山东省临沂市2024-2025学年高二数学下学期期末考试试题

PAGEPAGE17山东省临沂市2024-2025学年高二数学下学期期末考试试题一、选择题（共8小题）.1．已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为（2，1），（1，b），若z1z2是纯虚数，则b＝（）A．2 B． C．﹣ D．﹣22．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝3﹣x B．y＝logx C．y＝ D．y＝3．现有4名同学去听同时进行的3个课外学问讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（）A．24 B．64 C．81 D．484．5G指的是第五代移动通信技术，是最新一代蜂窝移动通信技术．某公司研发5G项目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，已知甲部门攻克该技术难题的概率为0.8，乙部门攻克该技术难题的概率为0.7，则该公司攻克这项技术难题的概率为（）A．0.56 B．0.86 C．0.94 D．0.965．若2，则实数a，b，c之间的大小关系为（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞a＞c6．随机变量ξ的分布列如表：ξ﹣101Pab若E（ξ）＝0，则D（ξ）＝（）A． B． C． D．7．设函数f（x）＝﹣cosx﹣x4的导函数为g（x），则|g（x）|的图象大致为（）A． B． C． D．8．已知某公司生产的一种产品的质量（单位：千克）听从正态分布N（90，64），现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在区间（82，106）内的产品估计有（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545．A．8718件 B．8772件 C．8128件 D．8186件二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．某旅游景点2024年1月至9月每月最低气温与最高气温（单位：℃）的折线图如图，则（）A．1月到9月中，最高气温与最低气温相差最大的是4月 B．1月到9月的最高气温与月份具有比较好的线性相关关系 C．最高气温与最低气温的差逐步减小 D．最低气温与最高气温间存在较好的正相关关系10．下列结论正确的是（）A．已知相关变量（x，y）满意同归方程，则该方程相应于点（2，29）的残差为1.1 B．在两个变量y与x的回来模型中，用相关指数R2刻画回来的效果，R2的值越大，模型的拟合效果越好 C．若复数z＝1+i，则||＝2 D．若命题p：∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≥011．已知函数f（x）在R上单调递增，且f（1+x）+f（1﹣x）＝0，f（2）＝1，则（）A．f（x）的图象关于点（1，0）对称 B． C． D．不等式f2（x）＞1的解集为（﹣∞，0）∪（2，+∞）12．已知函数f（x）＝，下列结论正确的是（）A．若f（a）＝1，则a＝3 B． C．若f（a）≥2，则a≤﹣1或a≥5 D．若方程f（x）＝k有两个不同的实数根，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2+x，则f（﹣1）＝．14．在含有3件次品的20件产品中，任取2件，则取到的次品数恰有1件的概率是．15．已知的绽开式各项系数之和为64，则绽开式中第五项的二项式系数是，绽开式中x2的系数是．16．若函数f（x）＝x3﹣ax﹣2（a∈R）在（﹣∞，0）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，2]上的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数的定义域为集合A，又集合B＝{x|x2≤16}，C＝{x|3x+m＜0}．（1）求A∩B，∁R（A∪B）；（2）若x∈C是x∈A的必要条件，求m的取值范围．18．在①f（x）+f（﹣x）＝0，②f（x）﹣f（﹣x）＝0，③f（﹣2）＝﹣f（2）这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答．已知函数满意____．（1）求a的值；（2）若函数，证明：．19．近日，高人气“网红”纷纷为湖北“带货”，助力湖北农产品销售，多家线上购物平台联合媒体共同发起“为湖北拼单”活动，提倡消费者购买湖北滞销农产品．