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文档简介

第51讲

事件的相互独立性、条件概率与全概率公式第十章

计数原理、概率及其分布1.掷两枚质地均匀的骰子,设A=“第一枚出现奇数点”,B=“第二枚出现偶数点”,则A与B的关系为

(

)A.互斥 B.互为对立事件C.相互独立 D.相等激活思维【解析】C掷两枚质地均匀的骰子,设A=“第一枚出现奇数点”,B=“第二枚出现偶数点”,事件A与B能同时发生,故事件A与B既不是互斥事件,也不是对立事件,故A,B错误;事件A与B不相等,故D错误.2.假设P(A)=0.7,P(B)=0.8,且A,B相互独立,则P(AB)=________;P(A∪B)=________.0.56【解析】因为P(A)=0.7,P(B)=0.8,且A与B相互独立,所以P(AB)=P(A)×P(B)=0.7×0.8=0.56,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7+0.8-0.56=0.94.0.943.设A⊆B,且P(A)=0.3,P(B)=0.6,则P(B|A)=_____,P(A|B)=______.1【解析】4.甲、乙两人同时向一目标射击,已知甲命中目标的概率为0.6,乙命中目标的概率为0.5.已知目标至少被命中1次,则甲命中目标的概率为________.0.75【解析】5.甲和乙两个箱子中各装有10个球,其中甲箱中有5个红球、5个白球,乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子,如果点数为1或2,从甲箱中随机摸出1个球;如果点数为3,4,5,6,从乙箱中随机摸出1个球.则摸到红球的概率是______.【解析】聚焦知识P(A)P(B)B(2)两个公式②概率的乘法公式:P(AB)=_________________.3.全概率公式一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有________________________,我们称上面的公式为全概率公式.P(A)·P(B|A)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.事件甲=“第一次取出的球的数字是1”,事件乙=“第二次取出的球的数字是2”,事件丙=“两次取出的球的数字之和是8”,事件丁=“两次取出的球的数字之和是7”,则

(

)A.甲与丙相互独立

B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立

D.丙与丁相互独立相互独立事件的判断举题说法1【解析】【答案】B事件丙与事件丁是互斥事件,不是相互独立事件,故D错误.变式

(多选)某不透明的袋子中装有5个质地、大小均相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机取两次,每次取1个球,事件A=“第一次取出的球的数字是1”,事件B=“第二次取出的球的数字是2”,事件C=“两次取出的球的数字之和是7”,事件D=“两次取出的球的数字之和是6”,则(

)A.A与C相互独立

B.B与D相互独立C.A与D相互独立

D.B与C相互独立【解析】【答案】BC(多选)有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%,现任取一个零件,记事件Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3),事件B=“任取一零件为次品”,则

(

)条件概率2【解析】【答案】ACD根据题意知P(B)=6%×25%+5%×30%+5%×45%=0.0525,故C正确;P(A1)=0.25,P(A2)=0.3,故A正确;变式某地暴发疾病,全省支援,需要从我市某医院某科室的5名男医生(含一名主任医师)、4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生,则在有一名主任医师被选派的条件下,两名主任医师都被选派的概率为 (

)A【解析】某批麦种中,一等麦种占90%,二等麦种占10%,一、二等麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6,0.2,则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为________.全概率公式3【解析】分别记取到一等麦种和二等麦种分别为事件A1,A2,所结麦穗含有50粒以上麦粒为事件B.由已知可得P(A1)=0.9,P(A2)=0.1,P(B|A1)=0.6,P(B|A2)=0.2,由全概率公式可得P(B)=P(BA1)+P(BA2)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.9×0.6+0.1×0.2=0.56.0.56变式某考生回答一道四选一的考题,假设他知道正确答案的概率为0.5,知道正确答案时,答对的概率为100%,而不知道正确答案时猜对的概率为0.25,那么他答对该题目的概率为

(

)A.0.625 B.0.75C.0.5 D.0A【解析】学校给每位教师随机发了一箱苹果,李老师将其分为两份,第1份占总数的40%,次品率为5%,第2份占总数的60%,次品率为4%.若李老师分份之前随机拿了一个发现是次品后放回,则该苹果被分到第1份中的概率为______.贝叶斯公式新视角4【解析】变式小张从家到公司上班总共有三条路可以走(如图),但是每条路每天拥堵的可能性不太一样,由于远近不同,选择每条路的概率分别为P(L1)=0.5,P(L2)【解答】由题意知,不迟到就意味着不拥堵,设事件C表示到公司不迟到,则P(C)=P(L1)×P(C|L1)+P(L2)×P(C|L2)+P(L3)×P(C|L3)=P(L1)×P(C1)+P(L2)×P(C2)+P(L3)×P(C3)=0.5×0.2+0.3×0.4+0.2×0.7=0.36.=0.3,P(L3)=0.2,每天上述三条路不拥堵的概率分别为P(C1)=0.2,P(C2)=0.4,P(C3)=0.7.假设遇到拥堵会迟到,那么:(1)小张从家到公司不迟到的概率是多少?变式小张从家到公司上班总共有三条路可以走(如图),但是每条路每天拥堵的可能性不太一样,由于远近不同,选择每条路的概率分别为P(L1)=0.5,P(L2)【解答】=0.3,P(L3)=0.2,每天上述三条路不拥堵的概率分别为P(C1)=0.2,P(C2)=0.4,P(C3)=0.7.假设遇到拥堵会迟到,那么:(2)已知到达公司未迟到,那么选择道路L1的概率是多少?随堂练习1.一个电路上装有甲、乙两根保险丝,甲熔断的概率为0.85,乙熔断的概率为0.74,甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立,则两根保险丝都熔断的概率为(

