=f(x0)<0。

f(x)的图像与x轴交于A,B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明练习2（2014天津卷）设f(x)=x-aex(aR),xR已知函数y=且x1<x2（1）求a的取值范围（2）证明x2随着a的减小而增大x1（3）证明x1+x2随着a的减小而增大

f(x)有两个零点x1,x2，练习3已知函数f(x)=a-1-lnx,aR.若函数f(x)有两个零点x,x。x12求证x1+x2>212练习4已知函数f(x)=ex-ax有两个不同的零点x,x，其极值点为x0（I）求a的取值范围（II）求证x1+x2