某电商平台为某农产品公司的滞销产品开设直播带货专场，为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据：单价x（元/件）98.88.68.48.28销量y（万件）687580838490（1）依据以上数据，求y关于x的线性回来方程；（2）若单价定为7.4元，试预料一场直播带货销量能否超过100万件？参考公式：，其中．＝，＝﹣．20．已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣ax的图象在x＝2处的切线与直线2x+3y+1＝0平行．（1）求a的值；（2）若关于x的方程在区间[1，3]上有两个不相等的实数根，求m的取值范围．21．2024年1月1日，“学习强国”学习平台在全国上线，该平台是由中共中心宣扬部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员，面对全社会的优质平台，“学习强国“平台从2月10日起推出了同上一堂课《名著导读课》直播课堂，某学校为调研《名著导读课》的观看状况，在高二、高三两个年级中随机抽取了200名学生进行调研，其中高二学生占，其他相关数据如表：观看《名著导读课》节数超过5节不超过5节合计高二年级90高三年级45合计200（1）请补填表中的空缺数据，并依据表中数据，推断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“观看节数是否超过5节”与“学生所在年级”有关；（2）以频率估计概率，若在该校高二学生中随机抽取4名学生做学习阅历介绍，记观看《名著导读课》节数超过5节的人数为X，求X的分布列和数学期望．附．P（K2≥k）0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82822．已知函数．（1）探讨f（x）的单调性；（2）已知λ＞0，若关于x的不等式f（eλx）lnx≥x2﹣1在区间（1，+∞）上恒成立，求λ的取值范围．

参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为（2，1），（1，b），若z1z2是纯虚数，则b＝（）A．2 B． C．﹣ D．﹣2【分析】由题意可得：z1＝2+i，z2＝1+bi，计算z1z2，依据纯虚数的定义即可得出．解：由题意可得：z1＝2+i，z2＝1+bi，若z1z2＝（2+i）（1+bi）＝2﹣b+（1+2b）i为纯虚数，则2﹣b＝0，1+2b≠0，解得b＝2．故选：A．2．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝3﹣x B．y＝logx C．y＝ D．y＝【分析】依据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．解：依据题意，依次分析选项：对于A，y＝3﹣x＝（）x，为指数函数，在R上为减函数，不符合题意；对于B，y＝logx，为对数函数，在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；对于C，y＝＝，为幂函数，在（0，+∞）上为增函数，符合题意；对于D，y＝，为反比例函数，在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；故选：C．3．现有4名同学去听同时进行的3个课外学问讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（）A．24 B．64 C．81 D．48【分析】4名同学去听同时进行的3个课外学问讲座，事实上是有4个人选择座位，且每人有3种选择方法，依据分步计数原理得到结果．解：∵每位同学均有3种讲座可选择，∴4位同学共有3×3×3×3＝81种，故选：C．4．5G指的是第五代移动通信技术，是最新一代蜂窝移动通信技术．某公司研发5G项目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，已知甲部门攻克该技术难题的概率为0.8，乙部门攻克该技术难题的概率为0.7，则该公司攻克这项技术难题的概率为（）A．0.56 B．0.86 C．0.94 D．0.96【分析】设事务A表示“甲部门攻克该技术难题”，事务B表示“乙部门攻克该技术难题”，则P（A）＝0.8，P（B）＝0.7，该公司攻克这项技术难题的概率为：P＝1﹣（1﹣P（A））（1﹣P（B）），由此能求出结果．解：某公司研发5G项目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，设事务A表示“甲部门攻克该技术难题”，事务B表示“乙部门攻克该技术难题”，P（A）＝0.8，P（B）＝0.7，则该公司攻克这项技术难题的概率为：P＝1﹣（1﹣P（A））（1﹣P（B））＝1﹣0.2×0.3＝0.94．故选：C．5．