)A.1 B.0.629C.0 D.0.74或0.85B【解析】由题意知甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立,所以甲、乙两根保险丝都熔断的概率为0.85×0.74=0.629.【解析】A3.“绿水青山,就是金山银山”,随着我国的生态环境越来越好,外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游,他们分别从太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖这6个景点中随机选择1个景点游玩,记事件A=“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”,事件B=“两位游客选择的景点不同”,则P(B|A)=(

)D【解析】【解析】A5.在A,B,C三个地区爆发了流感,这三个地区分别有6%,5%,4%的人患了流感,假设这三个地区的人口数之比为5∶6∶9,现从这三个地区中任意选取一人,则此人是流感患者的概率为 (

)A.0.032 B.0.048 C.0.05 D.0.15B【解析】由全概率公式得P(D)=P(A1)P(D|A1)+P(A2)P(D|A2)+P(A3)·P(D|A3)=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.04=0.048.配套精练A组夯基精练一、

单项选择题1.篮球队的5名队员进行传球训练,每位队员把球传给其他4人的概率相等,由甲开始传球,则前3次传球中,乙恰好有1次接到球的概率为 (

)D【解析】【解析】C3.有50人报名足球俱乐部,60人报名乒乓球俱乐部,70人报名足球或乒乓球俱乐部.若已知某人报足球俱乐部,则其报乒乓球俱乐部的概率为(

)A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.1A【解析】4.某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品,三种产品的生产比例如图所示,且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%,50%,40%.若从该厂生产的口罩中任选一个,则选到绑带式口罩的概率为(

)A.0.2 B.0.47C.0.53 D.0.77【解析】【答案】D由图可知医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩的占比分别为70%,20%,10%.记事件A1,A2,A3分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩,则Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3两两互斥,所以P(A1)=0.7,P(A2)=0.2,P(A3)=0.1.又三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%,50%,40%,记事件B=“选到绑带式口罩”,则P(B|A1)=0.9,P(B|A2)=0.5,P(B|A3)=0.4,所以由全概率公式可得P(B)=0.7×0.9+0.2×0.5+0.1×0.4=0.77.二、

多项选择题5.A,B两组各有2名男生、2名女生,从A,B两组中各随机选出1名同学参加演讲比赛.甲表示事件“从A组中选出的是男生小明”,乙表示事件“从B组中选出的是1名男生”,丙表示事件“从A,B两组中选出的是2名男生”,丁表示事件“从A,B两组中选出的是1名男生和1名女生”,则(

)A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立C.甲与乙相互独立 D.乙与丁相互独立【解析】记“从A组中选出的是男生小明”为事件M,“从B组中选出的是1名男生”为事件N,“从A,B两组中选出的是2名男生”为事件S,“从A,B两组中选出的是1名男生和1名女生”为事件T,【答案】BCD【解析】ABD三、

填空题7.甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球,其总数之比为5∶4∶6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%.现从三个盒子中各取一个球,取到的三个球都是黑球的概率为________;将三个盒子混合后任取一个球是白球的概率为_______.【解析】【答案】0.050.6设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5n,4n,6n,所以总数为15n,所以甲盒中黑球个数为40%×5n=2n,白球个数为3n;乙盒中黑球个数为25%×4n=n,白球个数为3n;丙盒中黑球个数为50%×6n=3n,白球个数为3n.

记事件A=“从三个盒子中各取一个球,取到的球都是黑球”,则P(A)=0.4×0.25×0.5=0.05.8.现有四家工厂生产同一产品,已知它们生产该产品的日产量分别占日产量总和的15%,20%,30%和35%,且产品的不合格率分别为0.05,0.04,0.03和0.02.现从四家工厂一天生产的所有产品中任取一件,则抽到不合格品的概率是___________.【解析】因为生产该产品的日产量分别占日产量总和的15%,20%,30%和35%,且产品的不合格率分别为0.05,0.04,0.03和0.02,所以抽到不合格品的概率为P=15%×0.05+20%×0.04+30%×0.03+35%×0.02=0.0315.0.0315【解析】方法一:设事件A=“小明自驾去上班”,事件B=“小明坐公交车去上班”,事件C=“小明骑共享单车去上班”,事件D=“小明上班迟到”,【答案】【解答】比赛进行四局结束有以下两种情况:第一局甲获胜,后三局丙获胜;第一局乙获胜,后三局丙获胜.【解答】设“甲获胜”为事件A,“乙获胜”为事件B,“丙获胜”为事件C.11.小明每天去学校有A,B两条路线可供选择,小明上学时随机地选择一条路线.如果小明上学时选择A路线,那么放学时选择A路线的概率为0.6;如果小明上学时选择B路线,那么放学时选择A路线的概率为0.8.(1)求小明放学时选择A路线的概率;【解答】设A1=“上学时选择A路线”,B1=“上学时选择B路线”,A2=“放学时选择A路线”,则Ω=A1∪B1,且A1与B1互斥,根据题意得P(A1)=P(B1)=0.5,P(A2|A1)=0.6,P(A2|B1)=0.8.由全概率公式,得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.5×0.6+0.5×0.8=0.7.所以小明放学时选择A路线的概率为0.

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