2023北师大版新教材高中数学选择性必修第二册同步练习

2023北师大版新教材高中数学选择性必修第二册

第一章数列

§1数列的概念及其函数特性

1.1数列的概念

1.2数列的函数特性

基础过关练

题组一对数列概念的理解

1.（2022河南南阳月考）下列有关数列的说法正确的是（）

A.同一数列的任意两项均不可能相同

BWJ-1,0,1与数列L0/l是同一个数列

C.数歹I」1,357可表示为｛135,7｝

D.数列中的每一项都与它的序号有关

2.（多选）下列说法正确的是（）

A.数列L2,3,4,…,n是无穷数列

B.数歹i」｛2n+l｝的第6项是13

C.若用图象表示数列，则图象是一群孤立的点

D.数列的项数一定是无限的

题组二数列的通项公式及其应用

0

3.已知数列&｝的通项公式为anU+（-2n1n£N+,则该数列的前4项依次为

（）

A.1,0,1,0B.0,1,0,1

段,0,初D.2,0,2,0

（3n+1,九为奇数，

4.数列同｝的通项公式为an=其中n£N+厕a2a3=（)

2n-2,n为偶数,

A.70B.28C.20D.8

5.（2022山东聊城期末）数列刹…的通项公式可能是（）

B-1尸白

C.an=(-l)n4；D.an=(-l)nTT

n+2n+2

6.(2020山东荷泽期中)已知数列1,8,强夕，…，师I若3芯是这个数列的第m

项厕m=()

A.20B.21C.22D.23

7.(2022山东济宁邹城期中)九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它

由九个铁丝圆环相连成串按一定规则移动圆环的次数,决定解开圆环的个数.在某

种玩法中，用an表示解下n(nw9,n£N+)个圆环最少需要移动的次数，数列&｝满

(2an-l,n为奇数，

足ai=l,Sai=<(nw8,n£N+),则解下5个圆环最少需要移

n+(2册+2,n为偶数

动的次数为()

A.7B.10

C.16D.31

8.(2022浙东北联盟期中)分形几何学是数学家伯努瓦•曼德尔布罗在20世纪70

年代创立的一门新的数学学科,它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了

全新的思路.按照图1所示的分形规律可得图2所示的一个树形图.若记图2中第

n行黑圆的个数为则a5=()

第

1行

•2

行

O第

O

行

第

3

9.写出下列各数列的一个通项公式:

(1)4,6,8,10,...;

371531.

⑶-琮,一尊・.；

(4)5,55,555,5555,....

10.在数列｛an｝中,ai=2,ai7=66,其通项公式是关于n的一次函数.

⑴求数列同｝的通项公式；

（2）求32020；

（3）2020是不是数列｛an｝中的项？

题组三数列的函数特性

11.（2022河北邢台期末）下列通项公式表示的数列中，是递增数列的是（）

A.an=l-nB.an二审

2

C.an=2n2-5n+lD.an=^^f

12.已知数列｛an｝满足ai>0,San+i=后an（n£N+）,则数列俑｝的最大项是（）

A.aiB.ag

C.aioD.不存在

13.已知an=-2n2+9n+3厕数列｛an｝中的最大项为（）

A.10B.13C.12D.14

14.已知数列&｝的通项公式为an=4n-102,则从第项开始，数列中的项

都大于零.

15.（2020湖北武汉外国语学校期中）已知数列｛ri2+入n+入｝是递增数列厕实数A

的取值范围为

16.已知2仔=詈6£7+）,则数列｛an｝中有没有最大项?如果有，求出最大项;如果

没有,请说明理由.