若2，则实数a，b，c之间的大小关系为（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞a＞c【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵，∴a＞2，∵，∴0＜b＜1，∵，∴1＜c＜2，∴a＞c＞b，故选：A．6．随机变量ξ的分布列如表：ξ﹣101Pab若E（ξ）＝0，则D（ξ）＝（）A． B． C． D．【分析】利用分布列，以及期望，求解a，b，然后求解方差即可．解：，解得b＝，a＝；则D（ξ）＝＝．故选：A．7．设函数f（x）＝﹣cosx﹣x4的导函数为g（x），则|g（x）|的图象大致为（）A． B． C． D．【分析】先求导依题意可得g（x）＝sinx﹣4x3，易推断函数g（x）为奇函数，函数|g（x）|为偶函数，进而依据奇偶性的性质，结合选项得解．解：f′（x）＝sinx﹣4x3，故g（x）＝sinx﹣4x3，易知函数g（x）为奇函数，其图象关于原点成中心对称，而函数|g（x）|为偶函数，其图象关于y轴对称，故选项BC错误；又因为其图象过原点O，所以选项A错误．故选：D．8．已知某公司生产的一种产品的质量（单位：千克）听从正态分布N（90，64），现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在区间（82，106）内的产品估计有（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545．A．8718件 B．8772件 C．8128件 D．8186件【分析】产品的质量X（单位：千克）听从正态分布N（90，64），所以μ＝90，σ＝8，P（82≤X＜106）＝P（μ﹣σ≤X＜μ+2σ），代入计算即可．解：依题意，μ＝90，σ＝8，∴P（82≤X＜106）＝0.9545﹣＝0.8186，∴质量在区间（82，106）内的产品估计有10000×0.8186＝8186件，故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．某旅游景点2024年1月至9月每月最低气温与最高气温（单位：℃）的折线图如图，则（）A．1月到9月中，最高气温与最低气温相差最大的是4月 B．1月到9月的最高气温与月份具有比较好的线性相关关系 C．最高气温与最低气温的差逐步减小 D．最低气温与最高气温间存在较好的正相关关系【分析】依据所给统计图逐一分析即可解：由图得1月到9月中，最高气温与最低气温相差最大的是1月，最高气温与最低气温的差有增有减，故AC错误；由图还可得1月到9月的最高气温与月份具有比较好的线性相关关系且最低气温与最高气温间存在较好的正相关关系，故BD正确；故选：BD．10．下列结论正确的是（）A．已知相关变量（x，y）满意同归方程，则该方程相应于点（2，29）的残差为1.1 B．在两个变量y与x的回来模型中，用相关指数R2刻画回来的效果，R2的值越大，模型的拟合效果越好 C．若复数z＝1+i，则||＝2 D．若命题p：∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≥0【分析】利用回来直线方程求出x＝2时的估计值，然后求解残差，推断A；利用相关指数推断拟合效果推断B；复数的模推断C；命题的否定推断D．解：对于A，由题意，方程，x＝2时，＝27.9，∴相应于点（2，29）的残差为29﹣27.9＝1.1，所以A正确；对于B，在两个变量y与x的回来模型中，用相关指数R2刻画回来的效果，R2的值越大，模型的拟合效果越好，正确；对于C；复数z＝1+i，则||＝，所以C不正确；对于D，命题p：∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≥0，满意命题的否定形式，所以D正确；故选：ABD．11．已知函数f（x）在R上单调递增，且f（1+x）+f（1﹣x）＝0，f（2）＝1，则（）A．f（x）的图象关于点（1，0）对称 B． C． D．不等式f2（x）＞1的解集为（﹣∞，0）∪（2，+∞）【分析】依据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案．解：依据题意，依次分析选项：对于A，函数f（x）满意f（1+x）+f（1﹣x）＝0，即f（1+x）＝﹣f（1﹣x），则f（x）的图象关于点（1，0）对称，A正确；对于B，函数f（x）满意f（1+x）+f（1﹣x）＝0，令x＝可得f（）+f（）＝0，又由f（x）在R上单调递增，则f（）＜f（），则有f（）+f（）＜0，B错误；对于C，函数f（x）满意f（1+x）+f（1﹣x）＝0，令x＝可得f（）+f（）＝0，又由f（x）在R上单调递增，则f（）＜f（），则有f（）+f（）＞0，C正确；对于D，函数f（x）满意f（1+x）+f（1﹣x）＝0，令x＝1可得：f（2）+f（0）＝0，则有f（0）＝﹣1，不等式f2（x）＞1即f（x）＞1或f（x）＜﹣1，则有x＜0或x＞2，即不等式f2（x）＞1的解集为（﹣∞，0）∪（2，+∞），D正确；故选：ACD．