2019-2020学年高中数学课时分层作业26两角和与差的正切含解析苏教版必修

PAGE课时分层作业(二十六)两角和与差的正切(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．若0＜α＜eq\f(π,2)，0＜β＜eq\f(π,2)，且tanα＝2，tanβ＝3，则tan(α＋β)＝()A．1B．－1C.eq\f(1,5) D．－eq\f(1,5)B[∵tanα＝2，tanβ＝3，∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(2＋3,1－2×3)＝－1.]2．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanαtanβ＝()A．2B.eq\f(3,2)C．1D.eq\f(1,2)D[tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(2,1－tanαtanβ)＝4，∴1－tanαtanβ＝eq\f(1,2)，tanαtanβ＝eq\f(1,2).]3．已知A，B都是锐角，且tanA＝eq\f(1,3)，sinB＝eq\f(\r(5),5)，则A＋B＝()A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2)D.eq\f(5π,6)A[∵B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinB＝eq\f(\r(5),5)，∴cosB＝eq\f(2\r(5),5).∴tanB＝eq\f(1,2).∴tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝eq\f(\f(1,3)＋\f(1,2),1－\f(1,3)×\f(1,2))＝1.又A，B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴A＋B∈(0，π)．∴A＋B＝eq\f(π,4).]4．已知tanα，tanβ是方程x2＋6x＋7＝0的两个实根，则tan(α－β)＝()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(2),4)C．－eq\f(\r(2),4) D．±eq\f(\r(2),4)D[由已知tanα＝－3＋eq\r(2)，tanβ＝－3－eq\r(2)或tanα＝－3－eq\r(2)，tanβ＝－3＋eq\r(2)，∴tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝±eq\f(\r(2),4).]5．若taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝2，则eq\f(1,2sinαcosα＋cos2α)＝()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D．1C[由taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝2，得tanα＝eq\f(1,3)，∴eq\f(1,2sinαcosα＋cos2α)＝eq\f(sin2α＋cos2α,2sinαcosα＋cos2α)＝eq\f(tan2α＋1,2tanα＋1)＝eq\f(2,3).]二、填空题6.eq\f(tan55°－tan385°,1－tan－305°tan－25°)＝________.eq\f(\r(3),3)[原式＝eq\f(tan55°－tan25°,1－tan305°tan25°)＝eq\f(tan55°－tan25°,1＋tan55°tan25°)＝tan(55°－25°)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).]7．在△ABC中，若0<tanBtanC<1，则△ABC是________三角形．钝角[易知tanB>0，tanC>0，B，C为锐角．eq\f(sinBsinC,cosBcosC)<1，∴cosBcosC>sinBsinC.∴cosBcosC－sinBsinC>0，∴cos(B＋C)>0，即cosA＜0，故A为钝角．]8．已知sinα＝eq\f(3,5)，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tanβ的值为________．7[∵sinα＝eq\f(3,5)，α是第二象限角，∴cosα＝－eq\f(4,5)，∴tanα＝－eq\f(3,4).∴tanβ＝eq\f(tanα＋β－tanα,1＋tanα＋βtanα)＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))),1＋1×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))))＝eq\f(1＋\f(3,4),1－\f(3,4))＝7.]三、解答题9．求下列各式的值：(1)tan17°＋tan28°＋tan17°tan28°；(2)tan70°－tan10°－eq\r(3)tan70°tan10°.[解](1)因为tan(17°＋28°)＝eq\f(tan17°＋tan28°,1－tan17°tan28°)，所以tan17°＋tan28°＝tan45°(1－tan17°tan28°)＝1－tan17°tan28°，所以tan17°＋tan28°＋tan17°tan28°＝1.(2)因为tan60°＝tan(70°－10°)＝eq\f(tan70°－tan10°,1＋tan70°tan10°)，所以tan70°－tan10°＝eq\r(3)＋eq\r(3)tan10°tan70°，所以tan70°－tan10°－eq\r(3)tan10°tan70°＝eq\r(3).10．若△ABC的三内角满足：2B＝A＋C，且A＜B＜C，tanAtanC＝2＋eq\r(3)，求角A，B，C的大小．[解]由题意知：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＋B＋C＝180°，,2B＝A＋C，))解之得：B＝60°且A＋C＝120°，∴tan(A＋C)＝tan120°＝－eq\r(3)＝eq\f(tanA＋tanC,1－tanAtanC)，又∵tanAtanC＝2＋eq\r(3)，∴tanA＋tanC＝tan(A＋C)·(1－tanAtanC)＝tan120°(1－2－eq\r(3))＝－eq\r(3)(－1－eq\r(3))＝3＋eq\r(3).∴tanA，tanC可作为一元二次方程x2－(3＋eq\r(3))x＋(2＋eq\r(3))＝0的两根，又∵0＜A＜B＜C＜π，∴tanA＝1，tanC＝2＋eq\r(3).即A＝45°，C＝75°.所以A，B，C的大小分别为45°，60°，75°.[等级过关练]1．设向量a＝(cosα，－1)，b＝(2，sinα)，若a⊥b，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))等于()A．－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C．－3 D．3B[a·b＝2cosα－sinα＝0，得tanα＝2.taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(tanα－tan\f(π,4),1＋tanαtan\f(π,4))＝eq\f(1,3).]2．在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝3eq\r(3)，tan2B＝tanAtanC，则角B＝()A．30°B．45°C．60° D．75°C[因为A＋B＋C＝180°，所以tan(A＋C)＝－tanB，又tanA＋tanB＋tanC＝3eq\r(3)，所以tanA＋tanC＝3eq\r(3)－tanB，又tan2B＝tanAtanC，所以由tan(A＋C)＝eq\f(tanA＋tanC,1－tanAtanC)得－tanB＝eq\f(3\r(3)－tanB,1－tan2B)，所以－tanB(1－tan2B)＝3eq\r(3)－tanB，所以tan3B＝3eq\r(3)，所以tanB＝eq\r(3).又0°<B<180°，所以B＝60°.]3．A，B，C是△ABC的三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”)钝角[由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanA＋tanB＝\f(5,3)，,tanA·tanB＝\f(1,3)，))∴tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanA·tanB)＝eq\f(\f(5,3),1－\f(1,3))＝eq\f(5,2)，在△ABC中，tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－eq\f(5,2)<0，∴C是钝角，∴△ABC是钝角三角形．]4．已知α，β均为锐角，且tanβ＝eq\f(cosα－sinα,cosα＋sinα)，则tan(α＋β)＝________.1[∵tanβ＝eq\f(1－tanα,1＋tanα)，∴tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ，∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝1.]5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为eq\f(\r(2),10)，eq\f(2\r(5),5).求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．[解]由已知得cosα＝eq\f(\r(2),10)，cosβ＝eq\f(2\r(5),5)，又α，β是锐角，则sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(7\r(2),10)，sinβ＝eq\r(1－cos2β)＝eq\f(\r(5),5).所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝7，tanβ＝eq\f(sinβ,cos