能力提升练

题组一数列的通项公式及其应用

1.（2020天津静海一中期中）设an=m+J+』+.•.+=（n£N+）,那么ai-a^

n+ln+2n+32nn+n

于（）

A-1—Bi—

2n+l2n+2

l1,1cl1

'2n+l+2n+2'2n+l~2n+2

2.（多选）（2022湖南长沙长郡中学期末）数列0,10-1,0,1。；,…的一个通项公式

是an=（）

A.sin用B.cos^

22

C.cos^^D.cos^^

22

3.（多选）（2022河北保定部分学校月考）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算

法•商功》中出现了类似下图所示的形状，后人称之为"三角垛"."三角垛"的最

上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……,以此类推•设从上到下各层

球数构成数列｛an｝,则（）

A.34=9

B.an+i-an=n+l,nGAJ+

C.320=210

D.成+i=anan+2,n£N+

4.（2021湖北期末联考）1766年彳惠国有一位名叫提丢斯的中学数学老师把数列

0,3,6,12,24,48,96,…经过一定的规律变化彳导到新数歹I」04071,1.628,5210，…,

科学家发现，新数列的前几项恰好为太阳系各行星与太阳之间的平均距离，并据此

发现了"天王星""谷神星"等行星，这个新数列就是著名的"提丢斯-波得定

则"根据规律新数列的第8项为（）

A.14.8B.19.2

C.19.6D.20.4

5.设数列｛an｝的通项公式为an=*，要使它的前n项的乘积大于36,则n的最小

值为（）

A.6B.7C.8D.9

6.已知数列｛an｝的通项公式是2R嗡平.

Q）判断喘是不是数列｛an｝中的项；

⑵试判断数列｛an｝中的各项是否都在区间（0,1）内；

（3）试判断在区间弓,|）内是否有数列｛而｝中的项.若有，是第几项?若没有，请说明理

由.

题组二数列的函数特性

7.(2021北东帝有期末)右数列｛an｝中,ai=La2=2,an+i=an-an-i(n22币£N+),则32

019=()

A.-2B.-1

C.lD.2

2CLyifCLy-iE彳，n

721al=|,则

2a--,a>-,

｛nn

下列数是数列｛an｝中的项的为（）

9.（2020辽宁沈阳东北育才中学期中）已知数列同｝的通项公式为

an=舄■茄（n£N+），且数列&｝从第n项起单调递减，则n的值为（）

A.llB.12

C.13D.10

10.（2020山东滕州一中阶段检测）已知数列｛an｝的通项公式为己小鬻假，且存在

ZUZi-Z

正整数T5使得aTWanWas对任意的n£N+恒成立则T+S=（）

A.15B.17

C.19D.21

1L侈选）若数列｛an｝满足对任意正整数n,｛an+ia｝为递减数列厕称数列&｝为

"差递减数列".给出下列数列｛an｝（n£N+）,其中是"差递减数列"的有（）

2

A.an=3nB.an=n+1

C.a仔声D.an=ln^

12.（2020浙南名校联盟期中联考）已知数列｛an｝对任意的n£N+都有

an+i<E*且ai+a2+…+a9=9厕下列说法正确的是（）

A.数列｛an+ia｝为递减数列，且a5>l

B.数列｛an+ia｝为递增数列，且a5>l

C.数列｛an+1-an｝为递减数列，且a5<l

D.数列&+1自｝为递增数列且a5<l

13.（2021天津一中期末）已知数列｛an｝满足an=|（？a）n+2，n>&“£山,若对任

n-7

a,n<8,nGN+,

意nWN+都有an>an+i,则实数a的取值范围是

14.已知数列&｝满足a=1+(nGN+,a£R且awO).

na+Z(n-l)

Q)若a=-7,求数列｛an｝中的最大项和最小项的值；

(2)若对任意的nWN+,都有a/a6成立,求实数a的取值范围.

答案与分层梯度式解析

第一章数列

§1数列的概念及其函数特性

►1.1数列的概念

1.2数列的函数特性

基础过关练

1.P同一个数在数列中可以重复出现，故A中说法错误;数列中各项是有序的，故

数列-1,0,1与数列是不同的数列，故B中说法错误;｛135,7｝是集合，不是数

列，故C中说法错误;由数列的概念可知,数列中的每一项都与它的序号有关，故D

中说法正确.故选D.

2.13C数列123,4,共n项,是有穷数列,A中说法错误;当n=6

时,2x6+1=13,B中说法正确;易知C中说法正确;数列的项数可以是有限的，也可

以是无限的,D中说法错误.故选BC.

易错警示

需特别注意的是，数列中的项具有三大特性:确定性,有序性(与各项的排列顺

序有关)向重性(允许童葡.

3.A解:i—:由an=i+(-2""：n£N+,可得31=1,32=0,33=1,34=0.4^A.

解法二:由已知得，当n£N+且n为奇数时,l+(-l)n+i=2,当n£N+且n为偶数

时,l+(-l)n+i=0,所以数列｛an｝的奇数项为L偶数项为0,故该数列的前4项依次

为1,0,1。

4c由通项公式得a2=2x2-2=2,a3=3x3+l=10,所以a2a3=20.