12．已知函数f（x）＝，下列结论正确的是（）A．若f（a）＝1，则a＝3 B． C．若f（a）≥2，则a≤﹣1或a≥5 D．若方程f（x）＝k有两个不同的实数根，则【分析】干脆依据其解析式对选项逐个进行分析即可．解：因为函数f（x）＝，∴f（）＝log2（﹣1）＝log2；故f（f（））＝＝（）＝2024；故B对；故当a＞1时，f（a）＝1＝log2（a﹣1）⇒a＝3成立；当a≤1时，f（a）＝1＝（）a⇒a＝﹣1成立；故A错；当a＞1时，f（a）＝log2（a﹣1）≥2⇒a≥5；当a≤1时，f（a）＝（）a≤2⇒a≤﹣2；故C对；当x＞1时，f（x）＝log2（x﹣1）∈R；当x≤1时，f（x）＝1＝（）x；故若方程f（x）＝k有两个不同的实数根，则k；即D错；故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2+x，则f（﹣1）＝﹣2．【分析】依据函数奇偶性的性质进行转化即可得到结论．解：∵f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2+x，∴f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（1+1）＝﹣2，故答案为：﹣214．在含有3件次品的20件产品中，任取2件，则取到的次品数恰有1件的概率是．【分析】基本领件总数n＝＝190，取到的次品数恰有1件包含的基本领件个数m＝＝51，由此能求出取到的次品数恰有1件的概率．解：在含有3件次品的20件产品中，任取2件，基本领件总数n＝＝190，取到的次品数恰有1件包含的基本领件个数m＝＝51，则取到的次品数恰有1件的概率p＝．故答案为：．15．已知的绽开式各项系数之和为64，则绽开式中第五项的二项式系数是15，绽开式中x2的系数是1215．【分析】先令x＝1，依据系数和为64，求出n的值．然后写出通项，分别求出第五项的二项式系数，x2的系数．解：令x＝1，可得（3﹣1）n＝64，解得n＝6．故绽开式的通项为＝．当k＝4时，可得第五项的二项式系数为；令6﹣2k＝2，得k＝2，故x2的系数为．故答案为：15，1215．16．若函数f（x）＝x3﹣ax﹣2（a∈R）在（﹣∞，0）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，2]上的最小值为﹣4．【分析】求出原函数的导函数，可得当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，结合f（0）＝﹣2＜0，可得f（x）在（﹣∞，0）上没有零点；当a＞0时，求出导函数的零点，对函数定义域分段，由导函数的符号可得原函数的单调性，由题意可得f（）＝0，解得a＝3，代入原函数的解析式，再由导数求函数在[﹣1，2]上的最小值．解：∵f（x）＝x3﹣ax﹣2（a∈R），∴f′（x）＝3x2﹣a（x＜0），①当a≤0时，f′（x）＝3x2﹣a＞0，函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，又f（0）＝﹣2＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上没有零点；②当a＞0时，由f′（x）＝3x2﹣a＞0，解得x＜或x＞（舍）．∴f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递增，在（，0）上单调递减，而f（0）＝﹣2＜0，要使f（x）在（﹣∞，0）内有且只有一个零点，∴f（）＝，解得a＝3，f（x）＝x3﹣3x﹣2，f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1），x∈[﹣1，2]，当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．又f（﹣1）＝0，f（1）＝﹣4，f（2）＝0，∴f（x）min＝f（1）＝﹣4．故答案为：﹣4．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数的定义域为集合A，又集合B＝{x|x2≤16}，C＝{x|3x+m＜0}．（1）求A∩B，∁R（A∪B）；（2）若x∈C是x∈A的必要条件，求m的取值范围．【分析】（1）求出集合A，集合B，由此能求出A∩B，A∪B，进而能求出∁R（A∪B）．（2）求出集合C，由x∈C是x∈A的必要条件，得A⊆C，由此能求出m的取值范围．解：（1）∵函数的定义域为集合A，∴A＝{x|}＝{x|﹣6≤x＜3}，集合B＝{x|x2≤16}＝{x|﹣4≤x≤4}，A∩B＝{x|﹣4≤x＜3}，A∪B＝{x|﹣6≤x≤4}，∴∁R（A∪B）＝{x|x＜﹣6或x＞4}．（2）C＝{x|3x+m＜0}＝{x|x＜﹣}，∵x∈C是x∈A的必要条件，∴A⊆C，∴﹣，解得m≤﹣9．∴m的取值范围是（﹣∞，﹣9]．