陕西省咸阳市实验中学2024-2025学年高二数学上学期第一次月考试题理含解析

PAGE12-陕西省咸阳市试验中学2024-2025学年高二数学上学期第一次月考试题理（含解析）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先依据已知条件得到，再依次推断选项即可得到答案.【详解】由题知：，对选项A，，故A错误；对选项B，，故B错误；对选项C，，C正确；对选项D，，故D错误.故选：C【点睛】本题主要考查数列的通项公式，属于简洁题.2.在中，角成等差数列，则角的大小为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质求解．【详解】∵成等差数列，∴，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查等差数列的性质，属于简洁题．3.设，则下列不等式中恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据不等式的性质推断．【详解】，则，又，∴，A正确，B错误，当时，，C错，当时，，D错．故选：A．【点睛】本题考查不等式的性质，驾驭不等式的性质是解题关键．4.设，则实数的大小关系（）A. B. C. D.与取值有关【答案】B【解析】【分析】把的表达式配方后可得其取值范围，从而能与比较大小．【详解】，故选：B．【点睛】本题考查两实数的大小比较，二次式可通过配方得出其取值范围．5.已知数列中,，则（）A.18 B.19 C.20 D.【答案】B【解析】【分析】由已知条件确定数列是等差数列，然后由等差数列的通项公式计算．【详解】由得，∴数列是等差数列，公差为2．∴．故选：B．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，驾驭等差数列的基本量法是解题关键．6.在中，若，则A=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理即可得出．【详解】解：，，化为：．．因为．．故选：C．【点睛】本题考查了余弦定理、三角函数的单调性与求值，考查了推理实力与计算实力，属于基础题．7.等比数列的各项均为正数，且，则（）A.12 B.10 C. D.【答案】B【解析】【分析】依据对数运算法则和等比数列性质计算．【详解】∵，∴．故选：B．【点睛】本题考查对数运算法则和等比数列性质，驾驭等比数列性质是解题关键．8.已知等差数列的前项和为，它的前项和为，则前项和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵等差数列的前10项和为30，它的前30项和为210，由等差数列的性质得：S10,S20−S10,S30−S20成等差数列，∴2(S20−30)=30+(210−S20)，解得前20项和S20=100.故选A.9.已知函数，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据分段函数的定义分类解不等式，然后合并．【详解】时，由解得，时，由解得，综上不等式的解为或．故选：D．【点睛】本题考查分段函数，解题时依据分段函数定义分类求解即可．属于基础题．10.在和之间插入个正数，使这数成等比数列，该数列的公比是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知结合等比数列的性质即可干脆求解．【详解】解：设，则，所以，所以．故选：C．【点睛】本题主要考查了等比数列的性质的简洁应用，属于基础题．11.在中，若，则是（）A.直角三角形 B.等边三角形C.钝角三角形 D.等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理将边化角，结合角度范围，即可推断三角形形态.【详解】由正弦定理，即，因为，，，所以，所以是等边三角形.故选：B【点睛】本题考查利用正弦定理将边化角，从而推断三角形的形态，属基础题.12.若两个等差数列、的前项和分别为、,且，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】故选：C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分,共20分).13.在中，已知，则_______.【答案】2【解析】【分析】由正弦定理和比例性质求解．【详解】由正弦定理得．故答案为：2．【点睛】本题考查正弦定理，属于基础题．14.等比数列的第项为_______.【答案】【解析】【分析】由等比数列求出，然后可得第4项．【详解】由题意，解得（时，舍去），∴等比数列的前3项依次为，第4项为．故答案为：．【点睛】本题考查等比数列的定义，等比数列中任何相邻三项都是等比数列，特殊留意等比数列的各项不能为0．15.若不等式对一切恒成立，则的最小值是__________．【答案】.【解析】【分析】分别参数，将问题转化为求函数最大值的问题，则问题得解.【详解】不等式对一切成立，等价于对于一切成立．设，则．因为函数在区间上增函数，所以，所以，所以的最小值为．故答案为：.【点睛】本题考查由一元二次不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题.16.在一个数列中，假如每一项与它的后一项的积为同一个常数，那么这个数列称为等积数列，这个常数称为该数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为，那么这个数列的前项的和为____.【答案】【解析】【分析】由新定义求出数列前几项，得出数列的周期性，然后求和．【详解】由题意，，所以，，，所以数列是周期为2的周期数列，所以．故答案：．【点睛】本题考查数列新定义，解题关键是由新定义计算数列的项，归纳出数列的性质：周期数列，从而易求和．三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.在中,角的对边分别是求证：.【答案】证明见解析.【解析】【分析】用向量的数量积计算，由，应用数量积运算律绽开变形可得．【详解】证明：,即．【点睛】本题考查平面对量数量积的应用，应用数量积证明余弦定理．解题方法是由向量减法运算得，平方后再变形．18.关于的不等式解集为，解关于不等式【答案】.【解析】【分析】由不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出、、的关系，代入不等式中，化简求解即可．【详解】解：依题意知,和是方程两根,易得于是不等式,即整理得解得【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了运算求解实力，属于基础题．19.已知圆内接四边形中，则四边形的面积为.【答案】【解析】【详解】连接BD,圆内接四边形对角互补，，利用余弦定理,得,∴,四边形面积.故答案为：.20.已知数列满意,，求数列的通项公式和前项和为.【答案】，【解析】【分析】（1）时可得，时，已知式中用替换，得，两式相减可得，然后写出通项公式．验证是否相符．（2），时，中从到的和用等比数列的前项和公式计算．验证是否相符．【详解】解:(1)当时,，解得；当时,两式相减得综上得（2）明显；当时,综上得【点睛】本题考查求数列的通项公式与前项和，求数列通项公式方法是类比已知求的方法，求和方法是分类探讨，分组求和．21.在中,角的对边分别是已知的面积为.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）已知条件即为，由正弦定理化边为角后即可得结论；（2）由（1）可求得，从而可得，得角，然后代入已知得，再由余弦定理可求得，从而得周长．【详解】解:（1）依题意，,即由正弦定理得，即（2）由题设及（1）得可得由题设得，即由余弦定理得，得所以．【点睛】本题考查主要正弦定理和余弦定理，用正弦定理进行边角转换是解题的关键．22.已知数列的前项和为其中.（1）证明:数列是等比数列；（2）若，求.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）首先