2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习4.1二项式定理的推导

2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册

§4二项式定理

4.1二项式定理的推导

基础过关练

题组一对二项式定理的理解

1.(a+b)2n(n£N+)的展开式的项数是()

A.2nB.2n+l

C.2n-lD.2(n+l)

2.设S=(x-l)3+3(x-l)2+3(x-l)+l,则S等于()

A.(x-1)3B.(x-2)3

C.x3D.(x+1)3

3.设A=37+C^X35+第X3，。X3,B=GX3,+废X3,+俏X32+l,则A-B的值为

()

A.128B.129C.47D.0

4.用二项式定理展开(1.

题组二求二项展开式的特定项、项的系数及二项式系数

5.(2021北京顺义二模)在(x-或T的展开式中,Y的系数为()

A.-40V2B.40V2C.-40D.40

6.(2020湖南岳阳期末)若(x-盘/的展开式的常数项为60,则实数a的值为(

A.4B.2C.8D.6

7.(2020四川绵阳中学线上学习评估)(2x+a)5(其中a#0)的展开式中,x?的系数

与x3的系数相同,则实数a的值为()

A.±-1B.1iC.-2D.2

22

8.（2021天津河西期末乂x-》n的展开式中,第3项的二项式系数比第2项的二项

式系数大9,则该展开式中的常数项为（）

A.-160B.-80C.80D.160

9.（2020辽宁大连一模*x+2y7的展开式中x2y4的系数为.

10.（2021福建泉州十一中等六校期末）已知（x+由）n的展开式中，前三项的二项

式系数之和为37.

⑴求n的值；

⑵求展开式中用勺系数.

X

题组三赋值法求系数和

11.（2020山东济宁质检）若（xJ）n（n£N+）的展开式的第3项的二项式系数是15,

则展开式的所有项系数之和为（

12.（2020山东烟台栖霞一中月考）设（1-3x）9=a°+aix+a2x2+…+a9X*则

Ia。|+1ai|+1a?|+…+1a（）|的值为（）

A.29B.49C.39D.59

13.（2020陕西宝鸡模拟）若©-3yy（n£N+）的展开式的各项系数之和为32,则

展开式中x的系数为.

能力提升练

题组一多项式展开式中的特定项及项的系数

1.（2020湖南师大附中月考）3+2乂Ml7的展开式的常数项是（）

A.-3B.-2

C.2D.3

2.（2020山东枣庄第三中学月考）在（1+x+篇）1°的展开式中,X?的系数为

（）

A.30B.45C.60D.90

3.（2020陕西榆林二中月考）若+1）8（ax-l）的展开式中含4的项的系数为

21,则实数a的值为（）

A.3B.-3C.2D.-2

829

4.（2020辽宁沈阳二中月考）已知x（x-2）=a0+ai（x-1）+a2（x-1）+,•,+a9（x-1）,贝

26=（）

A.-28B.-448C.112D.448

题组二赋值法求与系数有关的问题

67

5.(2020山东济南一中月考)已知(1+x)(a-x)=a0+aix+---+a7x,若ao+ai+---+a7=O,

则a3=()

A.-5B.-20C.15D.35

io210

6.(多选)(2020山东济南期末)若(2x-l)=ao+aix+a2x+---+aiox,xwR,则()

A.a2=180

10

B.|a01+II+I&21+,■,+Iai01=3

C.@[+@2+°••+@10=1

D匣+也+匣+…+%=-1

*22223210

8

7.(2020湖南长沙长郡中学月考)设0+1)•(4x-2)=ao+ai(2x-l)+a2(2x-

10

]尸+…+aio.(2x-l),贝I]ai+a2+--+aio=.

3528

8.(x-3)(2x+l)=a0+aix+a2X+---+a8x,贝I]a0=,ao+a2+---+a8=.

9.(2020广东盐田深圳外国语学校月考《-4y+2了的展开式中,不含x的各项

系数之和为.

_n23n

10.已知然二56。二，H(l2x)=ao+aix+a2x+a3x+---+anx.

(1)求n的值；

题组三二项式定理的应用

11.（2020湖南衡阳期末）1.95,的计算结果精确到个位的近似值为（）

A.106B.107

C.108D.109

12.1-90盘0+9（）2弓）-903仃0+-+901°盘（?除以88的余数是（）

A.2B.1C.86D.87

答案与分层梯度式解析

基础过关练

1.B根据二项式定理可知,展开式共有(2n+l)项.

2.CS=(x-l)3+3(x-l)2+3(x-1)+1

=Cg(x-l)3+C^(x-l)2+C^(x-l)+C1

=[(x-D+l]3=x3.

3.AA-B=C?X3-C^X36+C^X35-C^X34+第X3-©X3Z+C^X3-C5X3-(3-

1)7=27=128.

4.答案1+*+持+2+3

XX5X4

44641

解析解法一:。+Ac哨°+禺G）*xG）=1+-+—.

XX2X3%4

解法二：(1+1)4=G)4(X+1)4

=Q)4(Cjx^Cjx^Ci^+C^x^Clx0)

=1+-+—.

XX2X3X4

5.A(%-鱼)6的展开式的通项为Tr+kCNx'F•(-V2)r,令6-r=3,解得r=3,贝ljx3的

系数为髭(-鱼)二-40VI故选A.

6.A(%-察)6的展开式的通项为J尸禺1)「祓玛令6-3r=0,解得

r=2,则常数项为(T)2a髭=60,解得a=4.故选A.