5.P数列*技…即犷£|，W，…,观察到奇数项的符号为正，偶数项的符号为负，分

子、分母分别是从1,3开始的正整数，因此其通项公式可以为an=(-l)n-i言.故选

D.

方法技巧

当一个数列中的项的符号正负相间时，应把符号分离出来，可用(-1尸或(-

l)n+i(n£N+)表示.

6.P由题意得近为1=3场即2m-1=45,解得m=23,故选D.

方法技巧

要判断一个数是不是数列中的项，其实质是看相应方程是否有正整数解.

7.C由题意知a5=2a4+2=2(2a3-l)+2=4(2a2+2)=8(2ai-l)+8=16ai=16.故

选C.

8.A记题图2中第n行白圆的个数为b~由题图1知,1个白圆分形为1个白圆

和1个黑圆,1个黑圆分形为1个白圆和2个黑圆，因此

an+i=2an+bn,bn+i=an+bn且ai=0,bi=1,所以

a2=2ai+bi=l,b2=ai+bi=l;a3=2a2+b2=3/b3=a2+b2=2;a4=2a3+b3=8,b4=a3

+b3=5;a5=2a4+b4=21,b5=a4+b4=13.故选A.

9.解析⑴易知该数列由从4开始的偶数构成，所以该数列的一个通项公式为

an=2n+2,neN+.

(2)易知该数列中每一项分子比分母少L且分母可写成21,22,23,24,25,…，故该数列

的一个通项公式为an二拳,n£N+.

⑶通过观察可知，该数列中的奇数项为负，偶数项为正，故选择(-1户作为每一项的

一个因式.又第1项可改写成分数-|,所以每一项的分母依次为3,579,…,可写成

2n+l的形式.分子为3=1x3,8=2x4,15=3x5,24=4x6,……,可写成n(n+2)的形

式.所以该数列的一个通项公式为an=(-l)n•需,n£N+.

(4)这个数列的前4项可以变为泌9,|x99,19995x9999,

即射(10-1居x(100-l)，l(l000-l),1x(10000-1),

螭x(10-1),|x(102-1),|x(103-1),|x(104-1),

所以它的一个通项公式为an=|x(ion-l),new+.

10.解析⑴依题意设an=kn+b(kwo),

•a=2,ai7=66,.・悠；黄66,

，

解得C2-2--an=4n-2,nGN+.

(2)32020=4x2020-2=8078.

⑶令an=2020厕2020=4n-2,

解得n:竽,•.■竽住N+,

.•.2020不是数列斜｝中的项.

11.C对于A,an=l-n,则2.厂2廿1-6+1)-(17)=-1<0,该数歹1」是递减数歹1」,不

符合题意；

对于B,anW，则an+i-an=«喘二品<0,该数列是递减数列,不符合题意；

22

对于C,an=2n2-5n+L则an+i-an=2(n+l)-5(n+l)+l-(2n-5n+l)=4n-3,fiT

neN+,所以4n-3>0,该数列是递增数列，符合题意；

对于D,an斗黑;：号2则a2=5,a3=4,a2<a3,该数列不是递增数列，不符合题意.

故选C.

12.A;ai>。且己（1+1=三炉~「d>0,皿=々<1,「品+1。”，此数列为递减数列,，

MixZU-JL

最大项为ai.

故选A.

13.Ban=-2n2+9n+3=-2（7i-：）+与，

,「n£N+,...当n=20^,32=13最大.故选B.

14.答案26

解析令4n-102>0彳导》25初£2+,

二从第26项开始，数列中的项都大于零.

15.答案（-3,+8）

解析因为薮列｛己+入n+入｝是递增数列，所以n2+An+A<（n+l）2+A（n+l）+A对任

意n£N+都成立，整理得人>-2n-L因为当n=l时,-2n-l有最大值，且最大值为-3,

所以人>-3.

16.解析解法一:由an==萨（n£N+）,

得an+i-an=^-q^=^znGN+.

当n<8时,an+i-an>0,即an+i>an,即｛an｝在n<8时单调递增;当n=8时,an+i-

an=O,BPan+i=an,即a8=a9；当n>8时an+ia<0,即an+i<an,即&｝在n>8时单

调递减.

所以数列｛an｝的最大项是第8项或第9项，目38=39=^.