18．在①f（x）+f（﹣x）＝0，②f（x）﹣f（﹣x）＝0，③f（﹣2）＝﹣f（2）这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答．已知函数满意____．（1）求a的值；（2）若函数，证明：．【分析】（1）分别代入①②③进行验证求解即可得到a；（2）依据（1）得到g（x），则可表示出g（x2﹣x）＝﹣（x﹣）2+，即可证明．解：（1）选①：因为f（x）+f（﹣x）＝0，所以+＝0，解得log2a＝0，故有a＝1；选②：无法求出a；选③：因为f（﹣2）＝﹣f（2），所以＝﹣，解得a＝1；（2）证明：由（1）知f（x）＝，所以g（x）＝＝1﹣x，则g（x2﹣x）＝1﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+≤．19．近日，高人气“网红”纷纷为湖北“带货”，助力湖北农产品销售，多家线上购物平台联合媒体共同发起“为湖北拼单”活动，提倡消费者购买湖北滞销农产品．某电商平台为某农产品公司的滞销产品开设直播带货专场，为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据：单价x（元/件）98.88.68.48.28销量y（万件）687580838490（1）依据以上数据，求y关于x的线性回来方程；（2）若单价定为7.4元，试预料一场直播带货销量能否超过100万件？参考公式：，其中．＝，＝﹣．【分析】（1）依据表中数据计算、，求出回来系数，写出线性回来方程；（2）计算单价定为7.4元的值即可．解：（1）依据表中数据，计算＝×（9+8.8+8.6+8.4+8.2+8）＝8.5，＝×（68+75+80+83+84+90）＝80，计算（xi﹣）（yi﹣）＝（9﹣8.5）×（68﹣80）+（8.8﹣8.5）×（75﹣80）+（8.6﹣8.5）×（80﹣80）+（8.4﹣8.5）×（83﹣80）+（8.2﹣8.5）×（84﹣80）+（8﹣8.5）×（90﹣80）＝﹣14，＝（9﹣8.5）2+（8.8﹣8.5）2+（8.6﹣8.5）2+（8.4﹣8.5）2+（8.2﹣8.5）2+（8﹣8.5）2＝0.7，所以＝＝＝﹣20，＝﹣＝80+20×8.5＝250，所以y关于x的线性回来方程为＝﹣20x+250；（2）若单价定为7.4元，则＝﹣20×7.4+250＝102＞100，所以若单价定为7.4元，一场直播带货销量能超过100万件．20．已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣ax的图象在x＝2处的切线与直线2x+3y+1＝0平行．（1）求a的值；（2）若关于x的方程在区间[1，3]上有两个不相等的实数根，求m的取值范围．【分析】（1）先对f（x）求导，然后依据函数f（x）的图象在x＝2处的切线与直线2x+3y+1＝0平行，得到f′（2）＝﹣a﹣，再求出a的值；（2）依据条件，可得m＝3ln（x+1）﹣x，令g（x）＝3ln（x+1）﹣x，然后推断g（x）的单调性，求出g（x）的最大值，再结合条件求出m的取值范围．解：（1）由f（x）＝ln（x+1）﹣ax，得，∵函数f（x）的图象在x＝2处的切线与直线2x+3y+1＝0平行，∴，∴a＝1．（2）由（1）知，f（x）＝ln（x+1）﹣x，∴由，得m＝3ln（x+1）﹣x，令g（x）＝3ln（x+1）﹣x，则，∴当1⩽x＜2时，g'（x）＞0；当2＜x⩽3时，g'（x）＜0，又g'（2）＝0，∴g（x）在（1，2）上单调递增，在（2，3）上单调递减，∴g（x）max＝g（2）＝3ln3﹣2，∵g（1）＝3ln2﹣1，g（3）＝3ln4﹣3，∴g（1）﹣g（3）＝（3ln2﹣1）﹣（3ln4﹣3）＝2﹣3ln2＝，由，得g（1）﹣g（3）＜0，g（1）＜g（3），∴m的取值范围为[3ln4﹣3，3ln3﹣2）．21．2024年1月1日，“学习强国”学习平台在全国上线，该平台是由中共中心宣扬部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员，面对全社会的优质平台，“学习强国“平台从2月10日起推出了同上一堂课《名著导读课》直播课堂，某学校为调研《名著导读课》的观看状况，在高二、高三两个年级中随机抽取了200名学生进行调研，其中高二学生占，其他相关数据如表：观看《名著导读课》节数超过5节不超过5节合计高二年级90高三年级45合计200（1）请补填表中的空缺数据，并依据表中数据，推断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“观看节数是否超过5节”与“学生所在年级”有关；（2）以频率估计概率，若在该校高二学生中随机抽取4名学生做学习阅历介绍，记观看《名著导读课》节数超过5节的人数为X，求X的分布列和数学期望．附．P（K2≥k）0.1000.0500.0100.001k2.706