5r5-r

7.D(2x+a)5的展开式的通项为Tr+1=C^(2x)^a=2^aC^x.

因为x2的系数与r的系数相同,所以22a3ct23a2釐，即4a3=8a2,又a#0,所以a=2.

故选D.

8.A由第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9,得鬣-禺=9,1122,n£N+,

6rr

解得n=6.(%-/的展开式的通项为Tr+1=C^x^-|)=(-2)-CQ,令6-2r=0,解

3

得r=3.当r=3时,取得常数项T4=(-2)Ci=-160.故选A.

9.答案60

解析Qx+2y7的展开式的通项为0尸品-Qx)6-r(2y)r=22r-6C^x6-y.

2424

令r=4,得T5=60xy.故xy的系数为60.

1。.解析(1)由题意得Cg+C3鬣=37,n22,n£N,

即l+n+*2=37,所以n=8.

⑵当n=8时,(％+全『的展开式的通项为几+1=慧婷(泰小魔Q)\84,

令*一竽解得k=6,

故展开式中1的系数为心6)6噂

11.B由题意知髭=智卫=15,解得n=6或n=-

得所有项系数之和为念

12.B易得（「3x）9的展开式的通项为L+-Cr（_3）Y,.-.a0）a2,a4,a6,as为正

数,3i,a3,as,a7,ag为负数,

?.|ao|+|ail+|a2|+'"+|a9

二a。一@3+•**+@8一a9，

令x=-l,得（］+3）9=a（）_ai+a2_a3+…+28_29=4:

|ao|+|ail+，"+|a9l=49.

13.答案2025

解析依题意,令x=l,得（5-3）三32,解得n=5,则该式为停-3⑸1其展开式的通

©5-r13r

（-3%2）^55r•（-3）r-

令,-5=1,得r=4,所以x的系数为55-4X（-3）4XCf=2025.

能力提升练

皿（：+2啰-1）。（妥一1）%&一1）二

kk2k10

（妥-17的展开式的通项为Tk+1=Cg•（2广匚（-l）=（-l）Cgx-,令2k-10=0,得

k=5,所以（2-1了的展开式的常数项为令2k-10=-2,得k=4,所以

的展开式中含1项系数为（-1”禺=5,所以

（X2+2）RR'（妥-1）+2（2-1）的展开式的常数项是5+2X（-1）=3,故选D.

易错警示（1）二项式定理的核心是通项，求解此类问题可以分两步完成：第一步,

根据所给出的条件（特定项）和通项，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式

系数中n和r的隐含条件，即n,r均为非负整数,且n^r）;第二步，根据所求的指

数求所求解的项.

(2)求两个多项式的积的特定项，可通过化简或利用分类加法计数原理讨论

求解.

2.B(1+%+而的展开式的通项为Tr+1=C[0•(%+康)1rW10,rWN.

(%+的展开式的通项为Tk+尸邙x"加,女★心k£N,令r-2021k=2,可得

r=2+2021k,只有k=0,r=2满足题意,故x?的系数为釐°XC户45,故选B.

3.A+/)8的展开式的通项为尸最(«产・OO卡•

令等三,得r=3;令手W得「掷,舍去，

乙乙乙乙。

所以+3%xT)的展开式中含小的项的系数为GY喘a=7a,所以7a=21,得

a=3.故选A.

4.A由x(x-2)8=[(x-l)+l][(x-l)-1厂知,

当第一个因式取(x-1)时,第二个因式取/(xT),(-1)3,其系数为-56,

当第一个因式取1时，第二个因式取第(x-•(TV,其系数为28,

故a6=-56+28=-28.故选A.

5.A由题意，令x=l,可得a()+ai+…+a7=(l+l)(aT)6=2X(aT)6=0,.♦.a=l,

/.(1+x)(a-x)6=(l+x)(1-x)6=(1-x)6+x(1-x)6,

•••展开式中x3的系数为髭(-1)3+C2(-1)2=-20+15=-5,故选A.

6.ABD因为Qx-l)"的展开式的通项为kq。•(2x).所以

2

T9=Cf0(2x)X(一1)J180X2,所以a2=180,故A正

10210

(2x+l)=|a01+1ai|x+1a21x+---+1ai01x,令x=l,得|a。|+1a1|+1a?|+…+1a”|=31°,

故B正确.令x=0,得a0=l,令x=l,得a0+ai+a2+---+ai0=l,所以ai+a2+---+ai0=0,故C

错误.令xj,得如+?+导詈+…+翳=0,所以？+导詈+.••+翳故D正确.

222，2±u22/2，2±u

7.答案512

28210

解析V(x+l)(4x-2)=a0+ai(2xT)+a2(2x-l)+---+ai0(2x-l),

89

.•.令x=l,得(1+1)X(4Xl-2)=a0+a1+a2+-+a10=2,令x=1,得g+1)X(4X

1、8

--2J=a()=0,

ai+a2+,•,+aio=29-O=512.

8.答案-27;-940

3

解析令x=0,得(-3)=a0,所以a0=-27.

令x=l,得(-2)3><35=ao+ai+a2+…+酶①

5

令x=_],得(_4”X(-1)=a0-ai+a2—+a8,②

,,

①+②得2(ao+a2+'+a8)=-1880,

a()+a2+…+28=-940.

9.答案256

解析(：-4y+2)=1+(―4y+2)]的展开式的通项为Tr+i=C&0>(_4y+2)\

©8—8