解法二:设an为最大项，

则｛露然（nN2,n£N+）,

9十+1）>9』

嘉:猊+2）解得8分49.

（10“-10"+1'

又因为n£N+,所以n=8或n=9.

故｛dn｝的最大项为38=89=^5.

能力提升练

LD,鼻二波击+击+…+总

「•an+i=击+++…+/+肃

••・an+ia二*+熹一左=器一急

2.AP当n=2时,cos^=cosTT=-L故B不符合题意；

当n=l时,cos^=cosTI=-1，故C不符合题意；

经验证,A,D均符合题意，故选AD.

3.13C因为ai=La2=3=l+2,a3=6=l+2+3,所以a4=l+2+3+4=10,an+i-

an=n+Ln£N+就A错误,B定版

由前面的规律可知an=l+2+...+n=^,

则a2o=竽=210,故C正确；

因为片+产妇中空，

d。nan+2―—n(n+l)(n+2)(n+3/)

所以4+1Nanan+2,故D错误.

故选BC.

4C观察得原数列0,3,6,12,24,48,96,…从第3项起，每一项是前一项的2倍，故

该数列的第8项为2x96=192,观察可得新数列是将原数列的每一项加4,再除以

10,故新数歹I」的第8项为(192+4)+10=19.6,故选C.

5.C记数列&｝的前n项的乘积为Dn厕Dn=aixa2x...xan-

62口=3*并*...*詈*彳=^^^1^.依题意有^^i^2>36,整理得(0-7)3+10)>0,

解得n>7或n<-10,因为n£N+,所以rimin=8,故选C.

9

56用角牛”军1析k-(Li；a)nan=9-n2-1(3n-l)(3n+l)3n+l,

整得，解得n号

因为与不是正整数，所以需不是数列斜｝中的项.

(2)由⑴可得而=需=错=1-高，

因为n£N+,所以0<焉<1,所以0<an<L

所以数列同｝中的各项都在区间(0,1)内.

(3)在区间&|)内有数列｛an｝中的项.

令*n<|得<若<|,

即｛黑黑鬻解彳星"吗

又因为n£N+,所以n=2.

故在区间&|)内有且仅有一个数列｛an｝中的项，它是第2项，目32=^.

7.0数列｛an｝中,ai=La2=2,an+i=an-an-i,

所以当n=2时,a3=a2-ai=L

当n=3时,a4=a3-a2=-l,

当n=40^,35=34-33=-1-1=-2,

当n=5时,a6=a5-a4=-2+l=-i,

当n=6时,a7=a6-a5=L

当n=70^,38=37-36=2,

所以数列｛an｝是以6为周期的周期数列,

又2019=336x6+3,

所以32019=己3=1.故选C.

2a*n<.ai=|,依次取n=l,2,3代入计算彳导

8.BC数列｛an｝满足an+i=

2an-/n>

a2=2aiq三,a3=2a2W，a4=2a3=|=ai,则数歹i」｛an｝是周期为3的周期数列，所以an

的所有可能取值为温|,故选BC.

n+1

9.A•An-浓+]30"a+i=

5+1)2+130’

*an+i-an=n+1_n

n2+2n+131n24-130

_______-n2-n+130_____

"(n2+2n+131)(n2+130)*

由数列｛an｝从第n项起单调递减可得an+i-an<0,

即-r)2-n+130<0,

即M+n-130>0,解得”卡或n>等i,又n£N+〃、n>等i.

••.22<同<23〃，10.5〈竽<11,

.•.n>ll,/.n的值为11,故选A.

10.P依题意得2廿翳*=1-赤'

=1+——-——

2n-20211

nn

当n>ll(neM+M2>2=2当8,数列⑸｝递减且an>L」.(an)max=au,

当n<lO(neW+M2n<2io=l024,数列冏｝递减，且an<l,「.(an)min=aio,

•••aioWan4an,「T+S=2L故选D.

11.CD选项A,由an=3Q得an+ia=3则&+ia｝为常数列不满足"差递减数

列"的定义；

选项B,由an=n2+L得an+ia=(n+l)2+：L-n2-l=2n+L则同+ia｝为递增数列

不满足"差递减数列"的定义；

选项C,由an=加得an+1-dn=乐三1-而二而缶

显然Qn+1-an｝为递减数列，满足"差递减装列’的定义；

选