2019-2020学年高中数学课时分层作业8柯西不等式含解析新人教B版选修

PAGE课时分层作业(八)柯西不等式(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．若a2＋b2＝1，x2＋y2＝2，则ax＋by的最大值为()A．1 B．2C．eq\r(2) D．4[解析]∵(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝2，∴ax＋by≤eq\r(2).[答案]C2．若实数a，b，c均大于0，且a＋b＋c＝3，则eq\r(a2＋b2＋c2)的最小值为()A．3 B．1C．eq\f(\r(3),3) D．eq\r(3)[解析]∵a＋b＋c＝1·a＋1·b＋1·c，且a，b，c大于0.由柯西不等式得(1·a＋1·b＋1·c)2≤(12＋12＋12)(a2＋b2＋c2)，∴a2＋b2＋c2≥3.当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立，∴eq\r(a2＋b2＋c2)的最小值为eq\r(3).[答案]D3．已知x＋y＝1，且x>0，y>0，那么2x2＋3y2的最小值是()A.eq\f(5,6) B.eq\f(6,5)C.eq\f(25,36) D.eq\f(36,25)[解析]2x2＋3y2＝(2x2＋3y2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,3)))·eq\f(6,5)≥eq\f(6,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)x·\f(\r(2),2)＋\r(3)y·\f(\r(3),3)))eq\s\up14(2)＝eq\f(6,5)(x＋y)2＝eq\f(6,5)，当且仅当eq\r(2)x·eq\f(1,\r(3))＝eq\r(3)y·eq\f(1,\r(2))，即x＝eq\f(3,5)，y＝eq\f(2,5)时等号成立，∴2x2＋3y2的最小值为eq\f(6,5).[答案]B4．若aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝1，beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋…＋beq\o\al(2,n)＝4，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn的最大值为()A．1 B．－1C．2 D．－2[解析]∵(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n))(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋…＋beq\o\al(2,n))，≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，∴(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2≤4，故a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤2.因此a1b1＋a2b2＋…＋anbn的最大值为2.[答案]C5．已知a2＋b2＋c2＝1，x2＋y2＋z2＝1，t＝ax＋by＋cz，则t的取值范围为()A．(0,1) B．(－1,1)C．(0，－1) D．[－1,1][解析]设α＝(a，b，c)，β＝(x，y，z)．∵|α|＝eq\r(a2＋b2＋c2)＝1，|β|＝eq\r(x2＋y2＋z2)＝1，由|α||β|≥|α·β|，得|t|≤1.∴t的取值范围是[－1,1]．[答案]D二、填空题6．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c[解析]∵a＋2b＋3c＝6，∴1×a＋1×2b＋1×3∴(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12.当且仅当eq\f(1,a)＝eq\f(1,2b)＝eq\f(1,3c)，即a＝2，b＝1，c＝eq\f(2,3)时取等号．[答案]127．若a＝(1,0，－2)，b＝(x，y，z)，若x2＋y2＋z2＝16，则a·b的最大值为________．[解析]由题知，a·b＝x－2z，由柯西不等式知[12＋02＋(－2)2](x2＋y2＋z2)≥(x＋0－2z)2，当且仅当向量a与b共线时“＝”成立，∴5×16≥(x－2z)2，∴－4eq\r(5)≤x－2z≤4eq\r(5)，即－4eq\r(5)≤a·b≤4eq\r(5).故a·b的最大值为4eq\r(5).[答案]4eq\r(5)8．已知aeq\r(1－b2)＋beq\r(1－a2)＝1，则a2＋b2＝________.[解析]由柯西不等式得(aeq\r(1－b2)＋beq\r(1－a2))2≤[a2＋(1－a2)][(1－b2)＋b2]＝1，当且仅当eq\f(b,\r(1－a2))＝eq\f(\r(1－b2),a)时，上式取等号，∴ab＝eq\r(1－a2)·eq\r(1－b2)，a2b2＝(1－a2)(1－b2)，于是a2＋b2＝1.[答案]1三、解答题9．已知θ为锐角，a，b均为正数．求证：(a＋b)2≤eq\f(a2,cos2θ)＋eq\f(b2,sin2θ).[证明]设m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,cosθ)，\f(b,sinθ)))，n＝(cosθ，sinθ)，则|a＋b|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,cosθ)·cosθ＋\f(b,sinθ)·sinθ))＝|m·n|≤|m||n|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,cosθ)))eq\s\up14(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,sinθ)))eq\s\up14(2))·eq\r(1)＝eq\r(\f(a2,cos2θ)＋\f(b2,sin2θ))，∴(a＋b)2≤eq\f(a2,cos2θ)＋eq\f(b2,sin2θ).10．在半径为R的圆内，求周长最大的内接长方形．[解]如图所示，设内接长方形ABCD的长为x，宽为eq\r(4R2－x2)，于是ABCD的周长l＝2(x＋eq\r(4R2－x2))＝2(1·x＋1×eq\r(4R2－x2))．由柯西不等式得l≤2[x2＋(eq\r(4R2－x2))2]eq\s\up14(eq\f(1,2))(12＋12)eq\s\up14(eq\f(1,2))＝2eq\r(2)·2R＝4eq\r(2)R.当且仅当eq\f(x,1)＝eq\f(\r(4R2－x2),1)，即x＝eq\r(2)R时等号成立．此时，宽＝eq\r(4R2－\r(2)R2)＝eq\r(2)R，即ABCD为正方形，故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为4eq\r(2)R.[能力提升练]1．函数y＝eq\r(x2－2x＋3)＋eq\r(x2－6x＋14)的最小值是()A．eq\r(10) B．2eq\r(10)C．11＋2eq\r(10) D．eq\r(10)＋1[解析]y＝eq\r(x－12＋2)＋eq\r(3－x2＋5).根据柯西不等式，得y2＝(x－1)2＋2＋(3－x)2＋5＋2eq\r([x－12＋2][3－x2＋5])≥(x－1)2＋2＋(3－x)2＋5＋2[(x－1)(3－x)＋eq\r(10)]＝[(x－1)＋(3－x)]2＋2＋5＋2eq\r(10)＝11＋2eq\r(10)，当且仅当eq\f(x－1,3－x)＝eq\f(\r(2),\r(5))，即x＝eq\f(2\r(10)－1,3)时等号成立．此时，ymin＝eq\r(11＋2\r(10))＝eq\r(10)＋1.[答案]D2．设a，b，c，x，y，z都是正数，且a2＋b2＋c2＝25，x2＋y2＋z2＝36，ax＋by＋cz＝30，则eq\f(a＋b＋c,x＋y＋z)＝________.[解析]由柯西不等式知：25×36＝(a